集合的基本关系及运算 编稿:丁会敏审稿:王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.在具体情境中,了解空集和全集的 含义 2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集 的补集的含义,会求给定子集的补集 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A 子集:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集 合B的子集( subset)记作:AcB(或BA),当集合A不包含于集合B时,记作AB,用Vem图表示 两个集合间的“包含”关系:AB(或B彐A) B 要点诠释: (1)“A是B的子集”的含义是:A的任何一个元素都是B的元素,即由任意的x∈A,能推出x∈B (2)当A不是B的子集时,我们记作“A女B(或B∠A)”,读作:“A不包含于B”(或“B不包含 A”) 真子集:若集合AcB,存在元素x∈B且xgA,则称集合A是集合B的真子集( proper subset) 记作:AB(或BA) 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 2集合与集合之间的“相等”关系 AB且BcA,则A与B中的元素是一样的,因此A=B 要点诠释: 任何一个集合是它本身的子集,记作AcA 要点二、集合的运算 1.并集 般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作:AUB 读作:“A并B”,即:AUB={x|x∈A,或x∈B Venn图表示 B A UB
集合的基本关系及运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的 含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集 的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A； 子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集 合 B 的子集(subset).记作： A B( B A) 或 ，当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A B，用 Venn 图表示 两个集合间的“包含”关系： A B( B A) 或 要点诠释： （1）“ A 是 B 的子集”的含义是： A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任意的 x A ，能推出 x B ． （2）当 A 不是 B 的子集时，我们记作“ AB (或 B A )”，读作：“ A 不包含于 B ”（或“ B 不包含 A ”）． 真子集：若集合 A B ，存在元素 x B 且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset). 记作：A B(或 B A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A 且 ，则 A 与 B 中的元素是一样的，因此 A=B 要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作 A A ． 要点二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作：A∪B 读作：“A 并 B”，即：A∪B={x|x A，或 x B} Venn 图表示：
要点诠释 (1)“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A但x∈B”;“x∈B,但x∈A”;“x∈A,且x∈B (2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现 2.交集 般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集:记作:A∩B,读 作:“A交B”,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}:交集的Venn图表示 B A∩B 要点诠释: (1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而 是A∩B= (2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A 与B的公共元素都属于A∩B” (3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合 3.补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集, 通常记作U. 补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相 对于全集U的补集( complementary set),简称为集合A的补集,记作:痤A;即A={xx∈U且xA} 补集的Venn图表示: CUA 要点诠释 (1)理解补集概念时,应注意补集A是对给定的集合A和U(AcU)相对而言的一个概念,一个 确定的集合A,对于不同的集合U,补集不同 (2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z为全集;而当问题扩展 到实数集时,则R为全集,这时Z就不是全集 (3)A表示U为全集时A的补集,如果全集换成其他集合(如R)时,则记号中“U”也必须换成 相应的集合(即QA)
要点诠释： （1）“x A，或 x B”包含三种情况：“ x A x B ,但 ”；“ x B x A ,但 ”；“ x A x B ,且 ”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现 一次). 2.交集 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集；记作：A∩B，读 作：“A 交 B”，即 A∩B={x|x A，且 x B}；交集的 Venn 图表示： 要点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A 与 B 没有公共元素时，不能说 A 与 B 没有交集，而 是 A B =． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B 中的任意元素都是 A 与 B 的公共元素”，同时“A 与 B 的公共元素都属于 A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作 U. 补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相 对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合 A 的补集，记作： 痧U U A A={x|x U x A} ；即 且 ； 补集的 Venn 图表示： 要点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集 ðUA 是对给定的集合 A 和 U A U ( ) 相对而言的一个概念，一个 确定的集合 A ，对于不同的集合 U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则 Z 为全集；而当问题扩展 到实数集时，则 R 为全集，这时 Z 就不是全集． （3） ðUA 表示 U 为全集时 A 的补集，如果全集换成其他集合（如 R ）时，则记号中“U”也必须换成 相应的集合（即 ðRA ）．
4.集合基本运算的一些结论 A∩BcA,A∩BcB,A∩A=A,A=,A∩B=B∩A AcA∪B,BcA∪B,A∪A=A,AUO=A,A∪B=B∪A (癞A∪A=U(uA)∩A= 若A∩B=A,则AcB,反之也成立 若AUB=B,则AcB,反之也成立 若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B 若x∈(AUB),则x∈A,或x∈B 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且” 与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图 或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法 【典型例题】 类型一、集合间的关系 例1.集合4==2keNy,集合B={b=D-(2-1N),那么AB间的 关系是() A AB B. B EA C. A=B D.以上都不对 【答案】B 【解析】先用列举法表示集合A、B,再判断它们之间的关系.由题意可知,集合A是非负偶数集 0(n为非负偶数时) 即A=(2468,集合B中的元素b21-(yr-)={ (n+1)(n-1)(n为正奇数时 又(n+1)n-1)(n为正奇数时)表示0或正偶数,但不是表示所有的正偶数,即n=1,3,5,7,…由 (n+1)n-1)依次得0,2,6,12,…,即B={0,2612,20,…} 综上知,B吴A,应选B 【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于:弄清两个集合的元素的构成,也就是弄清楚集合是 由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化(如用列举法来表示集合)、形象化(用Venn图, 或数形集合表示) 举一反三 【变式1】若集合A={xx=2k-1k∈+},B={x|x=4±1,l∈+},则( B.B吴AC.A=BD.AUB=Z 【答案】C 例2.写出集合{a,b,c}的所有不同的子集 【解析】不含任何元素子集为⑧,只含1个元素的子集为{a},{b},{c},含有2个元素的子集有{a b},{a,c},{b,c},含有3个元素的子集为{a,b,c},即含有3个元素的集合共有2=8个不同的子集 如果集合增加第4个元素d,则以上8个子集仍是新集合的子集,再将第4个元素d放入这8个子集中 会得到新的8个子集,即含有4个元素的集合共有2=16个不同子集,由此可推测,含有n个元素的集合 共有2个不同的子集
4.集合基本运算的一些结论 A B A A B B A A=A A = A B=B A ， ， ， ， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ， ， ， ， U U ( A) A=U ( A) A= 痧 ， 若 A∩B=A，则 A B ，反之也成立 若 A∪B=B，则 A B ，反之也成立 若 x (A∩B)，则 x A 且 x B 若 x (A∪B)，则 x A，或 x B 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图 或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】 类型一、集合间的关系 例 1. 集合 A a a k k N = = | 2 , ，集合 1 2 | 1 ( 1) ( 1), 8 n B b b n n N = = − − − ，那么 A B, 间的 关系是（ ）. A. A B B. B A C. A = B D.以上都不对 【答案】B 【解析】先用列举法表示集合 A 、 B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合 A 是非负偶数集， 即 A = 0,2,4,6,8, .集合 B 中的元素 1 2 1 ( 1) ( 1) 8 n b n = − − − 0( ) 1 ( 1)( 1)( ) 4 n n n n = + − 为非负偶数时 ， 为正奇数时 .而 1 ( 1)( 1) 4 n n + − （ n 为正奇数时）表示 0 或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即 n = 1,3,5,7, .由 1 ( 1)( 1) 4 n n + − 依次得 0,2,6,12， ，即 B = 0 2 612 20 ，，，， ， . 综上知， B A ，应选 B . 【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是 由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用 Venn 图， 或数形集合表示）. 举一反三： 【变式 1】若集合 A x x k k z B x x l l z = = − = = | 2 1, , | 4 1, ，则（ ）. A. A B B. B A C. A = B D. A B Z = 【答案】C 例 2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集. 【解析】不含任何元素子集为 ，只含 1 个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有 2 个元素的子集有{a， b}，{a，c}，{b，c}，含有 3 个元素的子集为{a，b，c}，即含有 3 个元素的集合共有 2 3 =8 个不同的子集. 如果集合增加第 4 个元素 d，则以上 8 个子集仍是新集合的子集，再将第 4 个元素 d 放入这 8 个子集中， 会得到新的 8 个子集，即含有 4 个元素的集合共有 2 4 =16 个不同子集，由此可推测，含有 n 个元素的集合 共有 2 n 个不同的子集
【总结升华】要写出一个集合的所有子集,我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数 相同时,应依次将每个元素考虑完后,再写剩下的子集如本例中要写出2个元素的子集时,先从a起 与每个元素搭配有{a,b},{a,c},然后不看a,再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的 子集:②和它本身. 举一反三: 【变式1】已知{ab}≤A吴{a,cd,e},则这样的集合A有个 【答案】7个 【变式2】同时满足:①M∈{2345}:②a∈M,则6-a∈M的非空集合M有() A.16个B.15个C.7个D.6个 【答案】C 【解析】a=3时,6-a=3;a=1时,6-a=5;a=2时,6-a=4:a=4时,6-a=2;a=5 时,6-a=1:∷非空集合M可能是:{3,15}{24,135}{2,34},{245},{2345}共7 个.故选C. 例3.集合A={x|y=x2+1},B={yy=x2+1},C={(x,y)ly=x2+1},D={y=x2+1}是否表示同一集合? 【答案】以上四个集合都不相同 【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x,故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围, 即函数的定义域A=(-∞,+∞) 集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y,故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围,即函数的 值域B=[1,+∞); 集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点(x,y),故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的 集合 集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合,该集合中只有一个元素:方程y=x2+1 【总结升华】认清集合的属性,是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法,是列举法还是 描述法;其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素,准确理解对代表元素的限制条件 举一反三 【变式1】设集合M={(x,y)y=3x+4},N={(x,y)y 2},则M∩N=( {x=-1,y=1} C.(-1,1) D.{(-1,1)} 【答案】D 【解析】排除法:集合M、N都是点集,因此M∩N只能是点集,而选项A表示二元数集合,选项B 表示二元等式集合,选项C表示区间(-1,1)(无穷数集合)或单独的一个点的坐标(不是集合),因此可 以判断选D 【变式2】设集合M={x|y=2x+1,x∈},N={yy=2x+1,x∈},则M与N的关系是( A. NU B. MUN C. N=M D.N∩M=② 【答案】A
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数 相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出 2 个元素的子集时，先从 a 起，a 与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看 a，再看 b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的 子集： 和它本身. 举一反三： 【变式 1】已知 a b A , a b c d e , , , , ，则这样的集合 A 有 个. 【答案】7 个 【变式 2】同时满足：① M 1,2,3,4,5 ；② a M ，则 6− a M 的非空集合 M 有（ ） A. 16 个 B. 15 个 C. 7 个 D. 6 个 【答案】C 【解析】 a = 3 时， 6 3 − = a ； a =1 时， 6 5 − = a ； a = 2 时， 6 4 − = a ； a = 4 时， 6 2 − = a ； a = 5 时， 6 1 − = a ； 非空集合 M 可能是： 3 , 1,5 , 2,4 , 1,3,5 , 2,3,4 , 1,2,4,5 ，1,2,3,4,5 共 7 个.故选 C. 例 3．集合 A={x|y=x2 +1}，B={y|y=x2 +1}，C={(x,y)|y=x2 +1}，D={y=x2 +1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同 【解析】集合 A={x|y=x2 +1}的代表元素为 x，故集合 A 表示的是函数 y=x 2 +1 中自变量 x 的取值范围， 即函数的定义域 A= ( , ) − + ； 集合 B={y|y=x2 +1}的代表元素为 y，故集合 B 表示的是函数 y=x 2 +1 中函数值 y 的取值范围，即函数的 值域 B= [1, ) + ； 集合 C={(x,y)|y=x2 +1}的代表元素为点（x，y），故集合 C 表示的是抛物线 y=x 2 +1 上的所有点组成的 集合； 集合 D={y=x 2 +1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程 y=x 2 +1． 【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是 描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件． 举一反三： 【变式 1】 设集合 M x y y x = = + {( , ) | 3 4}， N x y y x = = − − {( , ) | 3 2} ，则 M N = （ ） A. { 1,1} − B. { 1, 1} x y = − = C. ( 1,1) − D. {( 1,1)} − 【答案】D 【解析】排除法：集合 M、N 都是点集，因此 M N 只能是点集，而选项 A 表示二元数集合，选项 B 表示二元等式集合，选项 C 表示区间 ( 1,1) − （无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可 以判断选 D． 【变式 2】设集合 M x y x x Z = = + { | 2 1, }，N y y x x Z = = + { | 2 1, } ，则 M 与 N 的关系是（ ） A. N M Ü B. M N Ü C. N M= D. N M = 【答案】A
【解析】集合M表示函数y=2x+1,x∈Z的定义域,有M={整数} 集合N表示函数y=2x+1,x∈Z的值域,有N={奇数},故选A 【高清课堂:集合的概念、表示及关系377430例2】 【变式3】设M={x|x=a2+1,a∈N},N={x|x=b2-4b+5,beN},则M与N满足() A.M=NB.M兵NC.N吴MD.M∩N=② 【答案】B 【解析】当a∈N时,元素x=a2+1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b∈N时,元素 x=b2-4b+5=(b-2)2+1,其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M中元素 都在N中,但N中至少有一个元素x=1不在M中,即MN,故选B. 【高清课堂:集合的概念、表示及关系377430例3】 例 已知M={x,xyx-y},N=10y,若M=N (x+y)+(x2+y2)+…+(x+y) B.200 C 100 【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性. 【答案】D 【解析】由M=N,知M,N所含元素相同由0∈{0,|x|,y}可知0∈{x,xy, 若x=0,则xy=0,即x与xy是相同元素,破坏了M中元素互异性,所以x≠0. 若x·y=0,则x=0或y=0,其中x=0以上讨论不成立,所以y=0,即N中元素0,y是相同元素,破坏 了N中元素的互异性,故xy≠0 若√x-y=0,则x=y,M,N可写为 M={x,x2,0)},N={0,|x|,x} 由MN可知必有x2=|x|,即|x|2=|x x|=0或|x|=1 若|x|=0即x=0,以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1 当x=1时,M中元素|x与x相同,破坏了M中元素互异性,故x≠1 当x=1时,M{-1,1,0},N={0,1,-1}符合题意,综上可知,x=y=-1 (x+y)+(x2+y2)+…+(x+y)=2+2-2+2+…+2=0 【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口.因此, 集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点 举一反三 【变式1】设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,-,b},则ba=() 【答案】2 【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征:
【解析】集合 M 表示函数 y x x Z = + 2 1, 的定义域，有 M ={ } 整数 ； 集合 N 表示函数 y x x Z = + 2 1, 的值域，有 N ={ } 奇数 ，故选 A. 【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例 2】 【变式 3】 设 M={x|x=a2 +1，a N+}，N={x|x=b2 -4b+5，b N+}，则 M 与 N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M∩N= 【答案】B 【解析】 当 a N+时，元素 x=a 2 +1，表示正整数的平方加 1 对应的整数，而当 b N+时，元素 x=b2 -4b+5=(b-2)2 +1，其中 b-2 可以是 0，所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数，即 M 中元素 都在 N 中，但 N 中至少有一个元素 x=1 不在 M 中，即 M N，故选 B. 【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例 3】 例 4 ． 已 知 M = {x, xy, x − y},N = {0, x , y}, 若 M=N ， 则 + + + 2 (x y) (x ) ( ) 2 100 100 y ++ x + y = ． A．－200 B．200 C．－100 D．0 【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D 【解析】由 M=N，知 M，N 所含元素相同.由 O {0，|x|，y}可知 O {x,xy, x-y} 若 x=0，则 xy=0，即 x 与 xy 是相同元素，破坏了 M 中元素互异性，所以 x≠0. 若 x·y=0，则 x=0 或 y=0，其中 x=0 以上讨论不成立，所以 y=0，即 N 中元素 0，y 是相同元素，破坏 了 N 中元素的互异性，故 xy≠0 若 x-y=0 ，则 x=y，M，N 可写为 M={x，x 2，0}，N={0，|x|，x} 由 M=N 可知必有 x 2 =|x|，即|x|2 =|x| ∴|x|=0 或|x|=1 若|x|=0 即 x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1 即 x=±1 当 x=1 时，M 中元素|x|与 x 相同，破坏了 M 中元素互异性，故 x≠1 当 x=-1 时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1 + + + 2 (x y) (x ) ( ) 2 100 100 y ++ x + y =-2+2-2+2+…+2=0 【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此， 集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点． 举一反三： 【变式 1】设 a，b R，集合 b {1,a+b,a}={0, ,b} a ，则 b-a=( ) 【答案】2 【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：