例1讨论等比级数（几何级数） 0 ∑ag”=n+g+ag2+.+ag+.(a≠0) n= 的收敛性 解如果q≠1时 5n=a+aq+ag2+.+ag"- a-ag”=a-a4 1-4 1-91-9
例 1 讨论等比级数(几何级数) n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 的收敛性. 解 如果q 1时 2 1 n n s a a q a q a q q a aqn 1 , 1 1 q aq q a n
当q<1时，：limg”=0. 1-→0 limsa=1-q 收敛 11-)co 当g>1时，：limq"=o.lim5n=o 发散 11->00 n→0 如果q=1时 当q=1时，Sn=na-→o 发散 当q=-1时，级数变为a-a+a-a+. .imsn不存在 发散 0 当|☑<1时，收敛 综上立a叫{当q2l时，发散 n=0
当 q 1 , 时 lim 0 n n q lim 1 n n a s q 当 q 1 , 时 lim n n q lim n n s 收敛 发散 如果 q 1时 当q 1 , 时 当q 1 , 时 n s na 发散 级 数 变 为 a a a a lim n n s 不存在 发散 0 1 , 1 , n n q aq q 当 时 收敛 综上 当 时 发散
例2判断2n+的敛散性. 0 n=1 解：S.=n2+n3+nt+n+ 3.4 3 =0d2n3-m2)+(a(a+1-An） =ln(n+1)→o(n→oo) 所以级数发散； 利用“拆项相消” 求和
解: 2 3 4 1 ln ln ln ln 1 2 3 n n S n (ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( 1) ln n n ln( 1) n ( n ） 所以级数 发散 ; 利用 “拆项相消” 求和
例3判别无穷级数 1,1 1 十.十 +.的收敛性， 1.33.5(2n-1)(2n+1) 1 =11 解：&，=2n-12m+)-22n-12n+ i.Sn= 11 1 13+35+ (2n-1)(2n+1) -3+3*+12a
例 3 判别无穷级数 (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 n n 的收敛性. 解 (2 1)(2 1) 1 n n un ), 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 n n (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 n n sn ) 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 (1 2 1 n n