第十二章 级数 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念， 2.了解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质. 3.了解几何级数和p一级数的敛散性，会用正项级数的比较审敛法， 掌握正项级数的比值审敛法， 4.会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收 敛的概念及其相互关系 5.了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收 敛区间. 6.了解幂级数在收敛区间内的基本性质. 7.知道泰勒(Taylor)级数公式和函数展开成泰勒级数的充要 条件
1 第十二章 级数 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念. 2．了解无穷级数收敛的必要条件,知道无穷级数的基本性质. 3．了解几何级数和 p -级数的敛散性,会用正项级数的比较审敛法, 掌握正项级数的比值审敛法. 4．会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收 敛的概念及其相互关系. 5．了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收 敛区间. 6．了解幂级数在收敛区间内的基本性质. 7．知道泰勒（Taylor ）级数公式和函数展开成泰勒级数的充要 条件
8.会用+x、e、smx与inl+)等函数的麦克劳林(acarin)级 数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数， 9.了解以2π为周期的函数的傅里叶(Fourier)级数的概念，会计 算周期函数的傅里叶系数 10.知道周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件， 11.掌握周期函数以及定义在[元，π和[1，)上的函数展开成傅里叶 级数的方法. 12.会将定义在[0,1上的函数展开成正弦级数或余弦级数. 重点正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别 法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基 本性质，用+、e、smx与n+)等函数的麦克劳林(Maclaurin) 级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，以 2π为周期的函数的傅里叶级数的概念，周期函数可展开成它的傅里叶 级数的充分条件，掌握周期函数以及定义在[元，和[1，川上的函数展 开成傅里叶级数的方法， 难点无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件 收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的 基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，将函数展开成傅里叶级数 时，计算该函数的傅里叶系数. 2
2 8．会用1 x 1 、 x e 、sin x 与ln(1 x)等函数的麦克劳林(Maclaurin)级 数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数. 9．了解以2π为周期的函数的傅里叶(Fourier)级数的概念，会计 算周期函数的傅里叶系数. 10．知道周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件. 11．掌握周期函数以及定义在 π, π和 l,l上的函数展开成傅里叶 级数的方法. 12．会将定义在0,l上的函数展开成正弦级数或余弦级数. 重点 正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别 法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基 本性质，用1 x 1 、 x e 、sin x 与ln(1 x) 等函数的麦克劳林(Maclaurin) 级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，以 2π为周期的函数的傅里叶级数的概念，周期函数可展开成它的傅里叶 级数的充分条件，掌握周期函数以及定义在 π, π和 l,l上的函数展 开成傅里叶级数的方法. 难点 无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件 收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的 基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，将函数展开成傅里叶级数 时，计算该函数的傅里叶系数
(二)内容提要 1.数项级数 (1)定义设给定一个无穷数列u,4,…,4,…,则 n=l 称为数项级数，简称级数.其中第项u,称为级数的通项或一般项.该 级数的前n项和 S.=4+4++u=》% 称为级数n的前n项部分和，并称数列{S,}为级数∑u,的部分和数 列. (2)级数的收敛、发散与级数和 若级数∑4的部分和数列{s,}的极限存在，即1imS.=s,则称级 数“，收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数4，发散。 当级数∑u收敛时，称其部分和数列的极限S为级数∑4的和， 记为2u,=s. (3)数项级数的性质 ①若级数和，分别收敛于5与T,则级数a+w)收敛于 S+T,即 2u+u)24+区u
3 （二）内容提要 1. 数项级数 ⑴ 定义 设给定一个无穷数列u1 ,u2 ,,un ,，则 n n n u u u u 1 2 1 称为数项级数，简称级数.其中第n项 n u 称为级数的通项或一般项.该 级数的前n项和 n k n n k S u u u u 1 1 2 称为级数 n1 n u 的前n项部分和,并称数列Sn 为级数 n1 n u 的部分和数 列. ⑵ 级数的收敛、发散与级数和 若级数 n1 n u 的部分和数列Sn 的极限存在，即 S S n n lim ，则称级 数 n1 n u 收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数 n1 n u 发散. 当级数 n1 n u 收敛时，称其部分和数列的极限S 为级数 n1 n u 的和， 记为 u S n n 1 . ⑶ 数项级数的性质 ①若级数 n1 n u 和 n1 n 分别收敛于S 与T ,则级数 1 ( ) n n n u 收敛于 S T ，即 1 ( ) n n n u = n1 n u + n1 n ．
②级数∑4，和∑cu,(c为任一常数，c≠0)有相同的敛散性，且若 ,收敛于s,则收敛于s,即2u-克 ③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变 ④（级数收敛的必要条件） 若级数un收敛，则1im4n=0. (4)正项级数及其收敛判别法 若un≥0(n=12,),则称级数∑4，为正项级数. ①比较判别法 设∑4，和∑u,是两个正项级数，且u,≤u.(n=12,,那么有 若级数∑，收敛，则级数∑4，也收敛： 若级数∑un发散，则级 数un也发散. ②比值判别法 设2，是正项级数，且一-p,则 当p<1时，级数收敛；当p>1时，级数发散；当p=1时，级数 可能收敛，也可能发散， (⑤)交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数 设n>0(n=12,),级数∑(-1)-un称为交错级数。 ②莱布尼茨判别法
4 ②级数 n1 n u 和 n1 n cu (c为任一常数，c 0) 有相同的敛散性，且若 n1 n u 收敛于S ，则 n1 n cu 收敛于cS ，即 n1 n cu = n1 n c u . ③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变. ④(级数收敛的必要条件) 若级数 n1 n u 收敛，则lim 0 n n u . ⑷ 正项级数及其收敛判别法 若u 0(n 1,2,) n ，则称级数 n1 n u 为正项级数. ①比较判别法 设 n1 n u 和 n1 n 是两个正项级数，且u (n 1,2,) n n ，那么有 若级数 n1 n 收敛，则级数 n1 n u 也收敛； 若级数 n1 n u 发散，则级 数 n1 n 也发散. ②比值判别法 设 n1 n u 是正项级数，且 n n n u u 1 lim ，则 当 1时，级数收敛； 当 1时，级数发散； 当 1时，级数 可能收敛，也可能发散. ⑸ 交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数 设u 0(n 1,2,) n ，级数 1 1 ( 1) n n n u 称为交错级数. ②莱布尼茨判别法
如果交错级数∑(-l)-.(,>0,n=l,2,)满足莱布尼茨(Leibniz) 条件： 4n≥4n+1(n=1,2,）且1imwn=0, 则该级数收敛，且其和s≤4，其余项n的绝对值ls+1 (6)绝对收敛与条件收敛 如果级数∑收敛，则称级数∑4是绝对收敛的：如果级数∑4 收敛而级数∑4发散，则称级数∑4，是条件收敛的.对于绝对收敛的 级数4，有如下结论： 如果级数∑u是绝对收敛的，则级数∑4n也收敛. (7)两个重要级数 ①几何级数 形如 ∑ag=a+ag+ag2++ag-+… 的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论： 当<1时，几何级数2ag收敛于已，：当1时，几何级数∑g 发散. ②p-级数 形如 5
5 如果交错级数 1 1 ( 1) n n n u (u 0,n 1,2,) n 满足莱布尼茨(Leibniz) 条件： ( 1,2, ) un un1 n 且lim 0 n n u , 则该级数收敛,且其和 1 S u ,其余项 n r 的绝对值 n n1 r u . ⑹ 绝对收敛与条件收敛 如果级数 n1 n u 收敛，则称级数 n1 n u 是绝对收敛的；如果级数 n1 n u 收敛而级数 n1 n u 发散，则称级数 n1 n u 是条件收敛的.对于绝对收敛的 级数 n1 n u ，有如下结论： 如果级数 n1 n u 是绝对收敛的，则级数 n1 n u 也收敛. ⑺ 两个重要级数 ①几何级数 形如 2 1 0 n n n aq a aq aq aq 的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论： 当 q 1时，几何级数 n0 n aq 收敛于 q a 1 ；当 q 1时，几何级数 n0 n aq 发散.② p - 级数 形如