第二章 极限与函数 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解极限的描述性定义： 2.了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质. 3.会用两个重要极限公式求极限. 4.掌握极限的四则运算法则 5.理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类， 6.了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值 和最小值定理、根的存在定理、介值定理). 7.会用函数的连续性求极限. 重点极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念. 难点间断点的分类，分段函数在分段点的连续性
1 第二章 极限与函数 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解极限的描述性定义． 2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质． 3．会用两个重要极限公式求极限． 4．掌握极限的四则运算法则． 5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类． 6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值 和最小值定理、根的存在定理、介值定理）． 7．会用函数的连续性求极限． 重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念． 难点 间断点的分类，分段函数在分段点的连续性．
(二)内容提要 1.极限的定义 (1)函数极限、数列极限的描述性定义 极限定义表 类型 描述性定义 极限记号 X→00 设函数y=f(x)在x>b(b为某个正 时函数 Iimf(x)=A或 f(x)的 实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值 f(x)→A(x→∞) 极限 无限增大时，相应的函数值无限接近于某 一个固定的常数A,则称A为x→o(读作 “x趋于无穷”)时函数f(x)的极限 X→十00 设函数y=f(x)在(a,+o)(a为某个实数) limf(x)=A或 时函数 T+0 f(x)的 内有定义，如果当自变量x无限增大时， f(x)→A(x→+o) 极限 相应的函数值fx)无限接近于某一个固 定的常数A,则称A为r→+∞（读作“x趋 于正无穷”)时函数(x)的极限 x→-0 设函数y=f(x)在(-o,a)（a为某个实 limf(x)=A或 时函数 f(x)的 数)内有定义，如果当自变量无限增大 f(x)→A(x→-o) 极限 且x<0时，相应的函数值f(x)无限接近于 某一个固定的常数A,则称A为x→-∞（读 作“x趋于负无穷”)时函数f(x)的极限
2 （二）内容提要 １．极限的定义 (1) 函数极限、数列极限的描述性定义 极限定义表 类型 描述性定义 极限记号 极限 的 时函数 f (x) x 设函数 y f (x)在 x b ( b 为某个正 实数)时有定义，如果当自变量 x的绝对值 无限增大时，相应的函数值无限接近于某 一个固定的常数 A，则称 A为 x （读作 “x 趋于无穷”）时函数 f (x)的极限 f x A x lim ( ) 或 f (x) A(x ) 极限 的 时函数 f (x) x 设函数 y f (x)在(a,)(a 为某个实数) 内有定义，如果当自变量 x 无限增大时， 相应的函数值 f (x) 无限接近于某一个固 定的常数 A，则称 A为x （读作“ x趋 于正无穷”）时函数 f (x)的极限 f x A x lim ( ) 或 f (x) A(x ) 极限 的 时函数 f (x) x 设函数 y f (x)在(, a) ( a 为某个实 数)内有定义，如果当自变量 x 无限增大 且x 0时，相应的函数值 f (x)无限接近于 某一个固定的常数 A，则称 A为 x （读 作“ x趋于负无穷”）时函数 f (x)的极限 f x A x lim ( ) 或 f (x) A(x )
x→x0 设函数y=f(x)在点的去心邻域 limf(x)=A或 T 时函数 N(。,6)内有定义，如果当自变量x在 fx)的 f(x)→A(x→x) 极限 N(,6)内无限接近于x,时，相应的函数值 ∫x)无限接近于某一个固定的常数A,则 称A为当x→x。(读作“x趋近于x,”)时 函数f(x)的极限 设函数y=fx)在点的左半邻域 limf(x)=A或 x￥XA (x-6,x)内有定义，如果当自变量x在此 x→x0 f(x)→A(x→x) 时函数 半邻域内从x,左侧无限接近于x,时，相应 或f(x。-0)=A f(x)的 的函数值f(x)无限接近于某个固定的常 极限 数A,则称A为当x趋近于x,时函数f(x)的 左极限 设函数y=f(x)的右半邻域(x。x。+6) limf(x)=A或 Tr xx对 内有定义，如果当自变量x在此半邻域内 f(x)→A(x→x) 时函数 从x,右侧无限接近于x,时，相应的函数值 或f(x。+0)=A f(x)的 极限 f(x)无限接近于某个固定的常数A,则称 A为当x趋近于x,时函数f(x)的右极限 对于数列un},若当自然数n无限增大 limu=A或 开00 时，通项u无限接近于某个确定的常数， un→A(n→o) 数列 则称A为当n趋于无穷时数列{un}的极限， u}的 或称数列un}收敛于A 极限 若数列{：}的极限不存在，则称数列 limu不存在 {}发散
3 极限 的 时函数 ( ) 0 f x x x 设函数 y f (x) 在点 0 x 的去心邻域 (ˆ , ) N x0 内有定义，如果当自变量 x 在 (ˆ , ) N x0 内无限接近于 0 x 时，相应的函数值 f (x)无限接近于某一个固定的常数 A，则 称 A为当 0 x x （读作“ x 趋近于 0 x ”）时 函数 f (x)的极限 f x A x x lim ( ) 0 或 ( ) ( ) 0 f x A x x 极限 的 时函数 ( ) 0 f x x x 设函数 y f (x) 在点 0 x 的左半邻域 ( , ) 0 0 x x 内有定义，如果当自变量 x在此 半邻域内从 0 x 左侧无限接近于 0 x 时，相应 的函数值 f (x) 无限接近于某个固定的常 数 A，则称 A为当x 趋近于 0 x 时函数 f (x)的 左极限 f x A x x lim ( ) 0 或 f x A f x A x x ( 0) ( ) ( ) 0 0 或 极限 的 时函数 ( ) 0 f x x x 设函数 y f (x) 的右半邻域 ( ) x0, x0 内有定义，如果当自变量 x 在此半邻域内 从 0 x 右侧无限接近于 0 x 时，相应的函数值 f (x)无限接近于某个固定的常数 A，则称 A为当x趋近于 0 x 时函数 f (x)的右极限 f x A x x lim ( ) 0 或 f x A f x A x x ( 0) ( ) ( ) 0 0 或 数列 un 的 极限 对于数列un ，若当自然数n无限增大 时，通项 n u 无限接近于某个确定的常数, 则称 A为当n趋于无穷时数列un 的极限， 或称数列un 收敛于 A un A n lim 或 u A(n ) n 若数列xn 的极限不存在，则称数列 xn 发散 n n u lim 不存在
(2)单侧极限与极限的关系定理 ①1imf(x)=A的充分必要条件是Iimf(x)=limf(x)=A. ②1imf(x)=A的充分必要条件是imf(x)=limf(x)=A. (3)极限存在准则 ①单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限. ②夹逼准则 若当x∈N(民，6)时，有g(x)≤fx)≤h(x),且1img(x)=A,Iimh(x)=A, 则1imf(x)=A. 夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立. 2.极限的四则运算法则 设1imfx)及1img(x)都存在，则 (1)1im/x)±g(x】=imf6)±im8x): (2) im/x)g(x】小=im)img6), x-xo lim [Cf(x)]=C lim f(x) (C为任意常数)； r I-Y (3) lim lim f(x) (Iimg(x)≠0). +g(x)→0g(x) 0 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样 成立
4 （2）单侧极限与极限的关系定理 ① f x A x lim ( ) 的充分必要条件是 lim f (x) x f x A x lim ( ) ． ② f x A x x lim ( ) 0 的充分必要条件是 lim ( ) 0 f x x x f x A x x lim ( ) 0 ． （３）极限存在准则 ①单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限． ②夹逼准则 若当 (ˆ , ) x N x0 时，有 g(x） f (x) h(x) ，且 g x A x x lim ( ) 0 ， h x A x x lim ( ) 0 ， 则 f x A x x lim ( ) 0 ． 夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立. 2. 极限的四则运算法则 设 lim ( ) 0 f x xx 及 lim ( ) 0 g x xx 都存在，则 (1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x f x g x xx xx xx ； (2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x f x g x xx xx xx , lim ( ) lim ( ) 0 0 Cf x C f x xx xx (C 为任意常数); (3) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x xx xx (lim ( ) 0) 0 g x x x ． 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样 成立．
3.两个重要极限 (1) sin x=1, lim 一般形式为lim sinu()=1(其中代表x的任意 x→0X ux-0u(x） 函数). (2) lim (x) 一般形式为im1+1】 =e(其中M代表，的任意函数). 4.无穷小量与无穷大量 在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时，均以x→x。 的极限变化过程为例.其他极限变化过程，有完全类似的结论. (1)无穷小量 在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程 中的无穷小量，简称无穷小.例如，如果imf(x)=0,则称当x→x 时，f(x)是无穷小量. 注意一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量 的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作 为无穷小的常数。 (2) 无穷大量 在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这
5 3． 两个重要极限 (1) 1, sin lim 0 x x x 一般形式为 1 ( ) sin ( ) lim ( ) 0 u x u x u x （其中u(x) 代表x的任意 函数）． (2) , 1 lim 1 e x x x 一般形式为 e ( ) ( ) ( ) 1 lim 1 u x u x u x （其中u(x) 代表x的任意函数）． ４． 无穷小量与无穷大量 在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时, 均以 0 x x 的极限变化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论． （１）无穷小量 在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程 中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果 lim ( ) 0 0 f x x x ，则称当 0 x x 时, f (x)是无穷小量． 注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量 的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作 为无穷小的常数． （２） 无穷大量 在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这