第八章常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 (一)基本要求 1.了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解 等概念 2.掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法 3.了解二阶线性微分方程解的结构 4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 5.会求自由项为Pn(x)e2x或Pn(x)ecosBx,Pn(x)esinBx时的二 阶常系数非齐次线性微分方程的解， 6.知道特殊的高阶微分方程（ym=f),y=fx,),y=f0y,)） 的降阶法 7.会用微分方程解决一些简单的实际问题 重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量 法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构， 二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变 易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程 的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题
1 第八章 常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解 等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为 x mP x ( )e 或 P x x x m ( )e cos ， P x x x m ( )e sin 时的二 阶常系数非齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（ ( ) ( ) y f x n ， y f (x, y)， y f ( y, y)） 的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量 法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构， 二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变 易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程 的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题
(二)内容提要 1.微分方程的基本概念 (1)微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是 多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称 微分方程 (2)微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的 阶.如果把函数y=(x)代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则称 该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立 的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通 解 (3)初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意 常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微 分方程的特解， (4)独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设y,(x),y,(x)是定义在区间(a,b)内的函数，若存在两个不全为零的 数k,k,使得对于区间(a,b)内的任一x,恒有
2 （二）内容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是 多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称 微分方程. ⑵ 微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的 阶.如果把函数 y f (x)代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称 该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立 的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通 解.⑶ 初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意 常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微 分方程的特解. ⑷ 独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是定义在区间(a,b)内的函数，若存在两个不全为零的 数 1 2 k , k ，使得对于区间(a,b)内的任一x ，恒有
ky1(x)+k2y2(x)=0 成立，则称函数y,(x),y,(x)在区间(a,b)内线性相关，否则称为线性无 关 显然，函数(，，()线性相关的充分必要条件是四在区间 y2(x) (a,b)内恒为常数. 如果)不恒为常数，则y,(x,y,(x)在区间(a,b)内线性无关。 y2(x) ②独立的任意常数 在表达式y=C1(w)+C22()(C,C2为任意常数)中，C1,C2为独立 的任意常数的充分必要条件为(，2(x)线性无关 2.可分离变量的微分方程 (1)定义形如 dy-f(x)g(y) d 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边 可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的 函数，即f(x),g(y)分别是变量x,y的已知连续函数。 (2)求解方法 可分离变量的微分方程少=fg)的求解方法， 一般有如下两步： 第一步：分离变量 g(y)dy=f(x)dx, 第二步：两边积分 ∫gy)dy=∫f(x)dr
3 ( ) ( ) 0 k1 y1 x k 2 y2 x 成立，则称函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 在区间(a,b)内线性相关，否则称为线性无 关.显然，函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 线性相关的充分必要条件是 ( ) ( ) 2 1 y x y x 在区间 (a,b)内恒为常数. 如果 ( ) ( ) 2 1 y x y x 不恒为常数，则 ( ), ( ) 1 2 y x y x 在区间(a,b)内线性无关. ②独立的任意常数 在表达式 ( ) ( ) 1 1 2 2 y C y x C y x ( C1 , C2 为任意常数) 中, C1 ,C2 为独立 的任意常数的充分必要条件为 ( ) 1y x , ( ) 2y x 线性无关. 2.可分离变量的微分方程 ⑴定义 形如 ( ) ( ) d d f x g y x y 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边 可以分解成两个函数之积，其中一个仅是 x 的函数，另一个仅是 y 的 函数，即 f (x), g( y)分别是变量 x, y的已知连续函数. ⑵求解方法 可分离变量的微分方程 ( ) ( ) d d f x g y x y 的求解方法, 一般有如下两步: 第一步:分离变量 g( y)dy f (x)dx ， 第二步:两边积分 g( y)dy f (x)dx
3.线性微分方程 (1)一阶线性微分方程 ①定义形如 dy+P(x)y=Q(x). 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x),Qx)都是x的已知连 续函数，“线性”是指未知函数y和它的导数y都是一次的. ②求解方法 一阶线性微分方程少+P(xy=Q()的求解方法，一 般有如下两步： 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程业+P(xy=Q(x)所 dx 对应的齐次线性微分方程少+P(xy=0的通解y.=Ce 第二步：设y=Cx)eJ为一阶线性微分方程+P(xy=Qx)的 dx 解，代入该方程后，求出待定函数C(x) 第三步：将c代入y=C(x)e中，得所求一阶线性微分方程 +Pxy=Q)的通解. dx 注意只要一阶线性微分方程是少+Pxy=Qx)的标准形式，则 dx 将y=C(x)ePt代入一阶线性微分方程后，整理化简后，必有 C'(xe∫Pt=Q(x), 该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中，以简化运算过程， ③一阶线性微分方程业+Pxy=Q(x)的求解公式 dx (其中C为任意常数). (2)二阶常系数齐次线性微分方程 ①定义形如
4 3. 线性微分方程 ⑴ 一阶线性微分方程 ①定义 形如 ( ) ( ) d d P x y Q x x y . 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x),Q(x)都是 x 的已知连 续函数，“线性”是指未知函数 y 和它的导数 y都是一次的. ②求解方法 一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的求解方法,一 般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 所 对应的齐次线性微分方程 ( ) 0 d d P x y x y 的通解 P x x yc C ( )d e . 第二步：设 P x x y C x ( )d ( ) e 为一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的 解,代入该方程后,求出待定函数C(x) . 第三步: 将C(x) 代入 P x x y C x ( )d ( ) e 中,得所求一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的通解. 注意 只要一阶线性微分方程是 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的标准形式,则 将 P x x y C x ( )d ( ) e 代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有 ( )e ( ) ( )d C x Q x P x x , 该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. ③一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 的求解公式 y Q x x C P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d (其中C 为任意常数). ⑵ 二阶常系数齐次线性微分方程 ①定义 形如
y"+py'+qy=0 的微分方程（其中p,g均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分 方程 ②求解方法求解二阶常系数齐次线性微分方程，一般分为如下 三步： 第一步写出方程y+p四+w=0的特征方程r2+pm+q=0, 第二步求出特征方程的两个特征根n,2, 第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出 y+p四+=0的通解. 有两个不 y=Ce+C,e 同特征实 1≠2 根 有两个相 y=(C+C2 x)e 同特征实 1=2=r 根 有一对共 y=(C1cosβx+C2 sinBx)e“ n,2=a±iB 轭复根 (3)二阶常系数非齐次线性微分方程 ①定义形如 y"+py'+qy=f(x) 的微分方程（其中p,g均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微 5
5 y py qy 0 的微分方程（其中 p, q均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分 方程.②求解方法 求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下 三步: 第一步 写出方程 y py qy 0 的特征方程 0 2 r pr q ， 第二步 求出特征方程的两个特征根 1 r , 2 r ， 第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出 y py qy 0的通解. 有两个不 同特征实 根 1 r 2 r r x r x y C 1 C 2 e e 1 2 有两个相 同特征实 根 1 r r r 2 rx y (C C x) e 1 2 有一对共 轭复根 r1,2 i x y C x C x ( cos sin ) e 1 2 ⑶二阶常系数非齐次线性微分方程 ①定义 形如 y py qy f (x) 的微分方程（其中 p, q均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微