第三章导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率） 描述一些简单的实际问题， 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导 公式 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一 阶导数的求法。 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法， 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的 二阶导数的求法， 难点求复合函数和隐函数的导数的方法
1 第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率） 描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导 公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一 阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的 二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法
(二) 内容提要 1.导数的概念 (1)导数 设函数y=fx)在点x,的某一邻域内有定义，当自变量x在点x,处 有增量△x(△x≠O),x+△x仍在该邻域内时，相应地，函数有增量 Ay=f(x,+△x)-fx,),若极限 1imAy=limf+△x)-f) Ax-0△xA-0 △x 存在，则称fx)在点x,处可导，并称此极限值为fx)在点x,处的导数， 记为f(x,),也可记为y(x),y dy 或 ,即 =x。’dx=x。dx=xo f)-架=典飞+ 若极限不存在，则称y=f)在点x处不可导. 若固定x,令x,+△x=x,则当△x→0时，有x→x,所以函数fx)在 点x,处的导数f'x,)也可表示为 -, (2)左导数与右导数 ①函数f(x)在点x处的左导数 (lim Av=lim)(). △x
2 （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数 y f (x)在点 0 x 的某一邻域内有定义，当自变量 x在点 0 x 处 有增量 x(x 0) ， x x 0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量 ( ) ( ) 0 0 y f x x f x ，若极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x x x 存在，则称 f (x)在点 0 x 处可导，并称此极限值为 f (x)在点 0 x 处的导数， 记为 ( ) 0 f x ，也可记为 0 0 0 0 d d d d ( ) , , x x x f x x x y x x y x y 或 ，即 x f x x f x x y f x x x ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 . 若极限不存在，则称 y f (x)在点 0 x 处不可导. 若固定 0 x ，令x x x 0 ，则当x 0时，有 0 x x ，所以函数 f (x)在 点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x 也可表示为 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x . ⑵ 左导数与右导数 ① 函数 f (x)在点 0 x 处的左导数 ( ) 0 f x ＝ x f x x f x x y x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0
②函数fx)在点x,处的右导数 x)=©是=四6+a0-f. △x ③函数f(x)在点x,处可导的充分必要条件是f(x)在点x,处的左导 数和右导数都存在且相等， 2.导数的几何意义 (1)曲线的切线 在曲线上点M的附近，再取一点M,作割线MM,当点M,沿曲线 移动而趋向于M时，若割线MM,的极限位置MT存在，则称直线MT为 曲线在点M处的切线， (2)导数的几何意义 函数y=f(x)在点x处的导数表示曲线y=f(x)在点(x,fx)》处的切 线斜率。 关于导数的几何意义的3点说明： ①曲线y=f(x)上点)处的切线斜率是纵标变量y对横标变量 x的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时 优为重要， ②如果函数y=到在点x处的导数为无穷（即一是=”，此时四 在x处不可导)，则曲线y=f(x)上点(x,)处的切线垂直于x轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直 于x轴的切线
3 ② 函数 f (x)在点 0 x 处的右导数 ( ) 0 f x ＝ x f x x f x x y x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 . ③函数 f (x)在点 0 x 处可导的充分必要条件是 f (x)在点 0 x 处的左导 数和右导数都存在且相等． ２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线 在曲线上点 M 的附近，再取一点M1，作割线MM1，当点M1沿曲线 移动而趋向于M 时，若割线MM1的极限位置MT 存在，则称直线MT 为 曲线在点M 处的切线． ⑵导数的几何意义 函数 y f (x)在点 0 x 处的导数表示曲线 y f (x)在点( , ( )) 0 0 x f x 处的切 线斜率. 关于导数的几何意义的 3 点说明: ①曲线 y f (x) 上点( , ) 0 0 x y 处的切线斜率是纵标变量 y 对横标变量 x 的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时 优为重要. ②如果函数 y f (x)在点 0 x 处的导数为无穷(即 x y x 0 lim ,此时 f (x) 在 0 x 处不可导),则曲线 y f (x)上点 ( , ) 0 0 x y 处的切线垂直于 x轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直 于x轴的切线
3.变化率 函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限， 即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率（即因变量关于自变量 的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着 自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 4.可导与连续的关系 若函数y=fx)在点x处可导，则y=f(x)在点x处一定连续.但反过 来不一定成立，即在点x处连续的函数未必在点x处可导. 5.高阶导数 (1)二阶导数 函数y=f(x)的一阶导数y='(x)仍然是x的函数，则将一阶导数 f'(x)的导 文fy称为函数y=f)的二阶导数，记为f")或y或之，目 y'=或 d'y_ddy dx2 dxdx (2)n阶导数 m-)阶导数的导数称为n阶导数（n=3,4,,m-,n)分别记 为 "(x)）,f4(x),…,-(x),f(x), 或y”，y,…,y-w,y
4 3.变化率 函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限， 即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量 的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着 自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 4.可导与连续的关系 若函数 y f (x)在点 x处可导，则 y f (x)在点x处一定连续.但反过 来不一定成立，即在点x 处连续的函数未必在点x 处可导. 5. 高阶导数 ⑴二阶导数 函数 y f (x) 的一阶导数 y f (x) 仍然是 x 的函数，则将一阶导数 f (x) 的导 数( f (x)) 称为函数 y f (x)的二阶导数，记为 f (x) 或 y 或 2 2 d d x y ，即 y = ( y) 或 2 2 d d x y = x y x d d d d . ⑵n阶导数 (n 1) 阶导数的导数称为n阶导数（n=3，4， , (n 1) , n）分别记 为 f (x) , ( ) (4) f x , , ( ) ( 1) f x n , ( ) ( ) f x n ， 或 y , (4) y , , (n1) y , n y
或dy,dy d"-y d"y dr3’dr, dxn-1' 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 6.微分 (1)微分的定义 如果函数y=f(x)在点x处的改变量△y=f(x+△x)-f(x),可以表示 成 △y=A△x+o(△x), 其中oAx)是比△x(△x→O)高阶的无穷小，则称函数y=f)在点x处可微， 称A△r为△y的线性主部，又称Ax为函数y=fx)在点x处的微分，记 为dy或d(x),即dy=A△x, (2)微分的计算 df(x)=f'(x)dr,其中dr=△x,x为自变量. (3)一阶微分形式不变性 对于函数f(w),不论u是自变量还是因变量，总有d时(0=f'(w)du成 立 7.求导公式微分公式
5 或 3 3 d d x y , 4 4 d d x y , 1 1 d d n nx y , n nx y d d ， 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 6 . 微分 ⑴微分的定义 如果函数 y f (x)在点x 处的改变量y f (x x) f (x)，可以表示 成 y Ax o(x) ， 其中o(x) 是比 x(x 0) 高阶的无穷小，则称函数 y f(x)在点x 处可微， 称 Ax 为y 的线性主部，又称 Ax 为函数 y f (x)在点x 处的微分，记 为dy或df (x)，即dy Ax . ⑵微分的计算 df (x) f (x)dx ，其中dx x , x为自变量. ⑶一阶微分形式不变性 对于函数 f (u) ,不论 u 是自变量还是因变量,总有df (u) f (u)du 成 立. 7. 求导公式 微分公式