习题选解 第一章习愿选解。 习题1-1 1-间+0 k 器特器 1+1+1 =+x,fx+=+=-,x f(x)1-x1-x 1+(x+1)2+x 1+x 2.下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么？ )f)=2-4 g(x)=x+2: x-2 解：因为f(x)的定义域为(-0,2)U(2,+o),而g(x)的定义域为(-0，+o),所以f(x)与 g(x)定义域不同，因此f(x)与g(x)不相同 (2)fx)=V(3x-1)2,g(x)=3x-1: 解：因为f(x)与g(x)定义域相同，对应法则相同，故f(x)与g(x)相同. 8》f=ng)=nx+)-hr-. x-1≠0 x+1>0 解：由了x+1。解出f(x)的定义域为(-0，-1)U(L,+o),而由 >0 x-1>0解出8()的定义拨 x-1 为(1，+o),所以f(x)与g(x)定义域不同，因此f(x)与g(x)不相同. ④f)=nge)=nr+-r2+D. 解：因为f(x)与g(x)定义域相同，对应法则相同，故f(x)与g(x)相同. 3.设f(x)= 1-2x,y≤1 1x2+1, 时>1求f0.f0.-.f-
习题选解 第一章 习题选解. 习 题 1－1 1．设 x x f x 1 1 ( ) ，求 f (x) ， ) 1 ( x f ， ( ) 1 f x ， f (x 1) ． 解： 1 ( ) 1 x f x x 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 x x f x x x ， 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 x x f x x x 1 1 1 ( ) 1 1 1 x f x x x x ， 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2 x x f x x x 2．下列各题中，函数 f (x) 与 g(x) 是否相同？为什么？ （1） 2 4 ( ) 2 x x f x ， g(x) x 2 ； 解：因为 f (x) 的定义域为 ( ,2) (2, ) ，而 g x( ) 的定义域为 ( , ) ，所以 f x( ) 与 g x( ) 定义域不同，因此 f x( ) 与 g x( ) 不相同． （2） 2 f (x) (3x 1) ， g(x) 3x 1 ； 解：因为 f x( ) 与 g x( ) 定义域相同，对应法则相同，故 f x( ) 与 g x( ) 相同． （3） 1 1 ( ) ln x x f x ， g(x) ln(x 1) ln(x 1) ； 解：由 1 0 1 0 1 x x x 解出 f x( ) 的定义域为 ( , 1) (1, ) ，而由 1 0 1 0 x x 解出 g x( ) 的定义域 为 (1, ) ，所以 f x( ) 与 g x( ) 定义域不同，因此 f x( ) 与 g x( ) 不相同． （4） 1 1 ( ) ln 2 x x f x ， ( ) ln( 1) ln( 1) 2 g x x x ． 解：因为 f x( ) 与 g x( ) 定义域相同，对应法则相同，故 f x( ) 与 g x( ) 相同． 3．设 1 1 1 2 1 ( ) 2 x x x x f x ， ， ，求 f (0) ， f (1) ， f (1) ， ) 2 3 f ( ， ) 2 3 f ( ．
k0=10=1-=3-华- 4.设f(x)=lnx,证明f(x)+f(x+1)=f[x(x+1)]. 证：因为f(x)+f(x+l)=lnx+ln(x+l), 又f[x(x+l]=ln[x(x+I]=lnx+ln(x+1),得证。 5.下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？ (1)y=2x-3x35: 解：因为f(x)=2x-3x,于是 f(-x)=-2x+3x3=-(2x-3x),所以原函数为奇函数. (2)y=sinx+sin2x: 解：因为f(x)=sinx+sin2x,于是 f(-x)=sin(-x)+sin2(-x)=-sinx+sin2x,不等于f(x)或-f(x), 所以原函数为非奇非偶函数。 (3)y=sin(sinx): 解：因为f(x)=sin(sinx),于是 f(-x)=sin(sin(-x)=sin(-sinx)=-sin(sinx)=-f(x),所以原函数为奇函数。 (4)y=a-a ，(a>1): 2 解：因为f)=心-a 2 .(a>1),于是 仁=”4。-4=)，所以厚西数为音商数 2 2 (5)y=a+a .(a>1): 2 解：因为闭)=+a 2 (a>1),于是
解： f (0) 1 ， f (1) 1 ， f ( 1) 3 ， 3 13 ( ) 2 4 f ， 3 13 ( ) 2 4 f ． 4．设 f (x) ln x ，证明 f (x) f (x 1) f [x(x 1)] ． 证：因为 f x f x x x ( ) ( 1) ln ln( 1) ， 又 f x x x x x x [ ( 1)] ln[ ( 1)] ln ln( 1) ， 得证。 5．下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？ （1） 5 y 2x 3x ； 解：因为 5 f x x x ( ) 2 3 ，于是 5 5 f x x x x x ( ) 2 3 (2 3 ) ，所以原函数为奇函数． （2） y x x 2 sin sin ； 解：因为 2 f x x x ( ) sin sin ，于是 2 2 f x x x x x ( ) sin( ) sin ( ) sin sin ，不等于 f x( ) 或 f x( ) ， 所以原函数为非奇非偶函数． （3） y sin(sin x)； 解：因为 f x x ( ) sin(sin ) ， 于是 f x x x x f x ( ) sin(sin( )) sin( sin ) sin(sin ) ( ) ，所以原函数为奇函数。 （4） ( 1) 2 a a a y x x ； 解：因为 ( ) ( 1) 2 x x a a f x a ，于是 ( ) ( ) 2 2 x x x x a a a a f x f x =- =- ，所以原函数为奇函数． （5） ( 1) 2 a a a y x x ； 解： 因为 ( ) ( 1) 2 x x a a f x a ，于是
()-Q+a=-d+af(x),所以原函数为偶函数. 2 a'-1 (6)y= (a>1): a'+1 解：因为f)=x产- ，于是 a+1 f-x)=- a-1_1-a-1 a+1 l+ai=x =一x +ifx),所以原函数为偶函数。 (7)y=1g 2-x 2+x 解因为f)=1g2-x ,于是 2+x f(-x)=lg 2+x=-1g 2- =一f(x)，所以原函数为奇函数. 2-x 2+x (8)y=sinx-cosx+1: 解：因为f(x)=sinx-coSx+1,于是 f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-coSx+1,不等于f(x)或-f(x),所以原函数 为非奇非偶函数。 COSx (9)y= V1-x2 解：因为fx)=c0sx ,于是 V1-x2 f(-x)=-cos(-x)=cosx V一一疗-产=)，所以原函数为锅通数 (10)y=lg(x+V1+x2). 解：因为f(x)=lg(x+√1+x2),于是 1 f(-x)=lg(-x+√1+(-x)2)=-lg -lg++x-1ex++r)=-f vI+x2-x 1 ,所以原函数为奇函数 6.对于下列函数f(x)与g(x),求复合函数f[g(x)]和g[f(x)],并确定它们的定义域
( ) ( ) 2 2 x x x x a a a a f x f x =- = ，所以原函数为偶函数． （6） ( 1) 1 1 a a a y x x x ； 解： 因为 1 ( ) 1 x x a f x x a ，于是 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 x x x x x x a a a f x x x x f x a a a = ，所以原函数为偶函数． （7） x x y 2 2 lg ； 解：因为 2 ( ) lg 2 x f x x ，于是 2 2 ( ) lg lg ( ) 2 2 x x f x f x x x = ，所以原函数为奇函数． （8） y sin x cos x 1； 解：因为 f x x x ( ) sin cos 1 ，于是 f x x x x x ( ) sin( ) cos( ) 1 sin cos 1 ，不等于 f x( ) 或 f x( ) ，所以原函数 为非奇非偶函数． （9） 2 1 cos x x y ； 解：因为 2 cos ( ) 1 x f x x ，于是 2 2 cos( ) cos ( ) ( ) 1 ( ) 1 x x f x f x x x = ，所以原函数为偶函数． （10） lg( 1 ) 2 y x x ． 解：因为 2 f x x x ( ) lg( 1 ) ，于是 2 2 2 2 1 1 ( ) lg( 1 ( ) ) lg lg lg( 1 ) ( ) 1 1 x x f x x x x x f x x x =- ，所以原函数为奇函数． 6．对于下列函数 f (x) 与 g(x) ，求复合函数 f [g(x)] 和 g f x [ ( )] ，并确定它们的定义域．
(1)f(x)=2x+3, g(x)=x2-1: 解：f[g(x)]=2(x2-1)+3=2x2+1,x∈(-0，+o): g[f(x]=(2x+3)2-1=4x2+12x+8,x∈(-o,+o). (2)fx)=Vx-1, g(x)=x4: 解：f[g(x)]=Vx4-1,x∈(-o,-1]UL,+oo): g[f(x)]=(x-1)2,x∈[1，+o). (3)f(x)=2,g(x)=sin(x+1) 解：fg(x】=2mx+,x∈(-oo,+oo). g[f(x)]=sin(2*+1),x(-0o,+0) 7.设f(x)=ax+b,满足fLf(x)]=x,且f(2)=-1,求f(x) 解：因为f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+(a+1)b=x,得a2=【a}be, 当a=1时，b=0,f(x扌，与f(2)=-1矛盾：所以，a=-1,此时， f(x)=-x+b, 由f(2)=-1知，b=1,故f(x)=-x+1, 8.设y=arcsin u,l=e',v=-√x,试将y表示成x的函数. 解：y=arcsine 9.指出下列各复合函数是由哪些简单函数复合而成的 (1)y=(arcsin v1-x2)2: 解：由y=2,u=arcsinv,y=√f,t=1-x2复合而成. (2)y=sec31-马： 解，由y=d,u=SeC,y=1-1复合面成 (3)y=log。sine+:
（1） ( ) 2 3 ( ) 1 2 f x x ， g x x ； 解： 2 2 f g x x x x [ ( )] 2( 1) 3 2 1, ( , ) ； 2 2 g f x x x x x [ ( )] (2 3) 1 4 12 8, ( , ) ． （2） 4 f (x) x 1， g(x) x ； 解： 4 f g x x x [ ( )] 1,, ( , 1] [1, ) ； 2 g f x x x [ ( )] ( 1) , [1, ) ． （3） f (x) 2 g(x) sin(x 1) x ， ． 解： sin( 1) [ ( )] 2 , ( , ) x f g x x ． [ ( )] sin(2 1), ( , ) x g f x x ． 7．设 f (x) ax b ，满足 f [ f (x)] x ，且 f (2) 1 ，求 f (x) ． 解：因为 2 f f x a ax b b a x a b x [ ( )] ( ) ( 1) ，得 2 a a b 1,( 1) 0 ， 当 a 1 时 ， b f x x 0, ( ) ， 与 f (2) 1 矛盾；所以， a 1 ，此时， f x x b ( ) ， 由 f (2) 1 知， b 1 ，故 f x x ( ) 1 ． 8．设 y u u e v x v arcsin ， ， ，试将 y 表示成 x 的函数． 解： arcsin x y e ． 9．指出下列各复合函数是由哪些简单函数复合而成的． （1） 2 2 y (arcsin 1 x ) ； 解：由 2 2 y u u v v t t x , arcsin , , 1 复合而成． （2） ) 1 sec (1 3 x y ； 解：由 3 1 y u u v v , sec , 1 x 复合而成． （3） 1 log sin x a y e ；
解：由y=log u,u=sinv,v=e,t=x+1复合而成. x-1 (4)y=arctan 解：由y=arctanu,u=f,v=X 2 复合而成。 10.以下各对函数y=∫()与4=g(x)中，哪些可以复合成复合函数f[g(x)]？哪些不能复 合？为什么？ (1)y=arcsin(2+u), u=x2: 解：因为2+x2≥2不在arcsint的定义域内，所以y=f()与u=g(x)不能复合成复合 函数f[g(x)]. (2)y=arccosu, u=- +x2: 为1十7∈(-1,1)在ac0su的定义城内，所以y=/)与u=g能复合成复 X 解：因为 合函数f[g(x)]: (3)y=Vu, u=In- 解：因为u=ln, +平≤0不在y=Vi的定义城内，所以y=f仙与u=g不能起 合成复合函数f[g(x)] (4)y=ln(1-w), u=sinx. 解：因为l-sinx≥0与y=lnt的定义域交集非空，所以y=f(u)与u=g(x)能复合 成复合函数f[g(x)]. 11.设f(x)的定义域为[0，l],问(1)f(x2):(2)f(sinx),(3)f(x+a)(a>0): (4)f(x+a)+f(x-a)(a>O)的定义域各是什么？ 解：(1)0≤x2≤1，即-1≤x≤1，所以f(x2)的定义域为[-1,1]： (2)0≤sinx≤1，即2nm≤x≤(2n+1)m,n=1,2,3…所以f(sinx)的定
解：由 log , sin , , 1 t a y u u v v e t x 复合而成． （4） 3 2 1 arctan x y ． 解：由 2 1 arctan , , 3 x y u u v v 复合而成． 10．以下各对函数 y f (u) 与 u g(x) 中，哪些可以复合成复合函数 f [g(x)] ？哪些不能复 合？为什么？ （1） 2 y arcsin(2 u)， u x ； 解：因为 2 2 2 x 不在 arcsint 的定义域内，所以 y f (u) 与 u g(x) 不能复合成复合 函数 f [g(x)]． （2） 2 1 arccos x x y u u ， ； 解：因为 2 ( 1,1) 1 x x 在 arccosu 的定义域内，所以 y f (u) 与 u g(x) 能复合成复 合函数 f [g(x)]． （3） 2 1 1 ln x y u u ， ； 解： 因为 2 1 ln 0 1 u x 不在 y u 的定义域内，所以 y f (u) 与 u g(x) 不能复 合成复合函数 f [g(x)]． （4） y ln(1 u)， u sin x ． 解： 因为 1 sin 0 x 与 y t ln 的定义域交集非空，所以 y f (u) 与 u g(x) 能复合 成复合函数 f [g(x)]． 11．设 f (x) 的定义域为 [0，1] ，问（1） ( ) 2 f x ；（2） f (sin x) ，（3） f (x a)(a 0) ； （4） f (x a) f (x a)(a 0) 的定义域各是什么？ 解：（1） 2 0 1 x ，即 1 1 x ，所以 ( ) 2 f x 的定义域为 [ 1,1] ； （2） 0 sin 1 x ，即 2 (2 1) n x n ， n 1,2,3 所以 f (sin x) 的定