第六章定积分 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解定积分的概念及其性质. 2.了解定积分的几何意义. 3.了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式. 4.掌握定积分的换元法和分部积分法. 5.了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿-莱布尼茨 公式，定各分的换元法和分部积分法. 重点定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿-莱布尼茨公 式，定积分的换元法和分部积分法 难点变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法
1 第六章 定积分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义． 3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法． 5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨 公式，定各分的换元法和分部积分法． 重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公 式，定积分的换元法和分部积分法． 难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法．
(二)内容提要 1.曲边梯形 所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形. 2.定积分的概念与定积分的几何意义 (1)定积分的概念 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，任取分点 a=x0<X1<x2<…<xm-1<xn=b, 把区间[a,b]分成n个小区间[x-x,]i=1,2…,n),记为 Ax=x-x-=12,…,m元=maxx} 再在每个小区间[x-x]上，任取一点，取乘积f(5)△x,的和式，即 2f5Ax· 如果元→0时上述极限存在（即这个极限值与[a,b]的分割及点： 的取法均无关)，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，并且称此极限 值为函数fx)在[a,b1上的定积分，记做∫心fx，即 ∫fx)dr=lm2fE,)Ax, .0 其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量， [a,1称为积分区间，a与b分别称为积分下限与积分上限，符号 ∫心fx)d读做函数fx)从a到b的定积分. 关于定积分定义的说明： 2
2 （二）内容提要 1．曲边梯形 所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义 （1）定积分的概念 设函数 y f (x)在区间[a,b]上有定义，任取分点 a x x x x x b 0 1 2 n1 n ， 把区间[a,b]分成n个小区间[ ]( 1,2 , ) 1, x x i n i i ，记为 i i n i i i x x x i n x 1 1( 1,2,, ), max ， 再在每个小区间[ , ] i 1 i x x 上，任取一点 i ，取乘积 i i f ( )x 的和式，即 i n i i f x 1 ( ) ． 如果 0时上述极限存在（即这个极限值与[a,b]的分割及点 i 的取法均无关），则称函数 f (x) 在闭区间[a,b]上可积，并且称此极限 值为函数 f (x)在[a,b]上的定积分，记做 b a f (x)dx，即 b a n i i i f x x f x 1 0 ( )d lim ( ) ， 其中 f (x)称为被积函数， f ( x ) d x 称为被积表达式，x 称为积分变量， [a,b] 称为积分区间， a 与 b 分别称为积分下限与积分上限，符号 b a f (x)dx读做函数 f (x)从a到b 的定积分． 关于定积分定义的说明：
①定积分是特定和式的极限，它表示一个数.它只取决于被积函 数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如 。sind=snd,一般地有 ∫fx)=∫fod. ②定积分的存在定理：如果f(x)在闭区间[α，b]上连续或只有有限 个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积. (2)定积分的几何意义 设fx)在[a,]上的定积分为fx)d,其积分值等于曲线y=fx)、 直线x=a,x=b和y=0所围成的在x轴上方部分与下方部分面积的代 数和. 3.定积分的性质 (1)积分对函数的可加性，即 0fx)±g(x)r=Jfx)dr±∫gx)x, 可推广到有限项的情况，即 ∫(x)±f(x)±±fxx=∫xd±±f(xd. (2)积分对函数的齐次性，即 ∫f(xdr=f(x)dx (为常数). (3)如果在区间[a,b]上f(x)=1,则1dr=b-a. (4)(积分对区间的可加性)如果a<c<b,则 ∫fxd=∫fxdr+∫fx)dr. 注意：对于α，b,c三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍
3 ①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函 数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如 π / 2 0 π / 2 0 sin xdx sin tdt ，一般地有 b a f (x)dx = b a f (t)dt ． ②定积分的存在定理：如果 f (x)在闭区间[a,b]上连续或只有有限 个第一类间断点，则 f (x)在[a,b]上可积． （2）定积分的几何意义 设 f (x)在[a,b]上的定积分为 b a f (x)dx，其积分值等于曲线 y f (x)、 直线 x a, x b 和 y 0 所围成的在 x 轴上方部分与下方部分面积的代 数和． 3．定积分的性质 （1）积分对函数的可加性，即 b a b a b a [ f (x) g(x)dx] f (x)dx g(x)dx , 可推广到有限项的情况，即 b a b a b a n n [ f (x) f (x) f (x)]dx f (x)dx f (x)dx 1 2 1 ． （2）积分对函数的齐次性，即 b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k为常数)． （3）如果在区间[a,b]上 f (x) 1，则 b a 1dx b a ． （4）（积分对区间的可加性）如果a c b，则 b a ca b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx． 注意：对于a,b,c三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍
有 「fx)dr=∫fxdr+dx. (5)(积分的比较性质)如果在区间[a,b1上有f(x)≤g(x),则 ∫fex)drs∫gxdr. (6)(积分的估值性质)设M与m分别是函数f(x)在闭区间[a,b] 上的最大值与最小值，则 mb-a)≤∫f(x)dr≤M(b-a). (7)(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则 在区间[a,b)]上至少存在一点5，使得 ∫fxdr=fb-a). 4.变上限的定积分 (1)变上限的定积分 当r在[a,b]上变动时，对应于每一个x值，积分∫f)d就有一个 确定的值，∫f)因此是变上限的一个函数，记作 (x)=f(d (a≤x≤b), 称函数(x)为变上限的定积分. (2)变上限的定积分的导数 如果函数f(x)在闭区间[a,b1上连续，则变上限定积分 (x)=fu)dt在闭区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即 地=0(=&f0d=j 4 (a≤x≤b)
4 有 b a ca b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx． （5）（积分的比较性质）如果在区间[a,b]上有 f (x) g(x)，则 b a b a f (x)dx g(x)dx． （6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数 f (x)在闭区间[a,b] 上的最大值与最小值，则 m(b a) f (x)dx M (b a) b a ． （7）（积分中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，则 在区间[a,b]上至少存在一点 ，使得 b a f (x)dx f ( )(b a)． 4．变上限的定积分 （1）变上限的定积分 当x 在[a,b]上变动时，对应于每一个 x值，积分 xa f (t)dt 就有一个 确定的值， xa f (t)dt 因此是变上限的一个函数，记作 xa (x) f (t)dt (a x b)， 称函数(x)为变上限的定积分． （2）变上限的定积分的导数 如 果 函 数 f (x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 连 续 ， 则 变 上 限 定 积 分 xa (x) f (t)dt在闭区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即 xa f t t f x a x b x x x ( )d ( ) ( ) d d ( ) d d ．
5.无穷区间上的广义积分 设函数f(x)在[a,+o)上连续，任取实数b>a,把极限1im∫f(x)dr称 方￥400 为函数f(x)在无穷区间上的广义积分，记做 ∫2fex)dr=-lim(x)dx, 若极限存在，则称广义积分∫fx)dr收敛：若极限不存在，则称广义 积分∫fx)dx发散， 类似地，可定义函数fx)在（∞，]上的广义积分为 ∫fex)dr=lim∫fxdr. 函数f(x)在区间(-o,+o)上的广义积分为 ∫fx)d=∫fx)dr+fx)dr, 其中c为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分∫“x)d 才是收敛的：否则广义积分f(x)dx是发散的. 6.微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 设函数fx)在闭区间[a,b]上连续，如果F(x)是f(x)的任意一个原 函数，则 (d-F)F)-F( 以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿-莱布尼茨公式
5 5．无穷区间上的广义积分 设函数 f (x)在[a,)上连续，任取实数b a，把极限 b b a lim f (x)dx 称 为函数 f (x)在无穷区间上的广义积分，记做 b a b a f (x)dx lim f (x)dx， 若极限存在，则称广义积分 a f (x)dx 收敛；若极限不存在，则称广义 积分 a f (x)dx 发散． 类似地，可定义函数 f (x)在 ,b上的广义积分为 b a b a f (x)dx lim f (x)dx ． 函数 f (x)在区间(,) 上的广义积分为 c c f (x)dx f (x)dx f (x)dx ， 其中c为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分 f (x)dx 才是收敛的；否则广义积分 f (x)dx是发散的． 6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 设函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，如果 F(x)是 f (x) 的任意一个原 函数，则 f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a ， 以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式．