习题选解（第二章） 习题2-1 1.举例说明函数的可导性和连续性之间的关系. 解：若函数f(x)在点x,可导，则函数f(x)在点x。一定连续，但连续不一定可导. 例如：f(x)=ln(x+1)在x=0处可导，它在x=0处必连续：而f(x)=x在 x=0处连续，但它在x=0处不可导. 2.作直线运动的质点，它所经过的路程与时间的关系为S=312+1,求1=2时质点运动速度. 解：质点在1=2时的运动速度为V(2)= ds dt2 =612=12. 3.设y=5x2,根据导数的定义求dy dx=-1 d 5x2-5 解： f(x)-f(-D)=lim x-x-(-1) x→-1x+1 =5lim(x-1)=-10 x→-1 4.用导数的定义证明(cosx)'=-sinx. -2sin(x+ △X .△x 解：(cosx)y=li cos(x+△r)-cosX=lim 2 △r0 △x △r→0 △x △x sin △ lim-sin(x+ 2=-sinx· △x-→0 2) 2 5.已知f(xo)存在，求下列极限 (1) limf。+2A)-fx). (2) lim o-Ax)-f(%o) △r→0 △x △x+0 △x (3) limh)-f(xo-h) h→0 h 解：(1) lim ,+2x0-f=21imf,+2A)-f）=2f). Ar>0 △x △r0 2△x (2) imf。-A)-f）-limf。-A-fo）=-f'x): △r0 △x △x>0 -△x 1
1 习题选解（第二章） 习 题 2－1 1．举例说明函数的可导性和连续性之间的关系． 解：若函数 f x( ) 在点 0 x 可导，则函数 f x( ) 在点 0 x 一定连续，但连续不一定可导． 例如： f x x ( ) ln( 1) 在 x 0 处可导，它在 x 0 处必连续；而 f x x ( ) 在 x 0 处连续，但它在 x 0 处不可导． 2．作直线运动的质点，它所经过的路程与时间的关系为 3 1 2 s t ，求 t 2 时质点运动速度． 解：质点在 t 2 时的运动速度为 2 2 (2) 6 12 t t ds v t dt ． 3．设 2 y 5x ，根据导数的定义求 d 1 d x x y ． 解： 2 1 1 1 ( ) ( 1) 5 5 lim lim ( 1) 1 x x x dy f x f x dx x x 1 5 lim( 1) 10 x x 4．用导数的定义证明 (cos x) sin x ． 解： 0 0 2sin( )sin cos( ) cos 2 2 (cos ) lim lim x x x x x x x x x x x 0 sin 2 lim sin( ) sin 2 2 x x x x x x ． 5．已知 ( ) 0 f x 存在，求下列极限 （1） x f x x f x x ( 2 ) ( ) lim 0 0 0 ； （2） x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 ； （3） h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0 ． 解：（1） x f x x f x x ( 2 ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ( 2 ) ( ) 2 lim 2 ( ) x 2 f x x f x f x x ． （2） 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) x x f x x f x f x x f x f x x x ；
(3) lim f(xo+h)-f(xo-h) h->0 h =limf+h)-f）_f-)-f=2f'(x,). h h 6.求下列函数的导数 (1)y=x3: (2)y=Vx: (3)y=x18: 1 1 (5)y= (6) y=诉 解：0y=5x:ay=(ey=V,6y=18 ④y=y=- 2√Fy=xy=-2 ⑥y=y=y=2x 10 7.讨论下列函数在x=0处的连续性和可导性. 1 x2 sin x≠0 (1)y=sinx: (2) f(x)= 0 x=0 解：(1)因为limf(x)=limsinx=0=f(0),所以f(x)在x=0处连续： r->0 又因为 f(0)=lim f(x)-f(0) =lim -sinx-0 =-lim sinx=-1 x→-0 x-0 x-0 :)lim()()=lim sin x-0 lim sinx =1 x→+0 x-0 x→+0 x→+0X 所以f(x)在x=0处不可导. 2)因为mf)=1msim!-0=f0.所以付)在x=0经连续 r30 x-0 X 又因为 x2 sin--0 ()=lim))-lim=lim xsin10 x->0 x-0 x-0 x→0 X 所以f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。 2
2 （3） 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h h 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim[ ] h f x h f x f x h f x h h 0 2 ( ) f x ． 6．求下列函数的导数 （1） 5 y x ； （2） 3 y x ； （3） 1.8 y x ； （4） x y 1 ； （5） 2 1 x y ； （6） 2 5 3 x x y x ． 解： (1) 4 y 5x ； (2) 3 2 3 ( ) 2 y x x ； (3) 0.8 y 1.8x ； (4) 1 2 3 1 ( ) 2 y x x ； (5) 2 3 2 y x( ) x ； (6) 1 3 7 3 2 5 2 10 10 7 ( ) ( ) 10 y x x x ． 7．讨论下列函数在 x 0 处的连续性和可导性． （1） y sin x ； （2） 0 0 0 1 sin ( ) 2 x x x x f x ． 解：（1）因为 lim ( ) lim sin 0 (0) 0 0 f x x f x x ，所以 f (x) 在 x 0 处连续； 又因为 1 sin lim sin 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 0 x x x x x f x f f x x x 1 sin lim sin 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 0 x x x x x f x f f x x x 所以 f (x) 在 x 0 处不可导． （2）因为 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 2 0 0 f x f x x x x ， 所以 f (x) 在 x 0 处连续； 又因为 0 1 lim sin 0 1 sin lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 2 0 0 x x x x x x f x f f x x x 所以 f (x) 在 x 0 处可导，且 f (0) 0
8.设g(x)=(x-1)2(x-2),试用导数的定义讨论g(x)在x。=1,x1=2处的可导性. 解，因为1imS)-80=lim (x-1)2(x-2) =0,即g(x)在x。=1处的可导且 x-1 x-1 x-1 g'0=0.又g2(2)=m）-82=mx--2 =lim-(x-1)2=-1, x-2 x→2 x-2 x-2- g2)=lim83)-82-1im r2 x-2 r→2 x-1x-2=1im-12=1,由于 x-2 I- 84(2)≠g(2),所以g(x)在x1=2处不可导. 9.如果f(x)为偶函数，且f'(0)存在，用导数定义证明f"(0)=0. 证：因为f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),又f"(0)存在，于是令u=一x,有 )-lim-(im)-()-lim()). l-)0 -1 -l 所以，2f'(0)=0,即f"(0)=0 10。求曲线y=上上点(2，处的切线方程和法线方程。 “儿：礼子故线，上2类的方为 11 y-2 =--(x-2),即4y+x-4=0, 法线方程为y-2=4(x-2),即2y-8x+15=0. 11,设某产品生产x个单位时的总收入为R(x)=200x-0.01x2,求生产100个产品时的总收 入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率. 解：生产100个产品时的总收入为R(100)=20000-100=19900 平均收入为R10)=1900=19 100 R'(x)=200-0.02x 生产第100个产品时，总收入的变化率为R'(100)=200-2=198. 3
3 8．设 ( ) ( 1) ( 2) 2 g x x x ，试用导数的定义讨论 g(x) 在 1 2 x0 ，x1 处的可导性． 解：因为 2 1 1 ( 1) ( 2) ( ) (1) lim lim 0 x x 1 1 g x g x x x x ，即 g(x) 在 0 x 1 处的可导且 g (1) 0 ．又 2 2 2 2 2 ( ) (2) ( 1) 2 (2) lim lim lim ( 1) 1 x x x 2 2 g x g x x g x x x ， 2 2 2 2 2 ( ) (2) ( 1) 2 (2) lim lim lim( 1) 1 x x x 2 2 g x g x x g x x x ，由于 g g (2) (2) ，所以 g x( ) 在 1 x 2 处不可导． 9．如果 f x( ) 为偶函数，且 f (0) 存在，用导数定义证明 f (0) 0 ． 证：因为 f x( ) 为偶函数，故 f x f x ( ) ( ) ，又 f (0) 存在，于是令 u x ，有 0 0 0 ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) (0) lim lim lim (0) x u u f x f f u f f u f f f x u u ， 所以， 2 (0) 0 f ，即 f (0) 0 10．求曲线 1 y x 上点 1 (2, ) 2 处的切线方程和法线方程． 解： 2 2 2 1 1 4 x x y x ，故曲线 1 y x 上点 1 (2, ) 2 处的切线方程为 1 1 ( 2) 2 4 y x ，即 4 4 0 y x ， 法线方程为 1 4( 2) 2 y x ，即 2 8 15 0 y x ． 11．设某产品生产 x 个单位时的总收入为 2 R(x) 200 x 0.01x ，求生产100个产品时的总收 入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率． 解：生产 100 个产品时的总收入为 R(100) 20000 100 19900 平均收入为 199 100 19900 R(100) R(x) 200 0.02x 生产第 100 个产品时，总收入的变化率为 R(100) 200 2 198 ．
12.证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于2a2. a 正明：由y=a，得y=了Ws、《 设P(x,yo)为曲线上任意一点，则过P点的切线方程为 y-%=--x） 0 又因为x%=a2,令y=0,得 X=山十X,=0十x)=2x0为切线在x轴的酸距： 3 令x=0,得y=y0+ a=2y。为切线在y轴的截距，所以彻线与两坐标轴构成的三角形缅积为 Xo S=)2xl2=2xw=2a2 习题2-2 1.求下列函数的导数 y=3x4-2+5; (1) (2)y=3e+2lnx: (3)y=(x-a)(x-b): (4) y=5F-1: X x2+1 (5) y= (6)y=(x2+1)lnx: x (7) y=cosx+x2sinx (8)y=xtanx-cotx: (9)y=x2+2r+22: Inx (10)y= (11)y=e(3x2-x+1): 10-1 (12)y= 10+1 (13)y= coSx+sinx 2x 14)y=1-x (15)y= 2cscx 1+x2: (16)y=xsinx.Inx (17)y=e*(cosx+xsinx): (18)y=xtanx-2secx
4 12．证明：双曲线 2 xy a 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于 2 2a ． 证明：由 2 xy a ，得 2 2 2 , x a y x a y 设 ( , ) 0 0 0 P x y 为曲线上任意一点，则过 P0 点的切线方程为 ( ) 2 0 0 2 0 x x x a y y 又因为 2 0 0 x y a ，令 y 0 ，得 2 0 0 0 0 0 2 0 x x x 2x a x y x 为切线在 x 轴的截距； 令 x 0 ，得 0 0 2 0 2y x a y y 为切线在 y 轴的截距 。所以切线与两坐标轴构成的三角形面积为 2 2 0 2 0 2 0 0 2 2 1 S x y x y a 习 题 2－2 1．求下列函数的导数 （1） 5 1 3 2 4 x y x ； （2） y e x x 3 2ln ； （3） y (x a)(x b) ； （4） x y x 1 5 ； （5） x x y 1 2 ； （6） y (x 1)ln x 2 ； （7） y cos x x sin x 2 ； （8） y x tan x cot x ； （9） 2 2 2 2 x y x ； （10） x x y ln ； （11） (3 1) 2 y e x x x ； （12） 10 1 10 1 x x y ； （13） x x x y cos sin ； （14） 2 1 2 x x y ； （15） 2 1 2csc x x y ； （16） y x sin x ln x ； （17） y e (cos x x sin x) x ； （18） y x tan x 2sec x ；
(19)y= cotx (20) 1+ (21)y=xe-x+shxchx (22)y=e-*shx. 解：山y=12+ 2 2 (2)y=3e*+二： (3)y=(x-b)+(x-a）=2x-a-b: y=5+1 2+7 31 (⑤)y=三F- v 1 (6)y=2xlnx+x+-: X (7)y'=-sinx+2xsinx+x2cosx=(2x-1)sinx+x2cosx: (8)y=tanx+xsec2x+csc2x: (9)y'=2x+2xln2: 00y (11)y'=e'(6x-1)+e*(3x2-x+1)=xe*(3x+5): 2)y=10.ln1010+)-10.n1010-）_2-10.1n10 (10*+1)2 (10*+1)2 (13)-sinx+cosx)-(cosx+sinx)_(x-1)cosx-(x+1)sinx 中3 14)y=201-)+2x2x_21+) (1-x2)2 1-x2)2 (15)y=-2csex(1+x)cotx-2x.2cscx_2cscx(+x)cotx+2x] 1+x2)2 (1+x2)2 (16)y'=sinxInx+xcosxInx+sinx (17)y'=e*(cosx+xsinx)+e*(-sinx+xcosx+sinx)=e*(cosx+xsinx+xcosx): (18)y'=tanx+xsec2x-2secxtanx (19)y'= c2生 (1+V)2 2W1+√F)2 51-x)+2G 016-25y. 1+x 三一 1-x 1-x 1-x)2 Vx(1-x)2 J
5 （19） x x y 1 cot ； （20） x x y 1 1 1 1 ； （21） y x e shxchx x 3 ； （22） y e shx x ． 解： (1) 3 3 2 y x 12 x ； (2) x y e x 2 3 ； (3) y x b x a x a b ( ) ( ) 2 ； (4) 2 5 1 2 y x x ； (5) 3 2 1 2 3 x y x ； (6) x y x x x 1 2 ln ； (7) 2 2 y x x x x x x x x x sin 2 sin cos (2 1)sin cos ； (8) y x x x x 2 2 tan sec csc ； (9) 2 2 ln 2 x y x ； (10) 2 1 ln x x y ； (11) 2 (6 1) (3 1) (3 5) x x x y e x e x x xe x ； (12) 2 2 10 ln10(10 1) 10 ln10(10 1) 2 10 ln10 (10 1) (10 1) x x x x x x x y ； (13) 2 2 x x x x x x x x x ( sin cos ) (cos sin ) ( 1)cos ( 1)sin y x x ； (14) 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) x x x x y x x ； (15) 2 2 2 2 2 2 2csc (1 )cot 2 2csc 2csc [(1 )cot 2 ] (1 ) (1 ) x x x x x x x x x y x x ； (16) y sin x ln x x cos x ln x sin x ； (17) (cos sin ) ( sin cos sin ) (cos sin cos ) x x x y e x x x e x x x x e x x x x x ； (18) y tan x xsec x 2sec x tan x 2 ； (19) 2 2 2 2 1 csc (1 ) cot 2 2 (1 )csc cot (1 ) 2 (1 ) x x x x x x x x y x x x ； (20) 1 1 2 1 1 x x x y x x ， 2 2 1 (1 ) 2 1 (1 ) (1 ) x x x x y x x x ；