第一章函数 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解函数的概念. 2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念， 3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构. 4.会建立简单实际问题的函数模型 重点函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定 义域. 难点分段函数的概念，建立简单实际问题的函数模型. (二)内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义 定义1设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每 个数x∈D,变量y按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应，则称 y是x的函数，记作y=f(x).数集D称为该函数的定义域，x称为自变 量，y称为因变量
1 第一章 函数 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.理解函数的概念． 2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念． 3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构. 4.会建立简单实际问题的函数模型. 重点 函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定 义域.难点 分段函数的概念，建立简单实际问题的函数模型. （二）内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义 定义 1 设 x和 y 是两个变量, D是一个给定的数集,如果对于每 个数x D ,变量 y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称 y 是 x的函数,记作 y f (x) .数集D称为该函数的定义域, x称为自变 量, y 称为因变量
当自变量x取数值x时，因变量y按照法则f所取定的数值称为 函数y=f(x)在点x处的函数值，记作f(x).当自变量x遍取定义域D 的每个数值时，对应的函数值的全体组成的数集W=y=f(x,x∈D称 为函数的值域. 定义2设D与B是两个非空实数集，如果存在一个对应规则∫， 使得对D中任何一个实数x,在B中都有惟一确定的实数y与x对应， 则对应规则∫称为在D上的函数，记为 f:xy或f:D→B, y称为x对应的函数值，记为 y=f(x),x∈D, 其中，x称为自变量，y称为因变量 由定义2知，函数是一种对应规则，在函数y=f(x)中，∫表示函 数，(x)是对应于自变量x的函数值，但在研究函数时，这种对应关 系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x处的函数值y称 为函数，并用y=f(x)的形式表示y是x的函数.但应正确理解，函数 的本质是指对应规则f.例如f(x)=x+4x2-10就是一个特定的函数， ∫确定的对应规则为 f()=()3+4()2-10 就是一个函数. (2) 函数的两要素
2 当自变量 x取数值 0 x 时，因变量 y 按照法则 f 所取定的数值称为 函数 y f (x)在点 0 x 处的函数值，记作 ( ) 0 f x .当自变量 x遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W =y y f (x), x D称 为函数的值域. 定义 2 设D与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则 f ， 使得对D中任何一个实数 x，在B 中都有惟一确定的实数 y 与x 对应， 则对应规则 f 称为在D上的函数，记为 f : x y 或 f : D B , y 称为 x对应的函数值，记为 y f (x), x D , 其中， x称为自变量， y 称为因变量. 由定义 2 知, 函数是一种对应规则，在函数 y f (x)中， f 表示函 数， f (x)是对应于自变量 x的函数值，但在研究函数时，这种对应关 系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值 y 称 为函数，并用 y f (x)的形式表示 y 是 x的函数.但应正确理解，函数 的本质是指对应规则 f .例如 ( 4 10 3 2 f x） x x 就是一个特定的函数， f 确定的对应规则为 ( ) ( ) 4( ) 10 3 2 f 就是一个函数. (2) 函数的两要素
函数y=f(x)的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y又是 由对应规则∫来确定的，所以函数实质上是由其定义域D和对应规则 ∫所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素. 也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两 个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如y=与：=√下， 就是相同的函数 2.函数的三种表示方法 (1) 图像法 用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法，简称 图像法.这种方法直观 性强并可观察函数的变化趋势，但根据函数图形所求出的函数值准确 度不高且不便于作理论研究. (2) 表格法 将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方 法称为函数的表格表 示方法，简称表格法.这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数 据有限、不直观、不便于作理论研究. (3) 公式法
3 函数 y f (x) 的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是 由对应规则 f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D和对应规则 f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素. 也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两 个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如 2 y x与z v ， 就是相同的函数. 2.函数的三种表示方法 (1) 图像法 用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称 图像法.这种方法直观 性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确 度不高且不便于作理论研究. (2) 表格法 将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方 法称为函数的表格表 示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数 据有限、不直观、不便于作理论研究. (3) 公式法
用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法， 简称公式法，也称为 解析法.这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算， 缺点是不如图像法来得直观. 在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ①分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分 段函数.如 x+1,x<0, f(x)= x2,0≤x<2, lnx,2≤x≤5， 就是一个定义在区间(-0,5]上的分段函数. ②用参数方程确定的函数 用参数方程 x=o(t) (tEI) y=w(t) 表示的变量x与y之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如 函数 y=1-x2(x∈[-1，)可以用参数方程y= cost sint (0≤t≤)表示. ③隐函数 如果在方程F(x,)=0中，当x在某区间I内任意取定一个值时， 相应地总有满足该
4 用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法, 简称公式法，也称为 解析法. 这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算， 缺点是不如图像法来得直观. 在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 1 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分 段函数.如 就是一个定义在区间( , 5]上的分段函数. ② 用参数方程确定的函数 用参数方程 ( ) ( ) y t x t （t Ι ） 表示的变量x与 y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如 函数 1 ( [ 1 ,1] ) 2 y x x 可以用参数方程 (0 ) sin cos t t t y 表示. 3 隐函数 如果在方程F(x, y) 0中，当 x 在某区间 I 内任意取定一个值时， 相应地总有满足该 ln , 2 5 , , 0 2 , 1 , 0, ( ) 2 x x x x x x f x
方程的惟一的y值存在，则称方程F(x,)=0在区间I内确定了一个隐 函数.例如方程e+y-1=0就确定了变量y是变量x之间的函数关系. 注意能表示成y=f(x)(其中f(x)仅为x的解析式)的形式的函数， 称为显函数.把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如e+xy-1=0可 以化成显函数y=-.但有些隐函数确不可能化成显函数，例如 e+y-e'=0. 3.函数的四种特性 设函数y=∫x)的定义域为区间D,函数的四种特性如下表所示. 函数的四种特性表 函 数 的 定义 图像特点 特 性 设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，若对 偶函数 任意x∈D满足f(-x)=f(x),则称f(x)是D上的偶函 的图形关于 奇 数；若对任意x∈D满足f-)=-f(x),则称f(x)是D y轴对称；奇 偶 函数的图形 性 上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数， 称为非奇非偶函数 关于原点对 称
5 方程的惟一的 y 值存在，则称方程F(x, y) 0在区间 I 内确定了一个隐 函数.例如方程e xy 1 0 x 就确定了变量 y 是变量 x之间的函数关系. 注意 能表示成 y f (x) (其中 f (x)仅为x的解析式)的形式的函数, 称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如e xy 1 0 x 可 以化成显函数 x y x 1 e .但有些隐函数确不可能化成显函数,例如 xy x e e 0 y . 3． 函数的四种特性 设函数 y f (x)的定义域为区间D，函数的四种特性如下表所示. 函数的四种特性表 函 数 的 特 性 定 义 图像特点 奇 偶 性 设函数 y f (x)的定义域D关于原点对称，若对 任意 x D满足 f (x) f (x),则称 f (x) 是D 上的偶函 数；若对任意x D满足 f (x) f (x),则称 f (x)是D 上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数， 称为非奇非偶函数 偶 函 数 的图形关于 y 轴对称;奇 函数的图形 关于原点对 称