一 函数 1.函数的定义域 小结函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切 函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则： (①)在式子中分母不能为零： (II)在偶次根式内非负： (III)在对数中真数大于零： (IV)反三角函数arcsinx,arccosx,要满足≤l; (W)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分： (WI)分段函数的定义域是各段定义域的并集， (II)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求 例1求下列函数的定义域： (1) y=v16-x2 +Insinx (2) +arcsin(-1). V3-x2 解(1)由所给函数知，要使函数y有定义，必须满足两种情况， 偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建 立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 16-x2≥0， 推得 -4≤x≤4 sinx>0, 2m<x<(2n+1)πn=0,±l,±2… 这两个不等式的公共解为-4≤x<-π与0<x<π 所以函数的定义域为[-4，-π)U(0,π)
一 函数 1. 函数的定义域 小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切 函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则： (I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负； (III)在对数中真数大于零； (IV)反三角函数 arcsin x, arccos x ，要满足 x 1； (V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集. (VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 例 1 求下列函数的定义域: (1) y = 2 16 x +ln sin x ， (2) y = 1) 2 arcsin( 3 1 2 x x . 解 (1) 由所给函数知,要使函数 y 有定义，必须满足两种情况， 偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建 立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 sin 0, 16 0, 2 x x 推得 2 π (2 1)π 0, 1, 2 4 4 n x n n x 这两个不等式的公共解为 4 x π 与0 x π 所以函数的定义域为[4, π) (0, π)
(2)由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根 式的被开方式非负：反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可 建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 V3-x≠0， 3-x2>0, 推得 -5<x<√3， 0≤x≤4， 即0≤x<5, 因此，所给函数的定义域为 [0,V5). 2.复合函数 小结 (I)复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解 复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等 函数或基本初等函数的四则运算 (II)基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函 数 例2将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 (1)y=sin2 (2)y=In(tane2sin). Vx2+1 解 (1)最外层是二次方，即y=2,次外层是正弦，即 u=snv,从外向里第三层是幂函数，即v=w方，最里层是多项式， 即w=x2+1, 所以，分解得y=心2，u=snv,v=w专，w=r+1
(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根 式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可 建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 1 1 , 2 3 0 , 3 0 , 2 x x x 推得 0 4 , 3 3 , x x 即 0 x 3 , 因此，所给函数的定义域为 [0, 3) . 2．复合函数 小结 （I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解 复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等 函数或基本初等函数的四则运算. （II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函 数.例 2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 (1) 1 1 sin 2 2 x y ， （2） ln(tan e ) 2 sin 2 x x y . 解 (1) 最外层是二次方，即 2 y u ，次外层是正弦，即 u sin v ，从外向里第三层是幂函数 ，即 2 1 v w ，最里层是多项式， 即 1 2 w x , 所以，分解得 2 y u ，u sin v ， 2 1 v w ， 1 2 w x
(2)最外层是对数，即y=lnu,次外层是正切，即u=tanv,从外 向里第三层是指数函数，即v=ε"，最里层是简单函数，即 w=x2+2sinx, 所以，分解得y=lnu,u=tanv,v=e",w=x2+2sinx. 3.函数的应用 小结运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函 数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算. 建立函数模型的具体步骤可为： (1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示. (2)根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等 量关系 (3)具体写出解析式y=f(x),并指明其定义域， 例3某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年 产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台， 如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型. 解设某产品年产量为x台，收益函数为.x).因为产量超过600 台时，售价要打8折，而超过800台时，多余部分本年销售不出去， 从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意， 有 300x ， 0≤x≤600， (x)= 300×600+0.8×300(x-600),600<x≤800， 300×600+0.8×300×200,x>800 即收益函数模型为
(2) 最外层是对数，即 y ln u,次外层是正切，即u tan v , 从外 向里第三层是指数函数，即 w v e ，最里层是简单函数，即 2 w x +2sin x , 所以，分解得 y ln u ，u tan v， w v e ， 2 w x +2sin x . 3. 函数的应用 小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函 数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算. 建立函数模型的具体步骤可为 ： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示. (2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等 量关系. (3) 具体写出解析式 y f (x)，并指明其定义域. 例 3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为 300 元，当年 产量超过 600 台时，超过部分只能打 8 折出售，这样可出售 200 台， 如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型. 解 设某产品年产量为 x台，收益函数为. y(x) .因为产量超过600 台时，售价要打 8 折，而超过 800 台时，多余部分本年销售不出去， 从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意， 有 300 600 0.8 300 200 , 300 600 0.8 300( 600), 300 , ( ) x x y x 800 , 600 800, 0 600 , x x x 即收益函数模型为
300x 0≤x≤600 (x)= 180000+240(x-600) ,600<x≤800， 228000 x>800 例4一下水道的截面是矩形加半圆形（如图），截面积为A,A是 一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s,底宽为x, 试建立s与x的函数模型， 解设矩形高为h,根据等量关系写关系式 -x+2h+ ① 显见，在关系式①中有两个变量x及h, 2 此外我们应把s表成x的一元函数.为此， h 需把 变量h也表示成与x有关的量， 根据题中所给限制条件一一截面积为 A, 建立x与h的关系 A=xh 2(贷 即 h=4_1 ② P 将②代入①得 、.2A s=1+)x+2 (x>0) 此式即为我们所要找的周长与底宽x的函数模型：
228000 , 180000 240( 600) , 300 , ( ) x x y x 800 . 600 800 , 0 600 , x x x 例 4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为 A，A是 一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s ，底宽为x ， 试建立s 与 x的函数模型. 解 设矩形高为h，根据等量关系写关系式 s x h πx 2 1 2 ① 显见，在关系式①中有两个变量 x 及h， 此外我们应把s 表成x 的一元函数.为此， 需把 变量h也表示成与x有关的量. 根据题中所给限制条件——截面积为 A , 建立x 与h的关系. 2 ) 2 π ( 2 1 x A xh 即 2 π 8 1 x x A h ② 将②代入①得 x A s x 2 ) 4 π (1 (x 0) 此式即为我们所要找的周长与底宽 x的函数模型. 2 x x h
二极限与函数 1.对与含有绝对值的函数和分段函数极限的求法 小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要 用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极 限不存在. 例1求下列函数的极限： x-2 (1)19x-4 1 (2)fx)= xsin+a,x<0，当a为何值时，x)在x=0的极限 1+x x>0, 存在
二 极限与函数 1. 对与含有绝对值的函数和分段函数极限的求法 小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要 用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极 限不存在． 例 1 求下列函数的极限： （1） 4 2 lim 2 2 x x x ， （2） 1 , , 1 sin 2 x a x x f x 0 , 0 , x x 当a为何值时， f (x)在 x 0的极限 存在