第五章不定积分 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解原函数、不定积分的概念及其性质. 2.掌握不定积分的基本公式. 3.掌握不定积分的换元法和分部积分法， 重点原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积 分的换元法和分部积分法. 难点不定积分的换元法和分部积分法·
1 第五章 不定积分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解原函数、不定积分的概念及其性质． 2．掌握不定积分的基本公式． 3．掌握不定积分的换元法和分部积分法． 重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积 分的换元法和分部积分法． 难点 不定积分的换元法和分部积分法．
(二)内容提要 1.原函数与不定积分 (1)原函数 设函数y=f(x)在某区间上有定义，若存在函数F(x),使得在该 区间任一点处，均有 F(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx, 则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数. 关于原函数的问题，还要说明两点： ①原函数的存在问题：如果∫(x)在某区间上连续，那么它的原函 数一定存在（将在下章加以说明）. ②原函数的一般表达式：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C 是fx)的全部原函数，其中C为任意常数. (2)不定积分 若F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，则(x)的全体原函数 F(x)+C（C为任意常数)称为f(x)在该区间上的不定积分，记为 ∫fx)dr,即 ∫f(x)dr=F(x)+C 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系： ①fx)dx'=f(x)或dfx)dr]=fx)dr,此式表明，先求积分再求 导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消 ②[F'(x)dr=F(x)+C或[dF(x)=F(x)+C,此式表明，先求导数（或求
2 （二）内容提要 1．原函数与不定积分 （1）原函数 设函数 y f (x) 在某区间上有定义，若存在函数 F(x)，使得在该 区间任一点处，均有 F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx , 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数． 关于原函数的问题，还要说明两点: ①原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间上连续，那么它的原函 数一定存在（将在下章加以说明）． ②原函数的一般表达式：若F(x)是 f (x)的一个原函数，则F(x) C 是 f (x)的全部原函数，其中C 为任意常数． (2)不定积分 若 F(x)是 f (x) 在某区间上的一个原函数，则 f (x) 的全体原函数 F(x) C （C 为任意常数）称为 f (x) 在该区间上的不定积分，记为 f (x)dx，即 f (x)dx F(x) C 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系： ①[ f (x)dx] f (x) d[ f (x)dx] f (x)dx 或 ,此式表明，先求积分再求 导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消． ② F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C,此式表明，先求导数（或求
微分)再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C,对 于这两个式子，要记准，要熟练运用. 2.不定积分的基本积分公式 不定积分的基本积分公式如下： (①)kdr=+C(k为常数) (2fx"dx= +C(4≠-1) 4+1 (6片dr=l+c (4)[e*dx=e*+C (5fa'dx-4+C: Ina (6)[cosxdx=sinx+C: (7)[sin xdx =-cosx+C: 8例ozdk=∫sec2dk=iamx+c 例2s-小'=-+6 (10)[secx tan xdx=tanx+C; dx (11)cscx cot xdx=-cscx+C; (I2)∫=arcsin+G 3 dx arctanx+C. 3.不定积分的性质 (1)积分对于函数的可加性，即 ∫[fx)+g(x)ldx=∫f(x)dr+∫g(x)dx, 可推广到有限个函数代数和的情况，即 fx)±f(x)土…±fn(xr=∫fx)d±∫f(x)dr±…±∫f(x)dr
3 微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C ．对 于这两个式子，要记准，要熟练运用． 2．不定积分的基本积分公式 不定积分的基本积分公式如下： ( 1) 1 (1) d ( ) (2) d 1 C x k x kx C k为常数 x x x x C x C x x d ln (4) e d e 1 (3) x ; (6) cos d sin ; ln (5) d C x x x C a a a x x x d sec d tan ; cos 1 (7) sin d cos ; (8) 2 2 x x x x C x x x x C d csc d cot ; (10) sec tan d tan ; sin 1 (9) 2 2 x x x x C x x x x C x arcsin ; 1-d (11) csc cot d csc ; (12) 2 x C x x x x x x C arctan . 1 d (13) 2 x C x x 3．不定积分的性质 （1）积分对于函数的可加性，即 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx , 可推广到有限个函数代数和的情况，即 f x f x f x x f x x f x x f x x n n [ ( ) ( ) ( )]d ( )d ( )d ( )d 1 2 1 2 ．
(2)积分对于函数的齐次性，即 ∫(x)dr=Kfx)drk≠0. 4.分部积分公式∫udv=w-∫dv. 二、主要解题方法 1.直接积分法 例1计算(1) 片， (2) 解(1)不能直接用公式，用加项减项变换，即 片2列+可 =-2x+3arctanx+C (2)不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换.得 原式=[l+sin xkx=∫dr+∫sin xdx=x-cosx+C. 小结计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本 公式进行计算：有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数 进行整理.然后分项计算
4 (2)积分对于函数的齐次性，即 kf (x)dx k f (x)dx k 0． 4．分部积分公式 udv uv udv． 二、主要解题方法 1．直接积分法 例 1 计算（1） x x x d 1 1 2 2 2 ， （2） x x x ) d 2 sin 2 (cos 2 ． 解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即 x x x d 1 1 2 2 2 = 2 2 2 1 d d 2 d 3 1 2 2 3 x x x x x x = 2x 3arctan x C （2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换． 得 原式= [1 sin x]dx = dx + sin xdx = x cos x C ． 小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本 公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数 进行整理．然后分项计算．
2.换元积分法 (1)第一换元积分法（凑微分法） ∫fp(x)]p'(x)dr=∫fp(xdo(x) u=(x) ∫fwd积2Fo+C 回 FTo(x)]+C. 例2计算 (1) dx 解(1)选择换元函数u=p(x)使所给积分化为基本积分∫ad形 式，再求出结果。 为此，令"=则血=警于是 ∫gd=-jrdw=- +C. Ina Ina 为简便起见，令“=1这一过程可以不写出来，解题过程写成下 面形式即可， 称为凑微分). 小结 凑微分法一般不明显换新变量“，而是隐换，像上面所做， 这样省掉了回代过程，更简便. (2)第二换元积分法 ff=F)+C+C (其中p()是单调可微函数)
5 2．换元积分法 （1）第一换元积分法(凑微分法） f [(x)](x)dx = f [(x)]d(x) u （x） f u u F u C ( )d ( ) 积分 回代 F[(x)] C . 例 2 计算 （1） x x a x d 2 1 ， （2） x x x d (1 ) 1 ． 解 （1） 选择换元函数u x使所给积分化为基本积分 a x xd 形 式，再求出结果． 为此，令 x u 1 ，则 2 d d x x u ，于是 x x a x d 2 1 = d u a u = ln u a C a = C a a x ln 1 ． 为简便起见，令 x u 1 这一过程可以不写出来，解题过程写成下 面形式即可, x x a x d 2 1 = ) 1 d( 1 x a x = C a a x ln 1 （ ) 1 d( d 2 x x x 称为凑微分）． （2） x x x d (1 ) 1 = d( ) 1 1 2 x x = 2arctan x C． 小结 凑微分法一般不明显换新变量u ，而是隐换，像上面所做， 这样省掉了回代过程，更简便． （2）第二换元积分法 f (x)dx u （x） f [(t )](t )dt = F(t) C t x 1 F x C [ ( )] 1 （其中 (t)是单调可微函数）