第十章多元函数微分学 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解多元函数的概念，知道多元函数的极限的概念，理解多元 函数偏导数的概念 2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件， 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数 4.掌握复合函数求导法则，会求复合函数和隐函数的一阶偏导数， 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极 值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题 重点二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念， 多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方 向向量，曲面的切平面和法向量，曲线的切线和法平面方程及曲面的 切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值 的概念与拉格朗日乘数法， 难点二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系， 多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极 值的概念与拉格朗日乘数法
1 第十章 多元函数微分学 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元 函数偏导数的概念. 2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件. 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数. 4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数. 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程. 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极 值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题. 重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念， 多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方 向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的 切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值 的概念与拉格朗日乘数法. 难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系， 多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极 值的概念与拉格朗日乘数法
(二)内容提要 1.多元函数 ()二元函数设D是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规 律∫，使每一个点(x,y)∈D都对应于惟一确定的值：，则称：为D上的 二元函数.记做：=f(x,y),其中x与y称为自变量，函数：也称为因变 量，D称为该函数的定义域 (2)点函数设2是一个点集，对任意的点P∈2，变量u按某一法 则总有惟一确定的值与之对应，则称u是2上的点函数，记作u=fP) 当2是x轴上的点集时，点函数u=fP)是一元函数；当2是xOy平 面上的点集时，点函数u=fP)是二元函数；当2是n维空间上的点集 时，点函数u=fP)是n元函数；当2是三维空间上的点集时，点函数 u=fP)是三元函数. 自变量多于一个的函数统称为多元函数 (3)二元函数的几何意义函数：=f(x,y)的几何图形一般在空间直 角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D就是此曲面在xOy坐标面上 的投影 2.二元函数的极限与连续 (1)二元函数的极限
2 （二）内容提要 1.多元函数 ⑴二元函数 设D是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规 律 f ，使每一个点(x, y) D 都对应于惟一确定的值 z ，则称z 为D上的 二元函数.记做 z f (x, y) ，其中 x与y称为自变量，函数 z 也称为因变 量，D称为该函数的定义域. ⑵点函数 设 是一个点集,对任意的点 P ,变量u 按某一法 则总有惟一确定的值与之对应,则称u 是 上的点函数,记作u f (P) . 当 是 x 轴上的点集时,点函数u f (P) 是一元函数;当 是 xOy 平 面上的点集时,点函数u f (P)是二元函数; 当 是n 维空间上的点集 时,点函数u f (P) 是 n 元函数; 当 是三维空间上的点集时,点函数 u f (P)是三元函数. 自变量多于一个的函数统称为多元函数. ⑶二元函数的几何意义 函数z f (x, y) 的几何图形一般在空间直 角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D就是此曲面在 xOy 坐标面上 的投影. 2. 二元函数的极限与连续 ⑴二元函数的极限
设函数z=f(xy)在点P,(x。,)的某个邻域内有定义（在点P,(x,y)》 处可以无定义)，如果当点P(x,y)以任意方式趋向于点P(x,%)时，相 应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A,则称当(x,)→ (0,o)时，函数fx,y)以A为极限，记作 limf(x,y)=A或f(x,y)→A(x→xo,y→o). x0 y→0 (2)二元函数的连续性 ①在一点连续的两个等价的定义 定义1设有二元函数z=fx,y),如果1imfx,)=fo,o),则称二 元函数：=fx,y)在点P(x,y)处连续。 定义2设△=f(x。+△x,y。+△y)-fxy)(称△为函数fx,y)的全 增量)，若im上=0，则称二元函数z=f(x,y)在点P,(x,)处连续. Ay-0 ②如果f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称fx,y)在区域D上 连续。 ③如果fx,y)在点P(xo,y)不连续，则称点P(xoo)是二元函数 :=f(x,y)的不连续点或间断点. 3.偏导数的定义 (I)在一点的偏导数设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某个领域内有 定义，固定自变量y=。,而自变量x在x处有改变量△x,如果极限 3
3 设函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某个邻域内有定义（在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处可以无定义），如果当点P(x, y) 以任意方式趋向于点 ( , ) 0 0 0 P x y 时，相 应的函数值 f (x, y) 无限接近于一个确定的常数 A ，则称当 (x, y) ( , ) 0 0 x y 时，函数 f (x, y)以 A为极限，记作 lim ( , ) 0 0 f x y A y y x x 或 f (x, y) A ( , ) 0 0 x x y y . ⑵二元函数的连续性 1 在一点连续的两个等价的定义 定义 1 设有二元函数 z f (x, y) ,如果 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x = ( , ) 0 0 f x y ,则称二 元函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处连续. 定义 2 设 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z f x x y y f x y (称z 为函数 f (x, y)的全 增量),若lim 0 0 0 z y x ,则称二元函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处连续. ②如果 f (x, y)在区域D内的每一点都连续，则称 f (x, y)在区域D上 连续. ③如果 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 不连续，则称点 ( , ) 0 0 0 P x y 是二元函数 z f (x, y) 的不连续点或间断点. 3.偏导数的定义 ⑴在一点的偏导数 设函数 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 的某个领域内有 定义，固定自变量 0 y y ，而自变量 x 在 0 x 处有改变量x ，如果极限
一+心存在，则称此极限值为函数：=化)在点 △x (,)处关于x的偏导数，记作 8z af xx=x0 Z,(x00)或(x0%); xx=x0 y=Yo 类似地，函数z=fx,)在点(x,)处关于y的偏导数定义为 lim f(xo2yo+Ay)-f(xo2yo) A→0 △y 记作 af Zy(x0,%)或fy(x0,%)· 8yx=xo =xo y=Yo (2)偏导函数如果函数：=f(x,y)在区域D内每一点(x,)处，对x 的偏导数x,)都存在，则对于区域D内每一点(x,),都有一个偏导数 的值与之对应，这样就得到了一个新的二元函数，称为函数：=f(x,y) 关于变量x的偏导函数，记作 类似地，函数：=f(x,y)关于自变量y的偏导函数，记作 能影方政功 由偏导数的概念可知，函数z=f(x,y)在点(x,)处关于x的偏导 数f(,0)就是偏导函数fx,)在点(x,)的函数值，而f,(0,o)就是偏 导函数，(x,)在点(x,)处的函数值.以后，在不至于混淆的地方把偏 导函数简称为偏导数， 4.偏导数的求法
4 x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 存在，则称此极限值为函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处关于 x 的偏导数，记作 , , z ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x y f x y x f x z x x y y x x y y x x 或 ; 类似地，函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处关于 y 的偏导数定义为 y f x y y f x y y ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 , 记作 , , z ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x y f x y y f y z y y y y x x y y x x 或 . ⑵偏导函数 如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x, y)处，对 x 的偏导数 f (x, y) x 都存在,则对于区域D内每一点(x, y)，都有一个偏导数 的值与之对应，这样就得到了一个新的二元函数，称为函数 z f (x, y) 关于变量 x的偏导函数，记作 x z ， , z , f f (x, y) x f x x 或 x . 类似地，函数 z f (x, y) 关于自变量 y 的偏导函数，记作 , , z , f f (x, y) y f y z y y 或 y . 由偏导数的概念可知，函数 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处关于 x 的偏导 数 ( , ) 0 0 f x y x 就是偏导函数 f (x, y) x 在点( , ) 0 0 x y 的函数值，而 ( , ) 0 0 f x y y 就是偏 导函数 f (x, y) y 在点( , ) 0 0 x y 处的函数值.以后,在不至于混淆的地方把偏 导函数简称为偏导数. 4.偏导数的求法
从偏导数的定义可以看出，求：=f(x,y)的偏导数并不需要用新方 法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的， 所以仍旧可用一元函数的微分法求上时，只要把y暂时看作常量而 8 x 对x求导数：求上时，只要把x暂时看作常量而对y求导数. 1v 5.高阶偏导数 (I)函数：=x,y)的偏导数的偏导数称为二阶偏导数.z=fx,y) 的四个二阶偏导数如下： 80z a2: a2=fa(x,川=w, 8 axl ax -=fm(x,y)=zx, OxOv a082z =fx(x,y)=Zx, ayay 02=m(x川=5w 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 (2)混合偏导数与次序无关的定理 如果函数z=(x,y)的两个混合偏导数在点(x,y)连续，则在点(x,y) 处，有 022022 Oxdy oyox 6.复合函数求偏导数的公式 (1)复合函数求导法则 5
5 从偏导数的定义可以看出，求 z f (x, y) 的偏导数并不需要用新方 法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的， 所以仍旧可用一元函数的微分法.求 x f 时，只要把 y 暂时看作常量而 对 x求导数；求 y f 时，只要把x 暂时看作常量而对 y 求导数. 5.高阶偏导数 ⑴函数 z f (x, y) 的偏导数的偏导数称为二阶偏导数. z f (x, y) 的四个二阶偏导数如下: xx xx f x y z x z x z x ( , ) 2 2 , xy xy f x y z x y z x z y ( , ) 2 , yx yx f x y z y x z y z x ( , ) 2 , yy yy f x y z y z y z y ( , ) 2 2 . 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ⑵混合偏导数与次序无关的定理 如果函数 z f (x, y) 的两个混合偏导数在点(x, y)连续，则在点(x, y) 处，有 y x z x y z 2 2 . 6.复合函数求偏导数的公式 ⑴复合函数求导法则