的级数称为p-级数.p-级数的敛散性有如下结论： 当p>1时，p级数收敛：当p≤1时，p级数发散 特殊地，p=1时的p-级数L称为调和级数，调和级数是发散 n=Ih 的 2.幂级数 (1)函数项级数 如果级数 f(x)+f5(x)+…fn(x)+ 的各项都是定义在某个区间1上的函数，则称该级数为函数项级数， ∫(x)称为通项或一般项.当x在区间I中取定某个常数x时，该级数是 数项级数.如果数项级数∑∫(x)收敛，则称x为函数项级数∑)的 1 一个收敛点：如果发散，则称x为函数项级数的一个发散点，函数项 级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域 对于收敛域内的任意一个数x,函数项级数为该收敛域内的一个 数项级数，于是有一个确定的和S.这样，在收敛域上，函数项级数 的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数和函数，即 6
6 1 1 3 1 2 1 1 1 n p p p p n n 的级数称为 p - 级数． p - 级数的敛散性有如下结论： 当 p 1时， p - 级数 1 1 n p n 收敛；当 p 1时， p - 级数 1 1 n p n 发散. 特殊地, p 1时的 p - 级数 1 1 n n 称为调和级数, 调和级数是发散 的. 2．幂级数 ⑴ 函数项级数 如果级数 f1(x) f2 (x) fn (x) 的各项都是定义在某个区间I 上的函数，则称该级数为函数项级数， f (x) n 称为通项或一般项.当 x在区间I 中取定某个常数 0 x 时，该级数是 数项级数.如果数项级数 ( ) 0 1 f x n n 收敛，则称 0 x 为函数项级数 ( ) 1 f x n n 的 一个收敛点；如果发散，则称 0 x 为函数项级数的一个发散点，函数项 级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域. 对于收敛域内的任意一个数 x ，函数项级数为该收敛域内的一个 数项级数，于是有一个确定的和S .这样，在收敛域上，函数项级数 的和是 x的函数S(x) ，通常称S(x) 为函数项级数和函数，即
S(x)=f(x)+f5(x)+…fn(x)+…, 其中x是收敛域内的任意一个点. (2)幂级数的定义 形如 ,=0+a+o24+a,+ n=0 的函数项级数称为x的幂级数，其中a,(n=0,l2,)称为该幂级数的第n 项系数. (3)幂级数的收敛半径 幂级数的系数满足 lim =， n→an 当0<1<+∞时，称R=】为幂级数的收敛半径；当1=0时，规定收敛 半径为R=+o;当1=+o时，规定收敛半径R=0. (4)幂级数的收敛区间、收敛域 ①收敛区间 如果幂级数的收敛半径为R,则称区间(-R,)为幂级数的收敛区 间，幂级数在收敛区间内绝对收敛. ②收敛域 把收敛区间的端点x=±R代入幂级数中，判断数项级数的敛散性 后，就可得到幂级数的收敛域。 (⑤)幂级数的性质 设∑a,x=S6),x∈（←R,R),∑bx°=Tx),xe(←R,R),R=min(R,R), 1
7 S(x) f1(x) f2 (x) fn (x) ， 其中x是收敛域内的任意一个点． ⑵ 幂级数的定义 形如 n n n n n a x a a x a x a x 2 0 1 2 0 的函数项级数称为x的幂级数，其中a (n 0,1,2,) n 称为该幂级数的第n 项系数. ⑶ 幂级数的收敛半径 幂级数的系数满足 n n n a a 1 lim ， 当0 时，称 1 R 为幂级数的收敛半径；当 0时，规定收敛 半径为R ；当 时，规定收敛半径R 0 . ⑷ 幂级数的收敛区间、收敛域 ①收敛区间 如果幂级数的收敛半径为 R ，则称区间(R,R)为幂级数的收敛区 间，幂级数在收敛区间内绝对收敛. ②收敛域 把收敛区间的端点 x R 代入幂级数中，判断数项级数的敛散性 后，就可得到幂级数的收敛域. ⑸ 幂级数的性质 设 ( ) , ( , ) , ( ) , ( , ) , min( , ) 1 2 0 1 1 2 2 0 a x S x x R R b x T x x R R R R R n n n n n n