《高等数学》课程教学资源（学习指导和练习册）第十一章 多元函数积分学

第十一章多元函数积分学 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解二重积分的概念，知道二重积分的性质. 2.掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3.会用二重积分解决简单的实际应用题（体积、质量）. 4.了解曲线积分的概念和性质. 5.会计算简单的曲线积分. 重点二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计 算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决 简单的实际应用题 难点直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲 线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题

1 第十一章 多元函数积分学 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质. 2.掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3.会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4.了解曲线积分的概念和性质. 5.会计算简单的曲线积分. 重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计 算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决 简单的实际应用题. 难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲 线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题

(二)内容提要 1.二重积分 设二元函数：=f(x,y)是定义在有界闭区域D上的连续函数，用微 元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即 川fx,do称为函数：=fx,)在闭区域D上的二重积分，其中fx,) 称为被积函数，fx,y)dσ称为被积表达式，D称为积分区域，do称为 面积元素，x与y称为积分变量. 2.二重积分的几何意义 在区域D上当fx,)20时，∬f(x,y)do表示曲面z=fx,)在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当f(x,y)在区域D上有正有负时， 厂fx,o表示曲面：=fx,)在区域D上所对应的曲顶柱体的体积的 代数和， 3.二重积分的性质 (1)可加性 f(x,)±gx,y)Ho=J「f(x,y)do±∬g(x,y)do· (2)齐次性 (x,y)do=k∬fx,y)do(k为常数) (3)对积分区域的可加性 设积分区域D可分割成为D,、D,两部 分，则有 fx,No=∬fxao+∬fxaa. (④)（积分的比较性质）若fx,y)≥g(x,y),其中(x,y)∈D,则 2

2 （二）内容提要 1．二重积分 设二元函数 z  f (x, y) 是定义在有界闭区域D上的连续函数，用微 元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即  D f (x, y)d 称为函数 z  f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分，其中 f (x, y) 称为被积函数，f (x, y)d 称为被积表达式，D称为积分区域，d 称为 面积元素，x与y称为积分变量. 2．二重积分的几何意义 在区域D上当 f (x, y)  0时， D f (x, y)d 表示曲面 z  f (x, y) 在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当 f (x, y) 在区域 D 上有正有负时，  D f (x, y)d 表示曲面 z  f (x, y) 在区域D上所对应的曲顶柱体的体积的 代数和. 3． 二重积分的性质 (1)可加性         D D D f (x, y) g(x, y) d f (x, y)d g(x, y)d . (2)齐次性    D D kf (x, y)d k f (x, y)d (k为常数) . (3)对积分区域的可加性 设积分区域 D 可分割成为 D1、 D2 两部 分，则有      1 2 ( , )d ( , )d ( , )d D D D f x y  f x y  f x y  . (4)(积分的比较性质) 若 f (x, y)  g(x, y)，其中(x, y)  D ，则

fxao≥∬sxio. (5)(积分的估值性质)设m≤f(x,y)≤M,其中(x,y)∈D,而m,M 为常数，则 mo≤∬fx,ydo≤Mo, 其中。表示区域D的面积， (6)(积分中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上 至少存在一点(5，)eD,使得 ∬x,ydo=f5,n)o. 4.二重积分的计算 (1)二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素do=drdy, ① 若 D p1(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b, 则 ,td=可[afx]a， 2) 若 D 1y)≤x≤2y),c≤y≤d 则 fxtd=[ofxdr] (2)二重积分在极坐标系下的计算 极坐标系下的面积元素do=rdd0,极坐标与直角坐标的关系 x=rcos0 y=rsin0 若D:n(0)≤r≤2(0)，a≤0≤B,则 3

3 ( , )d ( , )d    D D f x y g x y . (5)（积分的估值性质） 设m  f (x, y)  M ，其中(x, y)  D，而m, M 为常数，则    D m f (x, y)d M , 其中 表示区域D的面积. (6)（积分中值定理）若 f (x, y)在有界闭区域D上连续，则在D上 至少存在一点(,)  D ，使得 f (x, y)d f (,) D   . 4. 二重积分的计算 ⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素 d  dxdy , ① 若 D : ( ) ( ) 1 2  x  y   x , a  x  b , 则  D f (x, y)dxdy = f x y y x x x b a ( , )d d ( ) ( ) 2 1         ， ② 若 D : ( ) ( ) 1 2  y  x  y , c  y  d , 则  D f (x, y)dxdy = f x y x y y x d c ( , )d d ( ) ( ) 2 1         . ⑵二重积分在极坐标系下的计算 极坐标系下的面积元素 d  rdrd ，极坐标与直角坐标的关系        sin . cos , y r x r 若D : ( ) ( ) r1   r  r2  ,     ,则

fx,id=f∬fccos0,rsin8ntrd0=2[%frcose,rsn0)rdrdo. 5.对坐标的曲线积分 设L是有向光滑曲线，F(x,y)=P(x,yi+Q(x,yj是定义在L上的向 量函数，且P(x,y,Q(x,y)在L上连续，利用微元法，先写出弧微元 dl=dri+dyj,作乘积dw=F.dL=P(x,xdr+Q(x,ydy,再无限累加，由这 两步所得的表达式，即∫，Px,yd+Q(x,ydy称为函数Fx,y)在有向曲 线L上对坐标的曲线积分，其中有向曲线L称为积分路径. 如果P(x,y),Q(x,y)中有一个为零，则这时曲线积分的形式为 ∫LP(x,ydx或∫Qx,y, 如果曲线L是封闭曲线，L上积分记为∮，P(x,ydx+Q(x,yy. 6.对坐标的曲线积分的性质 ①设L为有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则 ∫cPx,yr+Qx,y=-∫Px,yr+x,yy· ②如果L=L+L2,则有 ∫LPx,ydr+Q(xydy=∫，Px,ydx+Ox,ydy+∫Px,ydr+Q(x,ydy

4  D f (x, y)dxdy =  D f (r cos ,rsin )rdrd =       ( cos , sin ) d d ( ) ( ) 2 1       r r f r r r r . 5. 对坐标的曲线积分 设L 是有向光滑曲线, F( x, y )  P( x, y )i  Q( x, y )j 是定义在 L 上的向 量函数,且 P(x, y) , Q(x, y) 在 L 上连续,利用微元法,先写出弧微元 dl  dxi  dy j ,作乘积dw  F  dL = P( x,x )dx  Q( x, y )dy ,再无限累加,由这 两步所得的表达式,即 P( x, y ) x  Q( x, y ) y L d d 称为函数F( x, y )在有向曲 线L上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L称为积分路径. 如果P(x, y) , Q(x, y)中有一个为零，则这时曲线积分的形式为   P( x, y ) x Q( x, y ) y L L d 或 d , 如果曲线L是封闭曲线，L上积分记为 P( x, y ) x  Q( x, y ) y L d d . 6.对坐标的曲线积分的性质 1 设L为有向曲线弧，  L 是与L方向相反的有向曲线弧，则 P( x, y ) x Q( x, y ) y P( x, y ) x Q( x, y ) y L L d  d   d  d    . ② 如果L  L1  L2，则有 P( x, y ) x Q( x, y ) y P( x, y ) x Q( x, y ) y P( x, y ) x Q( x, y ) y. L L L d d d d d d 1 2        

7.格林公式设D是平面上以分段光滑曲线L为边界的有界闭 区域，函数P(x,)及Qx,y)在D上有一阶连续偏导数，则有格林公式 其中L是区域D的正向边界， 8.曲线积分与路径无关 (1)定义设D是一个单连通区域，将P(x)简称为P,Q(x,y)简称 为Q,如果对D内任意指定的两点A,B以及D内从A点到B点的任意 两条不相同的曲线L,L2,若有 ∫hPdr+Ody=∫，Pd+Ody, 则称曲线积分∫，Pdr+Qdy在D内与路径无关.这时，可将曲线积分记 为∫Pdx+Q. (2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D内，曲线积分∫，Pdx+Qdy与路径无关的充分必 要条件是：对D内任意一条闭曲线L,均有 f.Pdx+Ody=0. ②设函数P(x,)和Qx,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则 曲线积分∫Pd+Qx与路径无关的充分必要条件是：巴_P在区域D 内恒成立

5 7.格林公式 设 D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭 区域,函数P(x, y) 及Q(x, y)在D上有一阶连续偏导数,则有格林公式              d  d  d D L y P x Q P x Q y , 其中L是区域D的正向边界. 8.曲线积分与路径无关 (1)定义 设 D 是一个单连通区域,将 P(x, y) 简称为 P,Q(x, y) 简称 为Q ,如果对 D 内任意指定的两点 A , B 以及 D 内从 A点到 B 点的任意 两条不相同的曲线 1 2 L , L ,若有 P x Q y P x Q y L L d d d d 1 2      , 则称曲线积分  P x  Q y L d d 在 D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记 为  B A Pdx Qdy . (2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域 D内，曲线积分 P x  Q y L d d 与路径无关的充分必 要条件是：对D内任意一条闭曲线L，均有  Pdx  Qdy  0 L . ②设函数P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则 曲线积分  L Pdx Qdx 与路径无关的充分必要条件是: y P x Q      在区域D 内恒成立