第七章 定积分的应用 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.掌握定积分的微元法. 2.会用定积分的微元法求平面图形的面积. 3.会用定积分的微元法求旋转体的体积. 4.会用定积分的微元法求变力所做的功. 5.会用定积分的微元法求液体的侧压力. 重点定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体 的体积 难点定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用
1 第七章 定积分的应用 一 、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．掌握定积分的微元法. 2．会用定积分的微元法求平面图形的面积. 3．会用定积分的微元法求旋转体的体积. 4．会用定积分的微元法求变力所做的功. 5．会用定积分的微元法求液体的侧压力. 重点 定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体 的体积. 难点 定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用
(二)内容提要 1.定积分的微元法 (1)在区间[a,b]上任取一个微小区间[x,x+dr],然后写出在这个小 区间上的部分量△Q的近似值，记为dQ=f(x)dr(称为Q的微元)； (2)将微元dQ在[a,]上无限“累加”，即在[a,b]上积分，得 g=∫fx)dr 上述两步解决问题的方法称为微元法， 关于微元dQ=f(x)dr,我们有两点要说明： ①f(x)dr作为△Q的近似表达式，应该足够准确，确切地说，就是 要求其差是关于△x的高阶无穷小，即△Q-f(x)dr=o(△x).称做微元的 量f(x)dx,实际上就是所求量的微分dQ. ②具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意 义及数量关系。一般按在局部[x,x+dr]上以“常代变”、“直代曲”的 思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 do=f(x)dx. 2.面积微元与体积微元 (1)面积微元 ①由曲线y=f(x)≥0，x=a,x=b及x轴所围成的图形，其面积微元 dA=f(x)dr,面积A-∫fx)dr. 2
2 （二）内容提要 1．定积分的微元法 (1)在区间a,b上任取一个微小区间x, x dx,然后写出在这个小 区间上的部分量Q的近似值,记为dQ f (x)dx (称为Q的微元)； （2）将微元dQ在a,b上无限“累加”，即在a,b上积分，得 b a Q f (x)dx 上述两步解决问题的方法称为微元法. 关于微元dQ f (x)dx，我们有两点要说明： ① f (x)dx作为Q的近似表达式，应该足够准确，确切地说，就是 要求其差是关于x 的高阶无穷小，即Q f (x)dx o(x) .称做微元的 量 f (x)dx，实际上就是所求量的微分dQ . ②具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意 义及数量关系。一般按在局部x, x dx上以“常代变”、“直代曲”的 思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 dQ f (x)dx . 2.面积微元与体积微元 （1）面积微元 ①由曲线 y f (x) 0, x a, x b及x 轴所围成的图形,其面积微元 dA f (x)dx ,面积 b a A f (x)dx
②由上下两条曲线y=f(x),y=f(x)(f2(x)≥(x)及x=a,x=b所围 成的图形，其面积微元d4=[/,(x)-f(x)x,面积A=∫/(x)-f(x)dx. ③由左右两条曲线x=g1y),x=g2y)(g2(y)≥g1y》及y=c,y=d所 围成的图形，其面积微元d4=g,(y)-g(y)y,面积 A-∫[g)-gody(注意，这时应取横条矩形为A,即取y为积分 变量) (2)体积微元 不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积4(x)是x的已知连续函 数，求该物体介于x=a和x=b(a<b)之间的体积. 用“微元法”.为求出体积微元dΨ，在微小区间[x,x+dr]上视4(x) 不变，即把x,x+dr]上的立体薄片近似看作以Ax)为底，dr为高的柱 片，于是其体积微元dΨ=A(x)dr,再在x的变化区间[a,b上积分，则 有P=∫A(x)dr. 3.弧微元与平面曲线弧微分公式 设曲线y=fx)在[a,b上有一阶连续导数，仍用微元法，取x为积 分变量，在[a,]上任取小区间[x,x+dx],切线上相应小区间的小段MT 的长度近似代替一段小弧M的长度，得弧长微元为 ds=MT=(dx)2+(dy)2=+y2dx, 这里 ds=(dx)2+(dy)2=x2(t)+y2(t)dt. 3
3 ②由上下两条曲线 y f (x), y f (x) ( f (x) f (x)); x a, x b 2 1 2 1 及 所围 成的图形，其面积微元dA f (x) f (x)dx 2 1 ，面积 A f x f x x b a ( ) ( ) d 2 1 . ③由左右两条曲线 ( ), ( ) ( ( ) ( )) , 1 2 2 1 x g y x g y g y g y 及 y c y d 所 围 成 的 图 形 ， 其 面 积 微 元 dA g ( y) g ( y)dy 2 1 ， 面 积 A g y g y y d c ( ) ( ) d 2 1 （注意，这时应取横条矩形为dA，即取 y 为积分 变量）. （2）体积微元 不妨设直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积 A(x)是 x 的已知连续函 数，求该物体介于x a 和 x b(a b) 之间的体积. 用“微元法”.为求出体积微元dV ，在微小区间x, x dx上视 A(x) 不变，即把x, x dx上的立体薄片近似看作以 A(x)为底，dx为高的柱 片，于是其体积微元dV A(x)dx ，再在 x 的变化区间a,b上积分，则 有 b a V A(x)dx . 3．弧微元与平面曲线弧微分公式 设曲线 y f (x) 在a,b上有一阶连续导数,仍用微元法，取 x 为积 分变量，在a,b上任取小区间x, x dx，切线上相应小区间的小段MT 的长度近似代替一段小弧MN 的长度，得弧长微元为 ds MT (dx) (dy) 1 y dx 2 2 2 , 这里 ds (dx) (dy) x (t) y (t)dt 2 2 2 2
二、主要解题方法（微元法） 1.求平面图形的面积的方法 例1求下列曲线所围成的图形的面 积 (8,2) (1)抛物线y2=x与直线x-2y=4, (2)圆x2+y2=2ar. 解(1)先画图，如图所示， x-2y=4 并由方程 求出交点为(2， x-2y=4 -1),(8,2). 解一取y为积分变量，y的变化区间为[-1,2]， 在区间[-1,2]上任取一子区间[y,y+dy], 则面积微元d4=(2y+4-2y2)dy, 则所求面积为 4i2+4-2y海=(y+4y-子y)日=9. 解二取x为积分变量，x的变化区间 为[0,8]，由图知，若在此区间上任取子 (8.2) 区间， 需分成[0,2]，[2,8]两部分完成. 在区间[0,2]上任取一子区间[x,x /x-2y=4 +dr], 4
4 二 、主要解题方法（微元法） 1．求平面图形的面积的方法 例 1 求下列曲线所围成的图形的面 积 (1)抛物线 2 2 x y 与直线 x 2y 4， (2)圆 x y 2ax 2 2 . 解 (1)先画图，如图所示， 并由方程 2 4 2 2 x y x y ， 求出交点为（2， 1），（8，2）. 解一 取 y 为积分变量, y 的变化区间为[ 1，2]， 在区间[ 1，2]上任取一子区间[ y ， y +dy ]， 则面积微元 dA =(2y 4 2y )dy 2 , 则所求面积为 A = 2 1 2 (2y 4 2y )dy = （ 2 3 3 2 y 4y y ） 21 =9. 解二 取 x为积分变量， x的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子 区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成. 在区间[0，2]上任取一子区间[ x ， x +dx ]， x2y 4 2 2 x y （8,2） (2,-1) 0 x y y y+dy y x2y 4 2 2 x y （8,2） (2,-1) O x
则面积微元。 =, 在区间[2,8]上任取一子区间[x,x+d], 则面积微元d4[行x-]山， 于是得 A=A十A2 4-r+45-支+2t 22+25-+29 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图 形选择适当的积分变量，尽量使计算方便 (2)如图，利用极坐标计算. 0的变化区间为[-受 0+d0 r=2acos0 则面积微元 d4 r2d 2 (2acos do, x2+y2=2ax 于是所求图形的面积为 A= =2a2且cos2d0, 利用对称性，得A=4a2后cos2d0=-2a2后1+cos20u0 5
5 则面积微元 dA 1= x x ]d 2 [2 , 在区间[2，8]上任取一子区间[ x， x +dx ]， 则面积微元 dA 2=[ ( 4) 2 1 2 x x ]dx , 于是得 A = A 1+ A 2 A = 2 0 d 2 2 x x + A x x x 2)d 2 2 ( 8 2 = 2 3 3 2 2 x 2 0 +[ 2 3 3 2 2 x 2 2 4 x x ] 8 2 =9 . 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图 形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. (2) 如图，利用极坐标计算. 的变化区间为[ 2 π ， 2 π ] 则面积微元 dA = 2 1 2 r d = 2 1 2 (2a cos ) d , 于是所求图形的面积为 A = 2π 2π 2 (2 cos ) d 2 1 a =2 2 a 2π 2π 2 cos d , 利用对称性，得 A =4 2 a 2π 0 2 cos d =2 2 a 2π 0 (1 cos 2 )d r 2acos d x x y 2ax 2 2