第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理， 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会 解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的 图形. 重点用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调 性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元 函数的最大值与最小值的应用题
1 第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会 解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的 图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调 性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元 函数的最大值与最小值的应用题
(二)内容提要 1.三个微分中值定理 (I)罗尔(Rol1e)定理 如果函数y=(x)满足下列三个条件： ①在闭区间[a,b1上连续； ②在开区间(a,b)内可导； ③f(a)=f(b), 则至少存在一点5∈(a,b),使"(5)=0. (2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数y=f(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续； ②在开区间(a,b)内可导， 则至少存在一点5e(a,b)， 使得f)=b)-f@,或 b-a f(b)-f(a=f'(5)b-a). (3)柯西(Cauchy)中值定理 如果函数f(x)与g(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b1上连续； ②在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，x∈(a,b), 则在(a,b)内至少存在一点5，使得 fb)-f(a-f'(⑤2 g(b)-g(ag'(5) 2.洛必达法则
2 （二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle）定理 如果函数 y f (x)满足下列三个条件： ①在闭区间[a,b]上连续; ②在开区间(a,b)内可导; ③ f (a) f (b) , 则至少存在一点 (a,b),使 f ( ) 0 . ⑵ 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 y f (x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续； ②在开区间(a,b)内可导, 则 至 少 存 在 一 点 (a,b) ， 使 得 , ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 或 f (b) f (a) f ( )(b a) . ⑶ 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)与g(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续； ②在开区间(a,b)内可导，且 g(x) 0, x (a,b) , 则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f g b g a f b f a . 2.洛必达法则
如果 1lim f(x)=0,lim g(x)=0 ②函数f(x)与g(x)在x某个邻域内（点x,可除外)可导，且 g'(x)≠0； ③ 1im田=AA为有限数，也可为n,+o或-o),则 →xg'(x) lim)=limf(x)=4. x→08(x)→0g'(x) 注意上述定理对于x→∞时的9型未定式同样适用，对于x→ 或x→∞时的”型未定式也有相应的法则. 00 3.函数的单调性定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则有 ①若在(a,b)内f'(x)>0,则函数fx)在[a,b]上单调增加； ②若在(a,b)内f"(x)<0,则函数f(x)在[a,b上单调减少 4.函数的极值、极值点与驻点 (I)极值的定义设函数f(x)在点x,的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内任一点x(x≠x),都有f(x)<fx),则称f(x)是函数fx)的 极大值；如果对于该邻域内任一点x(x≠x),都有fx)>f(x),则称 f(x)是函数f(x)的极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点 x称为函数f(x)的极值点
3 如果 ① lim ( ) 0, 0 f x x x lim ( ) 0 0 g x x x ; ② 函数 f (x) 与 g(x) 在 0 x 某个邻域内（点 0 x 可除外）可导，且 g(x) 0； ③ ( , , ) ( ) ( ) lim 0 A A为有限数 也可为 或 g x f x x x ,则 A g x f x g x f x x x x x ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 . 注意 上述定理对于 x 时的 0 0 型未定式同样适用,对于 0 x x 或x 时的 型未定式也有相应的法则. 3. 函数的单调性定理 设函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则有 ①若在(a,b)内 f (x) 0，则函数 f (x)在[a,b]上单调增加； ②若在(a,b)内 f (x) 0，则函数 f (x)在[a,b]上单调减少. 4 . 函数的极值、极值点与驻点 ⑴ 极值的定义 设函数 f (x)在点 0 x 的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内任一点 ( ) 0 x x x ，都有 ( ) ( ) 0 f x f x ，则称 ( ) 0 f x 是函数 f (x) 的 极大值；如果对于该邻域内任一点 ( ) 0 x x x ，都有 ( ) ( ) 0 f x f x ，则称 ( ) 0 f x 是函数 f (x)的极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点 0 x 称为函数 f (x)的极值点
(2)驻点使f"(x)=0的点x称为函数f(x)的驻点， (3)极值的必要条件设函数f(x)在x处可导，且在点，处取得极 值，那么f"(x)=0. (4)极值第一充分条件 设函数f(x)在点x连续，在点x的某一去心邻域内的任一点x处可 导，当x在该邻域内由小增大经过x时，如果 ①f"(x)由正变负，那么x,是f(x)的极大值点，f(x)是fx)的极大 值； ②f"(x)由负变正，那么x,是f(x)的极小值点，f(x)是f(x)的极小 值： ③f'(x)不改变符号，那么x。不是f(x)的极值点 (⑤)极值的第二充分条件 设函数f(x)在点x处有二阶导数，且∫"(x)=0,∫"x)≠0，则x。是 函数f(x)的极值点，f(x)为函数fx)的极值，且有 ①如果∫”(x)<0,则fx)在点x处取得极大值； ②如果∫"(x)>0,则f(x)在点x处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值 在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭 区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间 的端点处取得
4 ⑵ 驻点 使 f (x) 0的点x称为函数 f (x)的驻点. ⑶ 极值的必要条件 设函数 f (x)在 0 x 处可导，且在点 0 x 处取得极 值，那么 ( ) 0 f x0 . ⑷ 极值第一充分条件 设函数 f (x)在点 0 x 连续，在点 0 x 的某一去心邻域内的任一点 x 处可 导,当x 在该邻域内由小增大经过 0 x 时，如果 ① f (x)由正变负，那么 0 x 是 f (x)的极大值点， ( ) 0 f x 是 f (x)的极大 值； ② f (x)由负变正，那么 0 x 是 f (x)的极小值点， ( ) 0 f x 是 f (x)的极小 值； ③ f (x)不改变符号，那么 0 x 不是 f (x)的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件 设函数 f (x)在点 0 x 处有二阶导数，且 0 f x0 ， 0 f x0 ，则 0 x 是 函数 f (x)的极值点， ( ) 0 f x 为函数 f (x)的极值，且有 ①如果 ( ) 0 f x0 ，则 f (x)在点 0 x 处取得极大值； ②如果 ( ) 0 f x0 ，则 f (x)在点 0 x 处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值 在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭 区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间 的端点处取得
6.函数图形的凹、凸与拐点 (I)曲线凹向定义若在区间(a,b)内曲线y=f(x)各点的切线都位 于该曲线的下方，则称此曲线在(a,b)内是向上凹的（简称上凹，或称 下凸)：若曲线y=f(x)各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在 (a,b)内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）. (2)曲线凹向判定定理设函数在区间(a,b)内具有二阶导数， ①如果在区间(a,b)内f"x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是上凹的. ②如果在区间(a,b)内∫"(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是下凹 的 (3)拐点若连续曲线y=f(x)上的点Px,%)是曲线凹、凸部分的分 界点，则称点P是曲线y=f(x)的拐点. 7.曲线的渐近线 (I)水平渐近线若当x→o(或x→+0或x→-0)时，有fx)→b(b 为常数)，则称曲线y=)有水平渐近线y=b. (2)垂直渐近线若当x→a(或x→a或x→a)(a为常数)时，有 f(x)→o,则称曲线y=f(x)有垂直渐近线x=a. 3)斜渐近线若函数y=f)满足a=m，b=imf)-a网（其 中自变量的变化过程x→0可同时换成x→+0或x→-o),则称曲线 y=f(x)有斜渐近线y=ar+b
5 6. 函数图形的凹、凸与拐点 ⑴曲线凹向定义 若在区间(a,b)内曲线 y f (x) 各点的切线都位 于该曲线的下方，则称此曲线在(a,b)内是向上凹的（简称上凹，或称 下凸）；若曲线 y f (x)各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在 (a,b)内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）. ⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间(a,b)内具有二阶导数， ① 如果在区间(a,b)内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x)在(a,b)内是上凹的. ② 如果在区间(a,b)内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在(a,b)内是下凹 的.⑶拐点 若连续曲线 y f (x)上的点 ( , ) 0 0 P x y 是曲线凹、凸部分的分 界点，则称点P 是曲线 y f (x)的拐点. 7. 曲线的渐近线 ⑴水平渐近线 若当 x (或 x 或 x )时，有 f (x) b（b 为常数），则称曲线 y f (x) 有水平渐近线 y b . ⑵垂直渐近线 若当 x a (或 x a 或 x a )（a为常数）时，有 f (x) ，则称曲线 y f (x) 有垂直渐近线 x a . ⑶斜渐近线 若函数 y f (x) 满足 x f x a x ( ) lim ， b lim[ f (x) ax] x (其 中自变量的变化过程 x 可同时换成 x 或 x )，则称曲线 y f (x) 有斜渐近线 y ax b