定理4.1(高斯消去法)P63 设Ax=b,其中A∈R”。如果约化的主元素a)≠0(k=1,2,,n) 则可通过高斯消去法(不进行交换两行的初等交换)将方程 组Ax=b约化为三角形矩阵方程组,且消元和求解公式为 ①消元计算第k步消元(k=1,2灬,n-1) (k) (i=k+1,…,n) ma)(i,j=k+1,…,n) (k)1 b)(i=k+1,…n)
①消元计算第k步消元(k=1,2,,n-1) (k) (i=k+1,…,n) (k+l) (k) n.a (k (i,j=k (k+1) (k) ②回代计算 (n) b-∑qx,(=n-1,n-2…)
注:如果A为非奇异矩阵时,但可能有某a=0,则在第k列 存在有元素ab≠0、k+1≤i≤n),于是可通过交换(Ab)的第k 行和第行元素将a调到(k,k)位置,然后再进行消元计 算。因此,在A为非奇异矩阵时,只要引进行交换,则高 斯消去法可将Ax=b约化为三角形方程组,且通过回代即可 求得方程组的解。 高斯消去法的计算量:T=+n2-n 注:消元过程要保证a)≠0严格对角占优阵满足
高斯消去法的计算量： . 3 3 2 3 n n n T 注：消元过程要保证 0 ( ) k akk 严格对角占优阵满足
高斯消元法:小结 思首先将4化为上三角阵,再回代求解 路 (1) (1) 12 2 12 b (2) 2) 00 (3)
高斯消元法：小结 n n nn n n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 思 路 首先将A化为上三角阵，再回代求解 。 = (1) (1) (1) (1) (1) 11 12 13 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 23 2 2 (3) (3) (3) 33 3 3 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 n n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a b
例1:单精度解方程组 10x1+x2 8个 8个 /精确解为x, 1-10 =100.00.0和x2=2-x1=0.99.99.* 用 Gaussian消元法计算: 21 10 8个 a1,=1-m,×1=0.0.01×109-109÷-109 b,=2-mn×1÷-10 2 10 小主元可能导致 计算失败 0 10。-10
例1：单精度解方程组 2 10 1 1 2 1 2 9 x x x x /* 精确解为 1.00...0100...和 */ 1 10 1 1 9 x 8个 2 0.99 ... 9899... 2 1 x x 8个 用Gaussian 消元法计算： 9 21 21 11 m a / a 10 9 9 9 22 21 a 1 m 1 0.0...0110 10 10 8个 9 2 21 b 2 m 1 10 9 9 9 0 10 10 10 1 1 1, 0 x2 x1 小主元可能导致 计算失败