目录 第七章灰色系统理论及其应用 172 第一节灰色系统的概念与基本原理 172 、灰色系统理论产生和发展动态. .172 几种不确定方法的比较… 灰色系统理论的基本概念 .173 四、灰色系统理论的基本原理. 五、灰色系统理论的主要内容及特点…… ∴173 六、灰数. 174 第二节序列算子与灰色序列生成 176 冲击扰动系统与序列算子 177 缓冲算子公理 177 实用缓冲算子的构造 .178 四、均值生成算子.… 181 五、序列的光滑性 六、级比生成算子… 七、累计生成算子与累减生成算子 182 八、灰指数律 ∴183 第三节灰色关联分析 灰色关联因素和关联算子集 186 灰色关联公理与灰色关联度. 187 、灰色关联分析的应用举例………… 192 四、广义灰色关联度 197 五、灰色相对关联度 197 六、灰色综合关联度 198 第四节灰色系统模型 202 GM(1,1)模型. .203 二、残差GM(1,1)模型 、灰色系统模型的检验 四、应用举例 210 第五节灰色系统预测 20 灰色预测概述 .220 二、数列预测 221 古树屋边坡变形预测 .223
171 目录 第七章 灰色系统理论及其应用 ..........................................................................................172 第一节 灰色系统的概念与基本原理.............................................................................172 一、灰色系统理论产生和发展动态.............................................................................172 二、几种不确定方法的比较 ........................................................................................172 三、灰色系统理论的基本概念.....................................................................................173 四、灰色系统理论的基本原理.....................................................................................173 五、灰色系统理论的主要内容及特点.........................................................................173 六、灰数........................................................................................................................174 第二节 序列算子与灰色序列生成.................................................................................176 一、冲击扰动系统与序列算子.....................................................................................177 二、缓冲算子公理........................................................................................................177 三、实用缓冲算子的构造 ............................................................................................178 四、均值生成算子........................................................................................................181 五、序列的光滑性........................................................................................................182 六、级比生成算子........................................................................................................182 七、累计生成算子与累减生成算子.............................................................................182 八、灰指数律................................................................................................................183 第三节 灰色关联分析....................................................................................................185 一、灰色关联因素和关联算子集.................................................................................186 二、灰色关联公理与灰色关联度.................................................................................187 三、灰色关联分析的应用举例.....................................................................................192 四、广义灰色关联度 ....................................................................................................197 五、灰色相对关联度 ....................................................................................................197 六、灰色综合关联度 ....................................................................................................198 第四节 灰色系统模型....................................................................................................202 一、GM(1,1)模型...........................................................................................................203 二、残差 GM(1,1)模型..................................................................................................205 三、灰色系统模型的检验 ............................................................................................209 四、应用举例................................................................................................................210 第五节 灰色系统预测....................................................................................................220 一、灰色预测概述........................................................................................................220 二、数列预测................................................................................................................221 三、古树屋边坡变形预测 ............................................................................................223
第七章灰色系统理论及其应用 第一节灰色系统的概念与基本原理 、灰色系统理论产生和发展动态 1982年,北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的 第一篇灰色系统理论论文“灰色系统的控制问题”,同年,《华中工学院学报》发表邓聚龙教授 的第一篇中文论文《灰色控制系统》,这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生 1985灰色系统研究会成立,灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》,同年,英文版国际刊物《灰色系统 杂志正式创刊。目前,国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文,许多国际会议把灰色系 统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统理论应 用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域,成功地解决 了生产、生活和科学研究中的大量实际问题,取得了显著成果 二、几种不确定方法的比较 概率统计,模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统硏究方法。其硏究对象 都具有某种不确定性,是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别,才派生了 这三种各具特色的不确定学科 概率统计硏究的是“随机不确定”现象,考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象 中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本,并服从某种典型分布。 模糊数学着重硏究“认识不确定”问题,其硏究对象具有“内涵明确,外延不明确”的特点 比如“年轻人”内涵明确,但要你划定一个确定的范围,在这个范围内是年轻人,范围外不是 年轻人,则很难办到。 灰色系统理论着重研究概率统计,模糊数学难以解决的“小样本,贫信息”不确定性问题, 着重研究“外延明确,内涵不明确”的对象。如到2050年,中国要将总人口控制在15亿到 16亿之间,这“15亿到16亿之间“是一个灰概念,其外延很清楚,但要知道具体数值,则不 清楚。 表71三种不确定性系统研究方法的比较分析 灰色系统 概率统计 模糊数学 研究对象 贫信息不确定 随机不确定 认知不确定 基础集合 灰色朦胧集 康托集 模糊集 方法依据 信息覆盖 映射 映射 途径手段 灰序列算子 频率统计 数据要求 任意分布 典型分布 隶属度可知 侧重点 内涵 内涵 外延 见实规律 历史统计规律 认知表达 特色 小样本 大样本 凭经验
172 第七章 灰色系统理论及其应用 第一节 灰色系统的概念与基本原理 一、灰色系统理论产生和发展动态 1982 年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的 第一篇灰色系统理论论文“灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授 的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。 1985 灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989 海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》 杂志正式创刊。目前，国际、国内 300 多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系 统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著 3000 多次。灰色系统理论应 用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决 了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 二、几种不确定方法的比较 概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象 都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了 这三种各具特色的不确定学科。 概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象 中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。 模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。 比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是 年轻人，则很难办到。 灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题， 着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到 2050 年，中国要将总人口控制在 15 亿到 16 亿之间，这“15 亿到 16 亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不 清楚。 表 7.1 三种不确定性系统研究方法的比较分析 项目 灰色系统 概率统计 模糊数学 研究对象 贫信息不确定 随机不确定 认知不确定 基础集合 灰色朦胧集 康托集 模糊集 方法依据 信息覆盖 映射 映射 途径手段 灰序列算子 频率统计 截集 数据要求 任意分布 典型分布 隶属度可知 侧重点 内涵 内涵 外延 目标 现实规律 历史统计规律 认知表达 特色 小样本 大样本 凭经验
三、灰色系统理论的基本概念 信息完全明确的系统称为白色系统。信息未知的系统称为黑色系统。部分信息明确,部 分不明确的系统称为灰色系统 在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情 况。比如:农业方面,农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变,因此很难准确计算农 田产量、产值,这是缺乏耕地面积信息:生物防治方面,害虫与天敌间的关系即使是明确的, 但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确,这是缺乏生物间的关联信息:一项土建 工程,尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的,可是还很难估计施工进度与质量,这是 缺乏劳动力及技术水平的信息:一般社会经济系统,除了输出的时间数据列(比如产值、产 量、总收入、总支出等)外,其输入数据列不明确或者缺乏,因而难以建立确定的完整的模 型,这是缺乏系统信息:工程系统是客观实体,有明确的“内”、“外”关系(即系统内部与系 统外部,或系统本体与系统环境),可以较清楚地明确输入与输出,因此可以较方便地分析输 入对输出的影响,可是社会、经济系统是抽象的对象,没有明确的“内”、“外”关系,不是客 观实体,因此就难以分析输入(投入)对输出(产出)的影响,这是缺乏“模型信息”(即用 什么模型,用什么量进行观测控制等信息)。 信息不完全的情况归纳起来有:元素(参数)信息不完全:结构信息不完全;关系信息 (特指“内”、“外”关系)不完全;运行的行为信息不完全。 一个商店可看作是一个系统,在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下,可算 出该店的盈利大小、库存多少,可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等,这样的系统 是白色系统 遥远的某个星球,也可以看作一个系统,虽然知道其存在,但体积多大,质量多少,距 离地球多远,这些信息完全不知道,这样的系统是黑色系统 人体是一个系统,人体的一些外部参数(如身高、体温、脉搏等)是已知的,而其他 些参数,如人体的穴位有多少,穴位的生物、化学、物理性能,生物的信息传递等尚未知道 透彻,这样的系统是灰色系统 显然,黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统,因为任何 系统总有未确知的部分,也没有绝对的黑色系统,因为既然一无所知,也就无所谓该系统 存在 四、灰色系统理论的基本原理 差异信息原理:“差异”即信息,凡信息必有差异 解的非唯一性原理:信息不完全,不确定的解是非唯一的 最少信息原理:灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息 认知根据原理:信息是认知的根据。 新信息优先原理:新信息对认知的作用大于老信息 灰性不灭原理:“信息完全”是相对的,信息不完全”是绝对的 五、灰色系统理论的主要内容及特点 灰色系统理论经过多年的发展,现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要
173 三、灰色系统理论的基本概念 信息完全明确的系统称为白色系统。信息未知的系统称为黑色系统。部分信息明确，部 分不明确的系统称为灰色系统。 在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情 况。比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难准确计算农 田产量、产值，这是缺乏耕地面积信息；生物防治方面，害虫与天敌间的关系即使是明确的， 但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是缺乏生物间的关联信息；一项土建 工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是 缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产 量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模 型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内”、“外”关系（即系统内部与系 统外部，或系统本体与系统环境），可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输 入对输出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内”、“外”关系，不是客 观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型信息”（即用 什么模型，用什么量进行观测控制等信息）。 信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息 （特指“内”、“外”关系）不完全；运行的行为信息不完全。 一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算 出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统 是白色系统。 遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距 离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。 人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一 些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道 透彻，这样的系统是灰色系统。 显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统，因为任何 系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的 存在。 四、灰色系统理论的基本原理 差异信息原理：“差异”即信息，凡信息必有差异。 解的非唯一性原理：信息不完全，不确定的解是非唯一的。 最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。 认知根据原理：信息是认知的根据。 新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。 灰性不灭原理：“信息完全”是相对的,“信息不完全”是绝对的。 五、灰色系统理论的主要内容及特点 灰色系统理论经过多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要
内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系;以灰色序列生成为基 础的方法体系;以灰色关联空间为依托的分析体系:以灰色模型(GM)为核心的模型体系 以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。 灰色系统的特点:灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信 息”不确定型系统为研究对象 (1)用灰色数学来处理不确定量,使之量化 在数学发展史上,最早研究的是确定型的微分方程,即在拉普拉斯决定论框架内的数学 他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值,就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概 率论与数理统计,用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清 晰界限的事物,如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等,它通过隶属函数来 使模糊概念量化,因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及著干人文科学。灰色系 统理论则认为不确定量是灰数,用灰色数学来处理不确定量,同样能使不确定量予以量化。 1,2,3 不确定量 量化(用确定量的方法研究) 1、概率论与数理统计;2、模糊数学;3、灰色数学(灰色系统理论) (2)充分利用己知信息寻求系统的运动规律。 研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。 灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法,它能利用时间序 列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程,而是看作 随时间变化的灰色量或灰色过程,通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化,从而建立相 应于微分方程解的模型并做出预报。这样,对某些大系统和长期预测问题,就可以发挥作用。 (3)灰色系统理论能处理贫信息系统 灰色预测模型只要求较短的观测资料即可,这和时间序列分析,多元分析等概率统计模 型要求较长资料很不一样。因此,对于某些只有少量观测数据的项目来说,灰色预测是一种 有用的工具 六、灰数 灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。我们把只知道大概范围而不知道其确切值 的数称为灰数。在应用中,灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。 通常用记号“⑧”表示灰数。 灰数有以下几类 1)仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为②∈[a,∞],其中a是灰数⑧的下确界, 是确定的数,我们称[a,∞]为⑧的取数域,简称②的灰域 2)仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为⑧∈[-∞,a,其中a是灰数⑧的上确 界,是确定的数。 3)区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数,记为②∈[a,a]
174 内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系；以灰色序列生成为基 础的方法体系；以灰色关联空间为依托的分析体系；以灰色模型（GM）为核心的模型体系； 以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。 灰色系统的特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小样本”、“贫信 息”不确定型系统为研究对象。 （1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。 在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。 他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概 率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清 晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来 使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。灰色系 统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。 不确定量 量化（用确定量的方法研究） 1、概率论与数理统计； 2、模糊数学； 3、灰色数学（灰色系统理论） （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。 研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。 灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序 列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作 随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相 应于微分方程解的模型并做出预报。这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。 （3）灰色系统理论能处理贫信息系统。 灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模 型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种 有用的工具。 六、灰数 灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。我们把只知道大概范围而不知道其确切值 的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。 通常用记号“ ”表示灰数。 灰数有以下几类： 1)仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为 ∈ [ , ] a − ，其中 a 是灰数 的下确界， 是确定的数，我们称 [ , ] a − 为 的取数域，简称 的灰域。 2)仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为 ∈ [ , ] a − − ，其中 a −− 是灰数 的上确 界，是确定的数。 3)区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为 ∈ [ , ] a a −− −− 1，2，3
4)连续灰数与离散灰数。 5)黑数与白数。当②∈[∞,+o],称⑧为黑数;当⑧∈[a,a]且a=a时,称⑧为 白数 6)本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表” 的灰数,比如一般的事前预测值,宇宙的总能量等;非本征灰数是指凭先验信息或某种手段, 可以找到一个白数作为其代表的灰数,我们称此白数为相应灰数的白化值
175 4)连续灰数与离散灰数。 5)黑数与白数。当 ∈ [ , ] − + ，称 为黑数；当 ∈ [ , ] a a −− −− 且 a a −− −− = 时，称 为 白数。 6)本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表” 的灰数，比如一般的事前预测值，宇宙的总能量等；非本征灰数是指凭先验信息或某种手段， 可以找到一个白数作为其代表的灰数，我们称此白数为相应灰数的白化值