目录 第八章模糊数学方法及其应用 230 第一节模糊数学简介 230 第二节模糊数学的基础知识. 231 一、集合及其特征函数… 231 二、模糊集合 231 第三节模式识别. 、模式识别及识别的直接方法 247 、贴近度与模式识别的间接方法 52 第四节模糊综合评判及其应用…… 262 、模糊综合评判 262 、应用实例 263
229 目 录 第八章 模糊数学方法及其应用............................................................................................. 230 第一节 模糊数学简介........................................................................................................... 230 第二节 模糊数学的基础知识............................................................................................... 231 一、集合及其特征函数..................................................................................................... 231 二、模糊集合..................................................................................................................... 231 第三节 模式识别................................................................................................................... 247 一、模式识别及识别的直接方法..................................................................................... 247 二、贴近度与模式识别的间接方法................................................................................. 252 第四节 模糊综合评判及其应用........................................................................................... 262 一、模糊综合评判............................................................................................................. 262 二、应用实例..................................................................................................................... 263
第八章模糊数学方法及其应用 第一节模糊数学简介 任何新生事物的产生和发展,都要经过一个由弱到强逐步成长壮大的过程,一种新理论 一种新学科的问世,往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年 LAZadeh 教授开创以来所走过的道路,充分证实了这一点,然而,实践是检验真理的标准,模糊数学在 理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果,不仅消除了人们的疑虑,而且使模糊数学在科学 领域中,占有了自己的一席之地 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的,不可能不带有这 些学科固有的局限性。这些学科考察的对象,都是无生命的机械系统,大都是界限分明的清晰 事物,允许人们做岀非此即彼的判断,进行精确的测量,因而适于用精确方法描述和处理。而 那些难以用经典数学实现定量化的学科,特别是有关生命现象、社会现象的学科,研究的对象 大多是没有明确界限的模糊事物,不允许做岀非此即彼的断言,不能进行精确的测量。清晰事 物的有关参量可以精确测定,能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据, 不能按精确方法建立数学模型。实践证明,对于不同质的矛盾,只有用不同质的方法才能解决 传统方法用于力学系统高度有效,但用于对人类行为起重要作用的系统,就显得太精确了,以 致于很难达到甚至无法达到 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑,即要求符合非此即彼的排中律,这对于处理清晰 事物是适用的。但用于处理模糊性事物时,就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时, 用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达,否则,便是经济效益不好的企业。根 据常识,显而易见:“比经济效益好的企业年利税少1元的企业,仍是经济效益好的企业”,而 不应被划为经济效益不好的企业。这样,从上面的两个结论出发,反复运用经典的二值逻辑, 我们最后就会得到,“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多,历史 上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象,促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现 象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻 辑,它是建立在[0,1上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于经济效益好”的企业 的隶属度规定为1,那末,相比之下,年利税少1元的企业,属于“经济效益好”的企业的隶属 度就应相应减少一点,比如为0999,依此类推,企业的年利税每减少1元,它属于“经济效 益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去,当企业的年利税为0时,它属于“经济效 益好”的企业的隶属度也就为0了,显然,模糊方法的这种处理方式,是符合于人们的认识过程 ,连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是,从以分析为主对确定性现象的研究,进到以综合为主对不确定 性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后,正在扩大视域 转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间,社会科学不同学科之间,自然 科学和社会科学之间,相互渗透的趋势日益加强,原来截然分明的学科界限一个个被打破,边 缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化,边界不分明的对象,亦即模糊性对象, 以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿
230 第八章 模糊数学方法及其应用 第一节 模糊数学简介 任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、 一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在 理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学 领域中，占有了自己的一席之地。 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这 些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰 事物，允许人们做出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而 那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象 大多是没有明确界限的模糊事物，不允许做出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事 物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据， 不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。 传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以 致于很难达到甚至无法达到。 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰 事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时， 用“年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根 据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业”，而 不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑， 我们最后就会得到，“年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史 上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现 象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻 辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业 的隶属度规定为 1，那末，相比之下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属 度就应相应减少一点，比如为 0.99999，依此类推，企业的年利税每减少 1 元，它属于“经济效 益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为 0 时，它属于“经济效 益好”的企业的隶属度也就为 0 了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程 的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定 性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域， 转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然 科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边 缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象， 以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿
模糊集合理论自诞生以来,获得了长足的发展,每年全世界发表的研宄论文的数量,以指 数级速度增长。硏究范围从开始时的模糊集合,发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积 分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑..等众多的分枝。 模糊集合论的提出虽然较晚,但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明,模糊数学在 农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面,在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展 趋势来看,它具有极其强大的生命力和渗透力。在模糊数学的应用中,经常应用于聚类分析、 模式识别和综合评判等方面 第二节模糊数学的基础知识 、集合及其特征函数 (1)集合 论域E中具有性质P的元素组成的总体称为集合 (2)集合的运算 集合的常用运算包括:交(∩)、并(U)、补 (3)特征函数 对于论域E上的集合A和元素x,如有以下函数 (x)={1当xeA 则称山(x)为集合A的特征函数 特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度:可以用集合来表达各种概念的精确数学定义 和各种事物的性质。 模糊集合 (1)概念的模糊性 许多概念集合具有模糊性,例如:成绩:好、差:身高:高、矮:年龄:年轻、年老:头 发:秃、不秃 (2)隶属度函数 如果一个集合的特征函数H4(x)不是{01}二值取值,而是在闭区间[,1中取值,则 4(x)是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数,称为隶属度函数 当x∈A H、(x)={0<x4(x)<1,当在一定程度上属于 (82) 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性 (3)模糊子集
231 模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指 数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积 分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在 农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展 趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。在模糊数学的应用中，经常应用于聚类分析、 模式识别和综合评判等方面。 第二节 模糊数学的基础知识 一、集合及其特征函数 （1）集合 论域 E 中具有性质 P 的元素组成的总体称为集合。 （2）集合的运算 集合的常用运算包括：交（∩）、并（∪）、补 （3）特征函数 对于论域 E 上的集合 A 和元素 x，如有以下函数： ( ) 则称 ( )为集合 的特征函数 当 当 x A x A x A x A A = 0, 1, （8.1） 特征函数表达了元素 x 对集合 A 的隶属程度；可以用集合来表达各种概念的精确数学定义 和各种事物的性质。 二、模糊集合 （1）概念的模糊性 许多概念集合具有模糊性，例如：成绩：好、差；身高：高、矮；年龄：年轻、年老；头 发：秃、不秃。 （2）隶属度函数 如果一个集合的特征函数 ( ) A x 不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则 ( ) A x 是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函数，称为隶属度函数。 ( ) ( ) = x A x x A x A A x A 当 当 在一定程度上属于 当 0, 0 1, 1, （8.2） 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。 （3）模糊子集
1)设集合A是集合U的一个子集,如对于任意U中的元素x,用隶属度函数4(x)来 表示x对A的隶属程度,则称A是U的一个模糊子集,记为A={4(x)x}。模糊子集 通常简称模糊集;模糊集A由隶属函数4(x)唯一确定,故认为二者是等同的。 2)模糊集可以用下式表示 Zadeh表示法 A (x1),A(x2) A(x) A=H4(x)x1+4(x2)x2+…+H4(xn)/xn (84) 其中一表示x1对模糊集A的隶属度,x(i=1,2,…,n)称为模糊子集A的支持点 “+”叫做查德记号,不是求和 如“将1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为 10.80.20 d= 5) 序偶表示法 A={(x1,A(x1)(x2,A(x2),…(xn2A(xn)}(86) 向量表示法: A=(4(x1),4(x2),…,4(xn)) 若论域U为无限集,其上的模糊集可表示为 A (88) 3)模糊集与隶属度举例 设论域 E (89) 0.50.3040.2 A (8.10) x x2 >3 x4 B (8.11) XI x2 x3 x4 意思是x1,x2,x32x4对模糊集A的隶属度分别是05,0.3,04,02:对模糊集B的隶 232
232 1）设集合 A 是集合 U 的一个子集，如对于任意 U 中的元素 x，用隶属度函数 ( ) A x 来 表示 x 对 A 的隶属程度，则称 A 是 U 的一个模糊子集，记为 { ( ), } A x x = A i i 。模糊子集 通常简称模糊集；模糊集 A 由隶属函数 ( ) A x 唯一确定，故认为二者是等同的。 2） 模糊集可以用下式表示。 Zadeh 表示法： 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n A x A x A x A x x x = + + + （8.3） 或 ( ) ( ) ( ) A= A x1 x1 + A x2 x2 ++ A xn xn （8.4） 其中 ( )i i A x x 表示 i x 对模糊集 A 的隶属度， ( 1,2, , ) i x i n = 称为模糊子集 A 的支持点， “+”叫做查德记号，不是求和。 如“将1, 2, 3, 4组成一个小数的集合”可表示为 1 0.8 0.2 0 1 2 3 4 A = + + + （8.5） 序偶表示法： 1 1 2 2 {( , ( )),( , ( )), ,( , ( ))} A x A x x A x x A x = n n （8.6） 向量表示法： 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) A A x A x A x = n （8.7） 若论域 U 为无限集，其上的模糊集可表示为： ( ) x U A x A x = （8.8） 3）模糊集与隶属度举例 设论域 E x x x x = 1 2 3 4 , , , （8.9） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.4 0.2 A x x x x = + + + （8.10） 1 2 3 4 0.2 0 0.6 1 B x x x x = + + + （8.11） 意思是 1 2 3 4 x x x x , , , 对模糊集 A 的隶属度分别是 0.5，0.3，0.4，0.2；对模糊集 B 的隶
属度分别是0.2,0,06,1。 设以人的岁数作为论域U=[0,120],单位是“岁”,那么“年轻”,“年老”,都是U上的模 糊子集。隶属函数如下: <u H()=年轻( ×/-25 (8.12) (0<u≤50) 2-50 <u< (8.12)表示:不大于25岁的人,对子集“年轻”的隶属函数值是1,即一定属于这一子集 而大于25岁的人,对子集“年轻的隶属函数值按1+/a-2 来计算,例如对40岁的人, 隶属函数值(=4)1-(42)1-01 同理,由(813)可得:HB(u=55=0.5,B(u=60)=0.8 模糊子集的隶属度函数的确定通常是根据经验或统计,常常带有主观性,但大家也较容易 接受(上述两个模糊集的隶属度函数如下所示) 图8.1两个模糊集隶属函数图示 (4)模糊集合的基本运算 相关运算的定义 相等:A=B令→14(x)=42(x) 包含:AB令4(x)≤A1(x) 233
233 属度分别是 0.2，0，0.6，1。 设以人的岁数作为论域 U = 0,120 ，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是 U 上的模 糊子集。隶属函数如下： A (u) =“年轻”(u)= ( ) ( ) 1 2 1 0 25 25 1 25 120 5 u u u − − + （8.12） B (u) =“年老”(u)= ( ) ( ) 1 2 0 0 50 50 1 50 120 5 u u u − − − + （8.13） （8.12）表示：不大于 25 岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值是 1，即一定属于这一子集； 而大于 25 岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值按 1 2 25 1 5 u − − + 来计算，例如对 40 岁的人， 隶属函数值 ( ) 1 2 40 25 40 1 0.1 5 A u − − = = + = 。 同理，由（8.13）可得： B (u = = 55 0.5 ) ， B (u = = 60 0.8 ) 。 模糊子集的隶属度函数的确定通常是根据经验或统计，常常带有主观性，但大家也较容易 接受（上述两个模糊集的隶属度函数如下所示）。 0 20 40 60 80 100 120 0 0.5 1 1.5 图 8.1 两个模糊集隶属函数图示 （4）模糊集合的基本运算 相关运算的定义 相等： ( ) ( ) A B x x = = A B 包含： ( ) ( ) A B x x A B