42选主元素的高斯消去法 在Gaus消元第k步之前,做如下的事情: 若max|aHa交换k行和行 kiln 行的交换,不改变方程组的解,同时又有效地 克服了Gau消元的缺陷 例1: -9 ① 10-91 →x,=1 2
在Gauss消元第k步之前，做如下的事情： max | | | | ( ) (k ) jk k ik k i n a a 若 交换k行和j行 行的交换，不改变方程组的解，同时又有效地 克服了Gauss消元的缺陷 例1： 1 1 2 10 1 1 9 1 , 1 x2 x1 0 1 1 1 1 2 10 1 1 1 1 2 9 4.2 选主元素的高斯消去法
一、全主元素消去法 a11 a1 b (A,b) a b 第1步(k=1):首先在A中选主元素,即选择i, 使 n1i;|= maxa≠0 再交换(Ab)的第1行与第i行元素,交换A的第1列与第列元素, 将a1调到(l,1)位置(为简单起见,交换后增广阵仍记为(A,b) 然后,进行消元计算。 第k步:继续上述过程,设已完成第1步到第k-1步计算 回代求解
一、全主元素消去法 第k步：继续上述过程，设已完成第1步到第 k 1步计算 回代求解
、列主元素消去法 完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法, 但完全主元素方法在选主元时要花费一定的计算机时间, 在实际计算中常用的是部分选主元(即列主元)消去法 列主元消去法在每次选主元时仅依次按列选取绝对值最大 的元素作为主元素,且仅交换两行,再进行消元计算. 设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元 交换两行消元计算得到与原方程组等价的方程组A(x=b的 其中为简单起见增广矩阵的元素仍记为an,b,,即
二、列主元素消去法 完全主元消去法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法, 但完全主元素方法在选主元时要花费一定的计算机时间, 在实际计算中常用的是部分选主元（即列主元）消去法. 列主元消去法在每次选主元时,仅依次按列选取绝对值最大 的元素作为主元素,且仅交换两行,再进行消元计算. 设列主元素消去法已经完成第1步到第 步的按列选主元, 交换两行,消元计算得到与原方程组等价的方程组 , 其中为简单起见,增广矩阵的元素仍记为 ,即 k 1 (k ) (k ) A x b ij i a ,b
12 n n A),b4) k nk nn 于是第步计算: 第k步选主元区域 对于k=1,2,…,n-1做到(4) (1)按列选主元:选取i,使 k/s maxair ≠0 K<isn (2)如果a1k=0,则交换A为奇异矩阵停止计算
( ) ( ) ( , ) k k A b 11 12 1 1 22 2 2 n n kk kn k nk nn n a a a b a a b a a b a a b 于是第k步计算： 第 k步 选 主 元 区 域 对于k 1,2,,n 1做到（4） (1)按列选主元：选取 ,使 max 0 k i k ik k i n a a k i (2)如果 0,则交换 为奇异矩阵,停止计算; k i k a A
(3如果i≠k则交换(A,b)第行与第i行元素 (4)元计算: aik f mik=ak/ak(=k+1,…,n) ai<ai-mikak(i,j=k+l, ,,n) b;<b2-mbk(i=k+1,…,n)
(4)消元计算： / ik ik ik kk a m a a (i k 1,, n) aij aij mik akj (i, j k 1,, n) i i ik k b b m b (i k 1,,n) k (3)如果 ,则交换(A,b)第 k行与第 i 行元素； k i k