第8章矩阵特征值问题的数值方法 81特征值估计与扰动 8.2幂法与反幂法 8.3幂法的加速方法 84雅可比方法 85数值实验
第8章 矩阵特征值问题的数值方法 8.1 特征值估计与扰动 8.2 幂法与反幂法 8.3 幂法的加速方法 8.4 雅可比方法 8.5 数值实验
第8章 问题的提出 在科学和工程计算中,会遇到矩阵的特征值和特征向量的计算问题 引例遗传学的问题 用bn,Cn分别表示某地区第n代男性和女性居民的 色盲基因频率.由遗传学知道 2.3 C 2 若已知b,C1,如何求bn,Cn?
问题的提出 在科学和工程计算中，会遇到矩阵的特征值和特征向量的计算问题. 引例 遗传学的问题 用 b n ， n c 分别表示某地区第 n 代男性和女性居民的 色盲基因频率.由遗传学知道 ( ) = + = − − − 1 1 / 2 1 n n n n n c b c b c n = 2 , 3 , 若 已 知 1 b , 1 c ,如何 求 n b , n c ? 第 8 章
0 若已知b,C1,如何求bn,Cn? 1/21/2人cn1 把上式右端的系数矩阵记为B 递推得出 B 由此可见,求b,Cn可归结为求出Bn 为化简B,求其特征多项式-B=(2-1+1/2) 得B的特征值为1,-12.由此看出,B可对角化
若已知 1 b , 1 c ,如何求 n b , n c ? = − − 1 1 1/ 2 1/ 2 0 1 n n n n c b c b 把上式右端的系数矩阵记为 B , 递推得出 = − 1 1 1 c b B c b n n n 由此可见，求 n b , n c 可归结为求出 n−1 B .. 为化简 B ，求其特征多项式 I − B = ( −1)( +1/ 2) 得 B 的特征值为 1,-1/2. 由此看出, B 可对角化
0 令U= ,则U-BU 对角化 0-1/2 Bn-=Ul (-1/2)"22+(-1/2)2 0-1/2 3(1-(-1/2) n-1 2+(-1/2) (-1/2)2)b1+(2+(-1/2)2)c1 因此 -(-1/2)")b1+(2+(-1/2)”)
令 − = 1 1 1 2 U , 则 − = − 0 1/ 2 1 0 1 U BU 对角化 − − + − − − + − = − = − − − − − − − 1 1 2 2 1 1 1 1 ( 1/ 2) 2 ( 1/ 2) 1 ( 1/ 2) 2 ( 1/ 2) 3 1 0 1/ 2 1 0 n n n n n n B U U 因此 = − − + + − = − − + + − − − − − 1 1 1 1 1 2 1 2 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 c b c b b c n n n n n n
bn=1-(12y2)b1+(2+(-1/2)2x 1[-(12)+2+(+1/2yx 2 →lbn= lim Cn339 n→>0O n→> 这说明,尽管第一代男性、女性居民的色盲基因频率可能不相同, 但是经过多代(每一代都是随机结合)之后,两个性别的居民的 色盲基因频率将接近相等 工程实践中有许多问题,如桥梁或建筑物的振动,机械部件、飞机机翼的振动 以及一些稳定性分析和相关分析,可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题
= − − + + − = − − + + − − − − − 1 1 1 1 1 2 1 2 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 c b c b b c n n n n n n 1 1 3 2 3 1 lim b lim c b c n n n n = = + → → 这说明, 尽管第一代男性、女性居民的色盲基因频率可能不相同, 但是经过多代（每一代都是随机结合）之后，两个性别的居民的 色盲基因频率将接近相等. 工程实践中有许多问题, 如桥梁或建筑物的振动, 机械部件、飞机机翼的振动， 以及一些稳定性分析和相关分析, 可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题