力单 §12-1单自由度系统无阻尼自由振动 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置,这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后,仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动 、振动的微分方程: 图示质量弹簧系统,以平衡位置为k 坐标原点,则 mg-F=mi F=k(x+8) δ一振体静止平衡时弹簧的 变形:mg=kδ g x
6 §12-1 单自由度系统无阻尼自由振动 一、振动的微分方程： 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动 图示质量——弹簧系统，以平衡位置为 坐标原点，则 mg − F = m x ( ) st F = k x + st st mg k 变形： = — 振体静止平衡时弹簧的
学 mix=mg-F=mgk(x+8)==hx 令 k k 则:+O2x=0 这就是质量—弹簧系统无阻尼自由振动的 微分方程。 对于其他类型,同理可得。如 mng 单摆:平 9+O=0 衡 g/) 位 直 7
7 mx mg F mg k x kx = − = − ( + st) = − m k n = 2 令 0 2 则： x + n x = 这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的 微分方程。 ( / ) 0 2 2 g l n n = + = 对于其他类型，同理可得。如 单摆：
学 9+040=0 复摆: 平衡 (o=mga/D) 位置 对于任何一个单自由度系统,以q为广义坐标(从平 衡位置开始量取),则自由振动的微分方程的标准形式: 分+On2q=0 解为: q=Asin(@, t+a) 9=A@ cos(@,t +a)
8 复摆： ( / ) 0 2 2 mga J n n = + = 对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平 衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式： 0 2 q +n q = 解为： q = Asin( t +) n q = A cos( t +) n n
力单 设t=0时,q=40,q=o代入上两式得: A=19+ q a= arc ctg 0 或 q=C, coS@n t+Casin@nt C1,C2由初始条件决定为C1=qo,C2=qon g=go cos@nttsin nt
9 0 0 2 2 2 0 0 , arctg q q q A q n n = + = 设 t = 0 时， q = q0 , q = q 0 代入上两式得： 或： q C t C t n n = 1 cos + 2 sin C1，C2由初始条件决定为 q n C1 =q0 , C2 = 0 / t q q q t n n n cos sin 0 0 = +
学 A振体离开平衡位置的最大位移,称为振幅 Ont+a-相位,决定振体在某瞬时t的位置 α—初相位,决定振体运动的起始位置 7—周期,每振动一次所经历的时间=2x f频率,每秒钟振动的次数,单位:Hz,f=1/T 圆频率,振体在2π秒内振动的次数。On=2f On、∫都称为系统的固有频率或自然频率 10
10 ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率 A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅 n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 ——初相位，决定振体运动的起始位置 n T 2 T ——周期，每振动一次所经历的时间 = f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T