第13章矩阵位移法 学习目的和要求 矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分 析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此,以计算机进行结构分析是本章的学 习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础,以矩阵为表现形式,以计算机为为运算工 具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是式计算过程程序化,便于计算机自动化 处理尽管矩阵位移法运算模式呆板,过程繁杂,但这些正是计算机所需要的和十分 容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此,学习本章是既 要了解它与位移法的共同点,更要了解它的一些新手法和新思想。 本章的基本要求: 1.矩阵位移法包含两个基本环节:单元分析和整体分析。 2.在单元分析中,熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和 形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。 3.在整体分析中,熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集 成过程,熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元 定位向量的建立,支撑条件的处理 1.自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记,但要领会其物理意义 并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。 学习内容 有限单元法的基本概念,结构离散化。 平面杆系结构的单元分析:局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单 元刚度矩阵 平面杆系结构的整体分析:结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。 边界条件的处理,单元内力计算 矩阵位移法的计算步骤和应用举例
第 13 章 矩阵位移法 学习目的和要求 矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分 析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学 习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机为为运算工 具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是式计算过程程序化，便于计算机自动化 处理尽管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分 容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既 要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。 本章的基本要求： 1. 矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。 2. 在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和 形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。 3. 在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集 成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元 定位向量的建立，支撑条件的处理。 1. 自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义， 并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。 学习内容 有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单 元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例
§13.1矩阵位移法概述 1、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法是以位移法作为理论基础,以矩阵作为数学表达形式,以电子计算机作为计算 工具三位一体的分析方法。引入矩阵运算,使得公式排列紧凑,运算形式统一,便于计算过程 程序化,适宜于计算机进行自动化处理 矩阵位移法包含两个基本环节:单元分析和整体分析。 先将结构离散成有限个单元,按照单元的力学性质(物理关系),建立单元刚度方程,形 成单元刚度矩阵:然后在满足变形条件和平衡条件的前提下,将这些单元集合成整体,即由单 元刚度矩阵集成整体刚度矩阵,建立结构的位移法基本方程,进而求出结构的位移和内力。这 样,在一撤一搭的过程中,使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问 2、单元划分 在杆件结构矩 11111111111I11 分析中,一般是把杆件 ② 的转折点、汇交点、边 界点、突变点或集中荷 载作用点等列为结点, 结点之间的杆件部分 作为单元。如图1(a) 所示。为了减少基本未 知量的数目,跨间集中 荷载作用点可不作为 结点,但要计算跨间荷 载的等效结点荷载:跨 间结点也可不作为结 点(如图1(b)所示), 但要推导相应的单元 刚度矩阵,编程序麻
§13.1 矩阵位移法概述 1、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法是以位移法作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算 工具三位一体的分析方法。引入矩阵运算，使得公式排列紧凑，运算形式统一，便于计算过程 程序化，适宜于计算机进行自动化处理。 矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。 先将结构离散成有限个单元，按照单元的力学性质（物理关系），建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵；然后在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体，即由单 元刚度矩阵集成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程，进而求出结构的位移和内力。这 样，在一撤一搭的过程中，使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问 题。 2、单元划分 在杆件结构矩阵 分析中，一般是把杆件 的转折点、汇交点、边 界点、突变点或集中荷 载作用点等列为结点， 结点之间的杆件部分 作为单元。如图 1（a） 所示。为了减少基本未 知量的数目，跨间集中 荷载作用点可不作为 结点，但要计算跨间荷 载的等效结点荷载；跨 间结点也可不作为结 点（如图 1（b）所示）， 但要推导相应的单元 刚度矩阵，编程序麻
§13.2单元分析——局部坐标系下 单元分析的目的是建立单元刚度方程,形成单元刚度矩阵 1、坐标系的选择 在矩阵位移法中采用两种坐标系:局部坐标 系和整体坐标系。 采用局部坐标系(以杆的轴线作为x轴如图 2),可直接由虎克定律、转角位移方程得到单元 刚度方程,导出的单元刚度矩阵具有最简单的形 取超静定的基本体系 在局部坐标系中,杆端力及杆端位移的正方 如图2所示。单元刚度方程可表示 4411 2 3 其中单元的杆端力列阵和杆端位移列阵为 可用力矩分配法画球61由载常数表画球求4p -{x,FM,兄,F1M 2、局部坐标系中的单元刚度矩阵: EA 0126E 12E6E bE 4E1 6El 2E 单元刚度矩阵为 EA EA 12E/ 6El 13-12 3 6El 2E1 6E/ 4E1 (例子112)
烦。 §13.2 单元分析——局部坐标系下 单元分析的目的是建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵。 1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系：局部坐标 系和整体坐标系。 采用局部坐标系（以杆的轴线作为 轴如图 2），可直接由虎克定律、转角位移方程得到单元 刚度方程，导出的单元刚度矩阵具有最简单的形 式。 在局部坐标系中，杆端力及杆端位移的正方 向如图 2 所示。单元刚度方程可表示 为： 其中单元的杆端力列阵和杆端位移列阵为： ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q X1 可用力矩分配法画M求δ11 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q a a a 由载常数表画MP求Δ1P X1=1 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q MP M 取超静定的基本体系 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q X1 可用力矩分配法画M求δ11 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q a a a 由载常数表画MP求Δ1P X1=1 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q MP M 取超静定的基本体系 2、局部坐标系中的单元刚度矩阵： 单元刚度矩阵为： （例子 112）
3、单元刚度矩阵的特性 (1)单元刚度系数的意义:单刚中的每个元素称为单元刚度系数,代表由于单位杆端位移引 起的杆端力 如第讠行第j列元素代表当第j个杆端位移分量=1(其它位移分量为零)时引起的第i个杆端力 分量的值。 单刚中第j列元素代表当第j个杆端位移分量=1(其它位移分量为零)时引起的六个杆端力分量 的值 由图10-4可见,巧=1产生的单元变形及单元的杆端力与 =-1 生的单元变形及单元的杆端力相 由此得到:单元刚度矩阵的第二列元素变符号即第五列可= 元素,第一列元素变符号即第四列元素。第三列元素不变 符号即第六列元素,但要注意k36=k32,k6=2k。由 于单元刚度矩 阵是对称矩阵,所以,各行元素之间也具有类似的关系。 (2)单元刚度矩阵是对称矩阵:由反力互等定理可知,单元刚度矩阵是对称矩阵 (3)一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵,不存在逆阵。因此上 由单元刚度 方程,如已知杆端位移可求出杆端力,且是唯一解。但如已知杄端力,则求不岀杆端位移,杆端 位移可能无解,可能无唯一解。 (4)可按杆端将单元刚度方程写成分块形式 〔(°[]° 4、特殊单元的单元刚度矩阵 忽略轴向变形时梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。 由k△+F=,求出△1 滑四“由M丽△+M叠加最后弯矩图。 力矩分配斗画求五 对称问要力分配烈 续梁单元的单元刚度矩阵 对称问题 反对称问 按位移法 题按力法 或力矩分 或无剪切 配法计算 分配法求
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F1P Δ 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F1P 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m Δ=1 k11 由力矩分配法画MP求F1P 取无侧移的结构为位移法基本体系 由力矩分配法画MP求k11 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F1P Δ 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F1P 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m Δ=1 k11 由力矩分配法画MP求F1P 取无侧移的结构为位移法基本体系 由力矩分配法画MP求k11 P P/2 P/2 P/2 P/2 对称问题 反对称问题 P/2 P/2 对称问题 按位移法 或力矩分 配法计算 反对称问 题按力法 或无剪切 分配法求 P P/2 P/2 P/2 P/2 对称问题 反对称问题 P/2 P/2 对称问题 按位移法 或力矩分 配法计算 反对称问 题按力法 或无剪切 分配法求 3、单元刚度矩阵的特性 （1）单元刚度系数的意义： 单刚中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引 起的杆端力。 如第 i 行第 j 列元素代表当第 j 个杆端位移分量=1（其它位移分量为零）时引起的第 i 个杆端力 分量的值。 单刚中第 j 列元素代表当第 j 个杆端位移分量=1（其它位移分量为零）时引起的六个杆端力分量 的值。 由图 10-4 可见， 产生的单元变形及单元的杆端力与 产生的单元变形及单元的杆端力相同。 由此得到：单元刚度矩阵的第二列元素变符号即第五列 元素，第一列元素变符号即第四列元素。第三列元素不变 符号即第六列元素，但要注意 , 。由 于单元刚度矩 阵是对称矩阵，所以，各行元素之间也具有类似的关系。 （2）单元刚度矩阵是对称矩阵：由反力互等定理可知， 由δ11X1+Δ1P=0，求出 X1， 由 M=M1X1+ MP叠加最后弯矩图。 单元刚度矩阵是对称矩阵。 （3）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆阵。因此上， 由单元刚度 方程，如已知杆端位移可求出杆端力，且是唯一解。但如已知杆端力，则求不出杆端位移，杆端 位移可能无解，可能无唯一解。 （4）可按杆端将单元刚度方程写成分块形式： 4、特殊单元的单元刚度矩阵 忽略轴向变形时梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。 由 k11Δ1+F1P=0，求出Δ1， 由 M=M1Δ1+ MP叠加最后弯矩图。 连续梁单元的单元刚度矩阵
30kN M图 位移法求R l+/法计第+ (KN.M) 3gl/8=30M 桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵 (刘老师:下边的图都不好了) §133单元分析一一整体坐标系下 选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。但是,在一个复杂的结构中, 各单元的局部坐标系不尽相同,很不统一。为了进行整体分析,必须选一个统一的坐标系(称为整体 坐标系)。按这个统一的坐标系来建立各单元的刚度矩阵 1、单元坐标转换矩阵 (例子113)
i i 8m EI=∞ A B C D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m i i EI=∞ A B C D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m R 3ql/8=30kN R=30kN 4m 4m 30kNR 80 6 48 24 96 96 M图 (kN.M) 128 80 96 96 位移法求R 用剪力分 i 配法计算 i 8m EI=∞ A B C D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m i i 8m EI=∞ A B C D i i 8m EI=∞ i i 8m EI=∞ A B C D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m i i EI=∞ A B C D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m i i EI=∞ A B C D i i EI=∞ A B C D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m R 3ql/8=30kN R=30kN 4m 4m 30kNR 80 6 48 24 96 96 M图 (kN.M) 128 80 96 96 位移法求R 用剪力分 配法计算 桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。 （刘老师：下边的 图都不好了） §13.3 单元分析——整体坐标系下 选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。但是，在一个复杂的结构中， 各单元的局部坐标系不尽相同，很不统一。为了进行整体分析，必须选一个统一的坐标系（称为整体 坐标系)。按这个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵。 1、单元坐标转换矩阵： （例子 113）