第一章空间向量与立体几何 所以E萨-D萨-D成=号D心-(Di+D心+ 规律总结」在空间直角坐标系Oxy2中，已知点P(x, y,z),则点P关于原点的对称点的坐标为 2DD)=-2i-j-k=(-2,-1,-1D: (一x,一y,一z),关于x轴的对称点的坐标为(x, 一y,一z),关于y轴的对称点的坐标为（一x,y,一z),关 BF-D示-DB,=号DC-(Di+DC+DDi)= 于z轴的对称点的坐标为（一x,一y,z),关于Oxy平面 -2i-j-2k=(-2,-1,-2): 的对称点的坐标为(x,y,一z),关于Oyz平面的对称点 A在=A,B+B正=心-号DD,=2j-k= 的坐标为（一x,y,z),关于Ox2平面的对称点的坐标为 (x-yz） (0,2,-1) 学以致用 空间中点的对称问题 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标为（一2,1， 典例剖析 (1)求点P关于x轴的对称点的坐标： 2.已知点A(-3,1,一4)，分别写出点A关于原点、x (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标： 轴、y轴、Oxz平面及点M(1,2,3)的对称点的坐标. (3)求点P关于点M(2,一1，一4)的对称点的坐标. 解点A(一3,1，一4)关于原点的对称点的坐标为 解(1)点P关于工轴的对称点的坐标为（一2， (3,一1,4)，关于x轴的对称点的坐标为(-3，一1,4)，关于 -1,-4) y轴的对称点的坐标为(3,1,4)，关于Oxz平面的对称点的 (2)点P关于Oxy平面的对称点的坐标为（一2， 坐标为（一3，一1，一4）. 1,-4). 设点A关于点M(1,2,3)的对称点为A'(x,y,z), (3)设点P关于点M的对称点的坐标为(x,y,z), 1=3 2 {亿-2=2 x=5, 2 则2=y+1 x=6, 2 解得y=3, 则+1 =-1,解得y=一3， 34 z=10 2 z=-12 2 x十4 2 -4 故点A关于点M(1,2,3)的对称点的坐标为(5,3,10) 故点P关于点M的对称点的坐标为(6，-3，一12). 随堂训练 L.在空间直角坐标系Oxy2中，点(2,0,3)在( A.y轴上 B.Oxy平面内 Ao,22) C.Oxz平面内 D.Oyz平面内 答案C B(分0，) 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=3i,AD=2j, c(分o AA,=5k,则向量AC在基底{i,j,k}下的坐标是( A(1,1,1) (后安) n(哈》 C.(3,2,5) D.(3,2,-5) 答案B 答案C 4已知点P(1,2,-1)在Oxz平面内的射影为B(x,y,z), 解析：AC=AB+B元+CC=AB+AD+AA,=3i+ 则x十y十z= 2j+5k, 答案0 ∴向量AC在基底{ij,k}下的坐标是(3,2,5). 解析，点P(1,2,一1)在Ox2平面内的射影为 3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D1的棱AB,AD, B(1,0,-1), A41所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所 .x=1,y=0,2=-1, 示，则正方形AA,B:B的对角线的交点坐标为( .x+y十x=1+0-1=0. 12 5.点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为 ；点P关于z轴的对称点P2的坐标 为 答案(1,1，-1)(-1，一1,1) D y 21
第一章 空间向量与立体几何 所以 E→F =D→F - D→E = 1 2 D→C - D→A + D→C + 1 2 DD1 → =-2i-j-k=(-2,-1,-1); B1 →F=D→F -DB1 → = 1 2 D→C- (D→A +D→C +DD1 →)= -2i-j-2k=(-2,-1,-2); A1 →E=A1B1 → +B1 →E =D→C - 1 2 DD1 → =2j -k = (0,2,-1). 二 空间中点的对称问题 典例剖析 2.已知点A(-3,1,-4),分别写出点A 关于原点、x 轴、y轴、Oxz平面及点M(1,2,3)的对称点的坐标. 解 点 A(-3,1,-4)关于原点的对称点的坐标为 (3,-1,4),关于x 轴的对称点的坐标为(-3,-1,4),关于 y轴的对称点的坐标为(3,1,4),关于Oxz平面的对称点的 坐标为(-3,-1,-4). 设点A 关于点M(1,2,3)的对称点为A'(x,y,z), 则 1= x-3 2 , 2= y+1 2 , 3= z-4 2 , 解得 x=5, y=3, z=10. 故点A 关于点M(1,2,3)的对称点的坐标为(5,3,10). 在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(x, y,z),则 点 P 关 于 原 点 的 对 称 点 的 坐 标 为 (-x,-y,-z),关 于 x 轴 的 对 称 点 的 坐 标 为 (x, -y,-z),关于y轴的对称点的坐标为(-x,y,-z),关 于z轴的对称点的坐标为(-x,-y,z),关于Oxy 平面 的对称点的坐标为(x,y,-z),关于Oyz平面的对称点 的坐标为(-x,y,z),关于Oxz平面的对称点的坐标为 (x,-y,z). 学以致用 2.在空间直角坐标系Oxyz中,点P 的坐标为(-2,1, 4). (1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标; (2)求点P 关于Oxy平面的对称点的坐标; (3)求点P 关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标. 解 (1)点 P 关 于x 轴 的 对 称 点 的 坐 标 为 (-2, -1,-4). (2)点 P 关 于Oxy 平 面 的 对 称 点 的 坐 标 为 (-2, 1,-4). (3)设点P 关于点M 的对称点的坐标为(x,y,z), 则 x-2 2 =2, y+1 2 =-1, z+4 2 =-4, 解得 x=6, y=-3, z=-12. 故点P 关于点M 的对称点的坐标为(6,-3,-12). 随堂训练 1.在空间直角坐标系Oxyz中,点(2,0,3)在( ) A.y轴上 B.Oxy平面内 C.Oxz平面内 D.Oyz平面内 答案 C 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 A→B=3i,A→D=2j, AA1 →=5k,则向量AC1 → 在基底{i,j,k}下的坐标是( ) A.(1,1,1) B. 1 3 , 1 2 , 1 5 C.(3,2,5) D.(3,2,-5) 答案 C 解析 ∵AC1 →=A→B+B→C+CC1 →=A→B+A→D+AA1 →=3i+ 2j+5k, ∴向量AC1 → 在基底{i,j,k}下的坐标是(3,2,5). 3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB,AD, AA1 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所 示,则正方形AA1B1B 的对角线的交点坐标为( ) A.0, 1 2 , 1 2 B. 1 2 ,0, 1 2 C. 1 2 , 1 2 ,0 D. 1 2 , 1 2 , 1 2 答案 B 4.已知点P(1,2,-1)在Oxz平面内的射影为B(x,y,z), 则x+y+z= . 答案 0 解析 ∵ 点 P (1,2,-1)在 Oxz 平 面 内 的 射 影 为 B(1,0,-1), ∴x=1,y=0,z=-1, ∴x+y+z=1+0-1=0. 5.点P (1,1,1)关 于 Oxy 平 面 的 对 称 点 P1 的 坐 标 为 ;点 P 关 于z 轴 的 对 称 点 P2 的 坐 标 为 . 答案 (1,1,-1) (-1,-1,1) 21
数学 选择性必修 第一册 配人教A版 课后·训练提升 1.点P(a,b,c)到坐标平面Oxy的距离是( 6.点M(-1,一2,3)关于x轴的对称点的坐标是 A.Vab B.lal C.161 D.lcl 答案(-1,2，-3) 答案D 7.已知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a十6b十4c,其中 解析因为点P在Oxy平面内的射影为P'(a,b,0),所以 a=i十j,b=j十k,c=k十i,则向量p在空间的一个单位 PP'=Icl. 正交基底{i,j,k}下的坐标为 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(3.1,5)关于Oxz平面 答案(12,14,10) 的对称点的坐标为() 解析由题意可知，p=8(i十j)十6(j十k)十4(k十i)= A.(3,-1,5) B.(-3,-1,5) 12i+14i+10k=(12,14,10). C.(3,-1,-5) D.(-3,1,-5) 8.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(一2,4，一3)在Oxz平 答案A 面内的射影为点M1,则点M1关于原点的对称点的坐标 3.若点P(一4，一2,3)关于Oxy平面及y轴的对称点的坐 为 标分别为(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为( 答案(2,0,3) A.7 B.-7 C.-1 D.1 解析由题意知，点M1的坐标为（一2,0，一3），故点M1 答案D 关于原点的对称点的坐标为(2,0,3. 解析由题意知，点P关于Oxy平面的对称点的坐标为 9.在直三棱柱AB0-A1B,O,中，∠AOB=受，A0=4, (一4，一2，一3)，点P关于y轴的对称点的坐标为 (4,-2,-3),故c=-3,e=4,故c十e=-3十4=1. BO=2,AA1=4,D为A,B1的中点，建立适当的空间直 4.在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(1,2,5)作Oxy平 角坐标系，求D,A1B的坐标. 面的垂线，垂足为Q,则点Q的坐标为() 解如国，以耐，号，00}为单 A.(0,0,3) B.(0,2,5) 位正交基底，建立空间直角坐标系 D C.(1,0,√5) D.(1,2,0) Oryz 答案D 则0i=4i,0店=2j,001=4k,故 0- 5.在空间直角坐标系Oxyz中，点M的坐标为(4,7,6)，则 D0=-Oi=-(0O,+01D)= 点M关于y轴的对称点在Oxz平面内的射影的坐标为 ( -[0+20i+0i)1=-0元 A.(4,0,6) B.(-4,7,-6) C.(-4,0,-6) D.(-4,7,0) 2i-号诚=-2i-寸-k=(-2-1-40. 答案C AB=OB-OA=OB-(OA+00)=OB- 解析点M关于y轴的对称点是M(一4,7，一6)，点 O月-001=-4i+2j-4k=(-4,2,-4). M在Ox2平面内的射影的坐标为（一4,0，一6）， 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 素养·目标定位 目标素养 知识概览 空间向量线性运算及数量 1.掌握空间向量的线性运算及数量积运算的坐标 积运算的坐标表示 表示. 空间向量 2.借助空间向量运算的坐标表示，探索并得出空 运算的坐 空间向量共线、垂直、模 标表示 夹角的坐标表示 间两点间的距离公式. 空间两点间的距离公式 22
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 课后·训练提升 1.点P(a,b,c)到坐标平面Oxy的距离是( ) A. a2+b2 B.|a| C.|b| D.|c| 答案 D 解析 因为点P 在Oxy平面内的射影为P'(a,b,0),所以 PP'=|c|. 2.在空间直角坐标系Oxyz中,点P(3,1,5)关于Oxz平面 的对称点的坐标为( ) A.(3,-1,5) B.(-3,-1,5) C.(3,-1,-5) D.(-3,1,-5) 答案 A 3.若点P(-4,-2,3)关于Oxy 平面及y轴的对称点的坐 标分别为(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为( ) A.7 B.-7 C.-1 D.1 答案 D 解析 由题意知,点P 关于Oxy 平面的对称点的坐标为 (-4,-2,-3),点 P 关 于y 轴 的 对 称 点 的 坐 标 为 (4,-2,-3),故c=-3,e=4,故c+e=-3+4=1. 4.在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(1,2,3)作Oxy平 面的垂线,垂足为Q,则点Q 的坐标为( ) A.(0,0,3) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0) 答案 D 5.在空间直角坐标系Oxyz 中,点 M 的坐标为(4,7,6),则 点M 关于y轴的对称点在Oxz平面内的射影的坐标为 ( ) A.(4,0,6) B.(-4,7,-6) C.(-4,0,-6) D.(-4,7,0) 答案 C 解析 点M 关于y 轴的对称点是 M'(-4,7,-6),点 M'在Oxz平面内的射影的坐标为(-4,0,-6). 6.点 M (-1,-2,3)关 于 x 轴 的 对 称 点 的 坐 标 是 . 答案 (-1,2,-3) 7.已知向量p 用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p 在空间的一个单位 正交基底{i,j,k}下的坐标为 . 答案 (12,14,10) 解析 由题意可知,p=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)= 12i+14j+10k=(12,14,10). 8.在空间直角坐标系Oxyz中,点M(-2,4,-3)在Oxz平 面内的射影为点M1,则点 M1 关于原点的对称点的坐标 为 . 答案 (2,0,3) 解析 由题意知,点 M1 的坐标为(-2,0,-3),故点 M1 关于原点的对称点的坐标为(2,0,3). 9.在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB = π 2 ,AO =4, BO=2,AA1=4,D 为A1B1 的中点,建立适当的空间直 角坐标系,求D→O,A1 →B 的坐标. 解 如图,以 1 4 O→A, 1 2 O→B, 1 4 OO1 → 为单 位 正 交 基 底,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz, 则O→A=4i,O→B=2j,OO1 →=4k,故 D→O = -O→D = - (OO1 → +O1 →D )= - OO1 →+ 1 2 (O→A +O→B) = -OO1 → - 1 2 O→A- 1 2 O→B=-2i-j-4k=(-2,-1,-4), A1 →B=O→B -OA1 → =O→B - (O→A +OO1 →)=O→B - O→A-OO1 →=-4i+2j-4k=(-4,2,-4). 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.掌握空间向量的线性运算及数量积运算的坐标 表示. 2.借助空间向量运算的坐标表示,探索并得出空 间两点间的距离公式. 22
第一章空间向量与立体几何 课前·基础认知 1空间向量线性运算及数量积运算的坐标表示 微思考已知a=(a1,a2,aa),b=(b1,b2,bs),能否 设a=(a1,a2,aa),b=(b1,b2,ba),则 (1)a十b=(a1+b1,a2十b2,aa十b); 说ah=2==4?为什么2 b1b2 b3 (2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)ha=(Aa,Aa2.ha3)AER; 提示不能.只有当b1,b2,b,均不为0时，a%曰2- b (4)a·b=a1b1+a2b2十a3b3 a2=as才成立 2空间向量共线、垂直、模、夹角的坐标表示 设a=(a1,a2,aa),b=(b1,b2,b),则 3.空间两点间的距离公式 (1)当b≠0时，a/%台a=λb台a1=Ab1,a2=b2, 设P,(x1y1,z1),P2(x2,y2,2)是空间中任意两点， a3=λbg(A∈R): 则 (2)a⊥b=a·b=0=a1b1十a2b2十a3b3=0: (1)P1P2=(x2-x1y2-y122-3) (3)lal=va·a=√a+ata; (2)P1P2=|P1P2= a·b √（工2-x1)2十(y2-y1)2十(22一21）？.这就是空间两点 (④cosa,b)=1a间-√a+a+a+bi+ a1b1十a2b2十aabs 间的距离公式。 课堂 重难突破 空间向量的坐标运算 a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1 (-1),-2-4)=(2,0,-6). 典例剖析 a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)× (-1)+(-2)×4=-7. 1.已知O为原点，A,B,C,D四点的坐标分别为 (2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14 A(2,-4,1),B(3,2,0),C(-2,1,4),D(6,3,2),求满足下 (a十b)·(a-b)=(2.-2,2)·(2,0.-6)=2×2- 列条件的点P的坐标 2X0+2×(-6)=-8. (1)OP=2(AB-AC): (2)AP=3(AB-DC). 二空间向量的平行与垂直 解(1)：AB-AC=C第=(3,2,0)-(-2,1,4)= 典例剖析 (5,1,-4),∴.O2=2(5,1,-4)=(10,2,-8). 又O为原点，∴.点P的坐标为(10,2，一8). 2.已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c= (2)设P(x,y,z), (2,x,-4). 则AP=(x-2,y十4，z-1). (1)判断a,b的位置关系： AB=(1,6,-1),DC=(-8,-2,2), (2)若ae,求lcl; ∴AB-D元=(9,8，-3). (3)若a⊥(2b十c),求x的值. 又A币=3(AB-DC), 解（1)因为a=1,2,-2).h=(-2-4,4,而之2 .(x-2,y十4，z-1)=3(9,8,-3). x-2=27, x=29, 马-子所以b=-2a,即a ∴.y十4=24，解得y=20, z-1=-9, z=-8 （2周为a所以号-是-导所以=4 .点P的坐标为(29,20，一8) 所以c=(2,4,-4), 规律总结空间向量的坐标运算的规律一般是先进行 所以|c=√22+4+(-4)7=6. 数乘运算，再进行加法、减法运算，最后进行数量积运算， (3)由已知得，2b十c=(一2，x一8,4). 有括号的，先算括号里的。 因为a⊥(2b十c),所以a·(2b十c)=0, 学以致用 即-2十2(x-8)-8=0,解得x=13. 规律总结」已知向量平行或垂直，求参数的值时，先利 1.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求：a+b, 用向量坐标满足的条件得到关于参数的方程（组），再解 a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b) 方程（组）求出参数的值 解a十b=(2,-1,-2)十(0，-1,4)=(2十0，-1十 (-1).-2+4)=(2,-2,2) 23
第一章 空间向量与立体几何 课前·基础认知 1.空间向量线性运算及数量积运算的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2)a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)λa= (λa1,λa2,λa3),λ∈R; (4)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 . 2.空间向量共线、垂直、模、夹角的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔ a1=λb1 ,a2=λb2 , a3=λb3 (λ∈R); (2)a⊥b⇔a·b=0⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0 ; (3)|a|= a·a= a 2 1+a 2 2+a 2 3 ; (4)cos<a,b>= a·b |a||b| = a1b1+a2b2+a3b3 a 2 1+a 2 2+a 2 3 b 2 1+b 2 2+b 2 3 . 微思考 已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),能否 说a∥b⇔ a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 ? 为什么? 提示 不能.只有当b1,b2,b3 均不为0时,a∥b⇔ a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 才成立. 3.空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点, 则 (1)P1P2 →= (x2-x1,y2-y1,z2-z1). (2)P1P2=|P1P2 →|= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 .这就是空间两点 间的距离公式. 课堂·重难突破 一 空间向量的坐标运算 典例剖析 1.已 知 O 为 原 点,A,B,C,D 四 点 的 坐 标 分 别 为 A(2,-4,1),B(3,2,0),C(-2,1,4),D(6,3,2),求满足下 列条件的点P 的坐标. (1)O→P=2(A→B-A→C); (2)A→P=3(A→B-D→C). 解 (1)∵A→B-A→C=C→B=(3,2,0)-(-2,1,4)= (5,1,-4),∴O→P=2(5,1,-4)=(10,2,-8). 又O 为原点,∴点P 的坐标为(10,2,-8). (2)设P(x,y,z), 则A→P=(x-2,y+4,z-1). ∵A→B=(1,6,-1),D→C=(-8,-2,2), ∴A→B-D→C=(9,8,-3). 又A→P=3(A→B-DC) →, ∴(x-2,y+4,z-1)=3(9,8,-3). ∴ x-2=27, y+4=24, z-1=-9, 解得 x=29, y=20, z=-8. ∴点P 的坐标为(29,20,-8). 空间向量的坐标运算的规律一般是先进行 数乘运算,再进行加法、减法运算,最后进行数量积运算, 有括号的,先算括号里的. 学以致用 1.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求:a+b, a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b). 解a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1+ (-1),-2+4)=(2,-2,2). a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1- (-1),-2-4)=(2,0,-6). a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)× (-1)+(-2)×4=-7. (2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14. (a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2- 2×0+2×(-6)=-8. 二 空间向量的平行与垂直 典例剖析 2.已知向量a= (1,2,-2),b= (-2,-4,4),c= (2,x,-4). (1)判断a,b的位置关系; (2)若a∥c,求|c|; (3)若a⊥(2b+c),求x 的值. 解 (1)因为a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),而 1 -2 = 2 -4 = -2 4 ,所以b=-2a,即a∥b. (2)因为a∥c,所以 1 2 = 2 x = -2 -4 ,所以x=4. 所以c=(2,4,-4), 所以|c|= 22+42+(-4)2 =6. (3)由已知得,2b+c=(-2,x-8,4). 因为a⊥(2b+c),所以a·(2b+c)=0, 即-2+2(x-8)-8=0,解得x=13. 已知向量平行或垂直,求参数的值时,先利 用向量坐标满足的条件得到关于参数的方程(组),再解 方程(组)求出参数的值. 23
数学 选择性必修 第一册 配人教A版 学以致用 故EF与CG所成角的余弦值为 15 2.(1)已知a=(十1,1,2)，b=(6,4-1,2x),若a%, 则入与：的值分别是 @cE=V6+-+(-5 (2)若m=(2,一1,1)，n=(入，5,1)，且m⊥(m一n),则 规律总结」运用空间向量的坐标运算解决立体几何问 入= 题的一般步骤： 答案(12，号或-3.-2 (2)5 (1)建系：根据题目中的几何图形建立适当的空间直 角坐标系 解折(1喉题意入吉=一一员解得入=2= 2 (2)求坐标：①求出相关点的坐标：②写出向量的 坐标」 或=-3=- (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算 (2)由已知得，m一n=(2-入，一6,0). (4)转化：转化为几何结论. 因为m⊥(m一n),所以m·(m一n)=0, 学以致用 即2(2一λ)十6+0=0，解得λ=5. 3.如图，在直三棱柱ABC-A1BC 利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离 中，CA=CB=1,∠BCA=90°，AA1= 问题 2,M,N分别为A1B1,A1A的中点. (1)求BN的长： 典例剖析 (2)求A:B与BC所成角的余 3.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD1中，E,F,G 弦值： 分别是DD1,BD,BB1的中点. (3)求证：BN⊥平面C1MN. (1)求证：EF⊥CF; 解如图，建立空间直角坐标系 (2)求EF与CG所成角的余弦值： Cxyz,则B(0,1,0),N(1,0,1), (3)求CE的长 A(1,0,2),B1(0,1,2),C(0,0,0). 解如图，以D为原点，建立空间 D Co0.2M(272 直角坐标系D,则E(0,0,): (1)B=(1,-1,1) co1.o(号2o）.c(1.1,号) ∴|B1=√+(-1)2+1平=3 故BN的长为√. 故成=（分号-）示= (2)BA=(1,-1,2),CB1=(0, 1,2), (2-20).=(1.0,).=(0,-1,） ∴BA1·CB1=1X0+(-1)X1+2X2=3,|BA1= )运明：成.亦=×2+之×(-)十 6.ICB=/5 ∴cos(BA1,CB1)= BACB 30 (-2)×0=0, BAICBI 10 EF⊥CF,即EF⊥CF 故A1B与B,C所成角的余弦值为 10 (2:萨.=2×1+×0+（←号）×号=号 3)证明：Ci=(分，0）CN=(10,-1. =√)+(》+(-=，11= BN=(1,-1,1) +o+- C·Bm=2×1+2×(-1D+0x1=0.C· B=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0. ∴.CMLB,CN⊥B, ∴cos(E萨，d= E萨.C元 15 即BN⊥CM,BN⊥CN. E1G5×55 又CM∩CN=C1,.BW⊥平面CMN. 24
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 学以致用 2.(1)已知a=(λ+1,1,2),b=(6,4μ-1,2λ),若a∥b, 则λ与μ的值分别是 . (2)若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),则 λ= . 答案 (1)2, 3 4 或-3,- 1 2 (2)5 解析 (1)依题意, λ+1 6 = 1 4μ-1 = 2 2λ ,解得λ=2,μ= 3 4 ,或λ=-3,μ=- 1 2 . (2)由已知得,m-n=(2-λ,-6,0). 因为m⊥(m-n),所以m·(m-n)=0, 即2(2-λ)+6+0=0,解得λ=5. 三 利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离 问题 典例剖析 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是DD1,BD,BB1 的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求EF 与CG 所成角的余弦值; (3)求CE 的长. 解 如图,以D 为原点,建立空间 直角坐标系 Dxyz,则 E 0,0, 1 2 , C(0,1,0),F 1 2 , 1 2 ,0 ,G 1,1, 1 2 . 故E→F= 1 2 , 1 2 ,- 1 2 ,C→F= 1 2 ,- 1 2 ,0 ,C→G= 1,0, 1 2 ,C→E= 0,-1, 1 2 . (1)证 明:∵E→F ·C→F = 1 2 × 1 2 + 1 2 × - 1 2 + - 1 2 ×0=0, ∴E→F⊥C→F,即EF⊥CF. (2)∵E→F·C→G= 1 2 ×1+ 1 2 ×0+ - 1 2 × 1 2 = 1 4 , |E→F|= 1 2 2 + 1 2 2 + - 1 2 2 = 3 2 ,|C→G | = 12+02+ 1 2 2 = 5 2 , ∴cos<E→F,C→G>= E→F·C→G |E→F||C→G| = 1 4 3 2 × 5 2 = 15 15 . 故EF 与CG 所成角的余弦值为 15 15 . (3)CE=|C→E|= 02+(-1)2+ 1 2 2 = 5 2 . 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问 题的一般步骤: (1)建系:根据题目中的几何图形建立适当的空间直 角坐标系. (2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的 坐标. (3)论证、计算:结合公式进行论证、计算. (4)转化:转化为几何结论. 学以致用 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1= 2,M,N 分别为A1B1,A1A 的中点. (1)求BN 的长; (2)求 A1B 与 B1C 所 成 角 的 余 弦值; (3)求证:BN⊥平面C1MN. 解 如 图,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 Cxyz,则 B (0,1,0),N(1,0,1), A1(1,0,2),B1 (0,1,2),C(0,0,0), C1(0,0,2),M 1 2 , 1 2 ,2 . (1)∵B→N=(1,-1,1), ∴|B→N|= 12+(-1)2+12 = 3. 故BN 的长为 3. (2)∵BA1 →=(1,-1,2),CB1 →=(0, 1,2), ∴BA1 →·CB1 →=1×0+(-1)×1+2×2=3,|BA1 →|= 6,|CB1 →|= 5. ∴cos<BA1 →,CB1 →>= BA1 →·CB1 → |BA1 →||CB1 →| = 30 10 . 故A1B 与B1C 所成角的余弦值为 30 10 . (3)证明:∵C1 →M = 1 2 , 1 2 ,0 ,C1 →N =(1,0,-1), B→N=(1,-1,1), ∴C1 →M·B→N= 1 2 ×1+ 1 2 ×(-1)+0×1=0,C1 →N· B→N=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0. ∴C1 →M⊥B→N,C1 →N⊥B→N, 即BN⊥C1M,BN⊥C1N. 又C1M∩C1N=C1,∴BN⊥平面C1MN. 24
第一章空间向量与立体几何 随堂训练 1.已知a=(2,一3,1)，则下列向量中与a平行的是( 由AB.AC>0,得角A为锐角. A.(1,1,1) B.(-4.6,-2) 同理，角B与角C为锐角 C.(2.-3.5) D.(-2,-3,5) 故△ABC为锐角三角形. 答案B 4.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),若ka一b与b垂 2.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),0为原点，若OM=AB 直，则实数k的值为 则点B的坐标为( 答案7 A(-1,3,-3) B.(9,1,1) 解析由已知得，ka一b=(一k一1，-2，k一3). C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1) 因为ka-b与b垂直，所以(ka-b)·b=-k- 答案B 1-4十3(k-3)=0,解得k=7. 解析OM=A=O店-OA,.O=OMi+OA=(9,1, 5.已知A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AB与 1)..点B的坐标为(9,1,1). AC的夹角的余弦值为 3.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,一2,1)，B(4, 2,3),C(6,-1,4),则△ABC是() 答案、4厘 41 A.锐角三角形 B.直角三角形 解析，AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0), C.钝角三角形 D.等边三角形 AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), 答案A ∴.cos(AB,AC) 解析由已知得，A=(3,4,2)AC=(5,1,3),BC 0-20+0 (2,-3,1),则A1≠1AC1≠1B武1. √42+(-5)7X√2+(-3)2 41 课后 ·训练提升 基础·巩固 4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥2a-b) 则( ) 1.已知a+b=(2,2,25),a-b=(0,√2,0)，则cos(a, 1 b)=( A.I= 3y=1 B:= 2y=-4 A号 C.x=2y=-4 1 D.x=1,y=-1 答案C 答案B 解析由已知得，a=(1,2,5),b=(1,0,5),故cos(a, 解析由题意知，a十2b=(2x十1,4,4-y),2a-b= a·b_1十0+3_6 (2-x,3,-2y-2) b)=Tallbl /6x2 3 (a+2b)∥2a-b). 2.若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则( ) ∴.存在实数入，使a十2b=入(2a-b), 1 A.cos(a,b)= B.a⊥b 2x十1=λ(2-x), C.a//b D.lal= ,.4=3, 解得 1 答案D 4-y=λ(-2y-2), x=2 y=-4. 解析a=(1,2,0),b=(-2,0,1), 5.在空间直角坐标系中，已知点A(1,一2,11)，B(4,2,3), ∴.lal=5,lb|=5,a·b=1×(-2)+2×0+0× C(6,一1,4)，则△ABC是() a·b 2 1=-2,cosa.b>=1aib=-5 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 易知A,B,C均不正确，D正确」 3.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则 答案C Ia-b+2c1=() 解析A=(3,4,-8),AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1), A.3√0 B.2√10 C.√o D.5 ∴.1AB|=√32+42+(-8)2=√89,1AC|= 答案A √+1+(-7)=75，|BC|=√2+(-3)2+T= 解析由已知得，a-b十2c=(9,3,0),故|a-b十2c= 14. 310. AC1+BC12=A12, 25
第一章 空间向量与立体几何 随堂训练 1.已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是( ) A.(1,1,1) B.(-4,6,-2) C.(2,-3,5) D.(-2,-3,5) 答案 B 2.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O 为原点,若O→M=A→B, 则点B 的坐标为( ) A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1) 答案 B 解析 ∵O→M=A→B=O→B-O→A,∴O→B=O→M+O→A=(9,1, 1).∴点B 的坐标为(9,1,1). 3.若△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1,-2,1),B(4, 2,3),C(6,-1,4),则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 答案 A 解析 由已知得,A→B=(3,4,2),A→C=(5,1,3),B→C= (2,-3,1),则|A→B|≠|A→C|≠|B→C|. 由A→B·A→C>0,得角A 为锐角. 同理,角B 与角C 为锐角. 故△ABC 为锐角三角形. 4.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),若ka-b 与b 垂 直,则实数k的值为 . 答案 7 解析 由已知得,ka-b=(-k-1,-2,k-3). 因为ka-b 与b 垂直,所以(ka-b)·b=-k- 1-4+3(k-3)=0,解得k=7. 5.已知A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则A→B 与 A→C 的夹角的余弦值为 . 答案 - 4 41 41 解析 ∵A→B=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0), A→C=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos<A→B,A→C> = 0-20+0 42+(-5)2 × 42+(-3)2 =- 4 41 41 . 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知a+b=(2,2,2 3),a-b=(0,2,0),则cos<a, b>=( ) A. 1 3 B. 1 6 C. 6 3 D. 6 6 答案 C 解析 由已知得,a=(1,2,3),b=(1,0,3),故cos<a, b>= a·b |a||b| = 1+0+3 6×2 = 6 3 . 2.若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则( ) A.cos<a,b>= 1 2 B.a⊥b C.a∥b D.|a|=|b| 答案 D 解析 ∵a=(1,2,0),b=(-2,0,1), ∴|a|= 5,|b|= 5,a·b=1×(-2)+2×0+0× 1=-2,cos<a,b>= a·b |a||b| =- 2 5 . 易知 A,B,C均不正确,D正确. 3.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则 |a-b+2c|=( ) A.3 10 B.2 10 C. 10 D.5 答案 A 解析 由已知得,a-b+2c=(9,3,0),故|a-b+2c|= 3 10. 4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b), 则( ) A.x= 1 3 ,y=1 B.x= 1 2 ,y=-4 C.x=2,y=- 1 4 D.x=1,y=-1 答案 B 解析 由题意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b= (2-x,3,-2y-2). ∵(a+2b)∥(2a-b), ∴存在实数λ,使a+2b=λ(2a-b), ∴ 2x+1=λ(2-x), 4=3λ, 4-y=λ(-2y-2), 解得 λ= 4 3 , x= 1 2 , y=-4. 5.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3), C(6,-1,4),则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 ∵A→B=(3,4,-8),A→C=(5,1,-7),B→C=(2,-3,1), ∴|A→B|= 32+42+(-8)2 = 89,|A→C|= 52+12+(-7)2 = 75,|B→C|= 22+(-3)2+1= 14, ∴|A→C|2+|B→C|2=|A→B|2, 25