数学选择性必修第一册 配人教A版 成.ò=（←6）（←+0-）= 1 2a2+ 1 1 .b-a.c+qa.c-4b.c+2e=0. 2a…b- 2b+bc+ac-be+2c2=0 .PA⊥B1O,PC⊥BO. 又PA∩PC=P, P元·B0=a-2)·(-2+2b-) .BO⊥平面PAC 随堂训练 1.在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，点A处的三条棱长4.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底，a=e1十e2十e,b= 都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角 e1十e2-ea,c=e1-e2十ea,d=e1十2e2十3ea,若d=aa十 线AC,的长为() 0+ac,则a,B,A的值分别为 A.5 B.2 C.5 D.6 答案D 答案名-1宁 解析：AC=AB+AD+AAi, 解析由题意可知，d=a(e1十e十es)十B(e1十e2-ea)十 .AC=AC=(AB+AD+AA)*=ABI+ a(e1-e2十ea)=(a十B+入)e1十(a十B-a)e2十(a-B+ AD+AA+2AB.AD+2AB.AA+2AD. λ)e3=e1+十2e2+3e3, AA1=1+1+1+2(cos60°+cos60°+c0s60)=6, 1a十B+λ=1， = ∴ACI=6. 所以a十B-入=2，解得B=一1， 故AC1的长为 a-B十λ=3， 1 2.在空间四边形OABC中，OB=OC,∠AOB=∠AOC= a=-2 5.如图，已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，G 行则cosO,d)的值为( 为△PDC的重心，设AB=i,AD=j,AP=k,试用基底 {i,j,k}表示向量P心，BC A日 号 C- D.0 答案D 解析因为Oi·B心=Oi·(O元-O)=Oi.O元 OA·OB=1OA11O元1cos∠AOC-1OA|IOB1· cos∠A0B,且∠A0C=∠A0B=,1O1=O元1，所以 解如图，延长PG交CD于点N,则N为CD的中点， OA·BC=0,所以OA⊥BC,所以cos(OA,BC)=0. 3.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足AB·AC= 0,AC·AD=0,AB·AD=0,则△BCD是( A钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 答案B 所以元=号风=号×武+币)=号可+ 解析如图，设AB=a,A心=b. 应+市+市-)=号+号市-号市=计 AD=c, 则C第·Ci=(a-b)·(c -. b)=a·c-b·c-a·b+b2=b2>0. 同理B成.B>0,Di.D元0. 成=元-成=成-(-)=+子 故∠CBD,∠BCD,∠BDC均 2 2 为锐角，即△BCD为锐角三角形. 号数--=号+号+ 课后·训练提升 基础·巩固 B.必要不充分条件 C.充要条件 1.已知p:a,b,c是三个非零向量：q:{a,b,c}为空间的一个 D.既不充分也不必要条件 基底，则p是q的( 答案B A.充分不必要条件 16
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 ∴P→A ·B1 →O = -b- 1 2 c · - 1 2 a+ 1 2 b-c = 1 2 a·b- 1 2 b2+b·c+ 1 4 a·c- 1 4 b·c+ 1 2 c2=0, P→C · B1 →O = a- 1 2 c · - 1 2 a+ 1 2 b-c = - 1 2 a2+ 1 2 a·b-a·c+ 1 4 a·c- 1 4 b·c+ 1 2 c2=0. ∴PA⊥B1O,PC⊥B1O. 又PA∩PC=P, ∴B1O⊥平面PAC. 随堂训练 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,点A 处的三条棱长 都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角 线AC1 的长为( ) A.3 B.2 C.5 D.6 答案 D 解析 ∵AC1 →=A→B+A→D+AA1 →, ∴|AC1 →|2=AC1 →2=(A→B+A→D+AA1 →)2=|A→B|2+ |A→D|2+|AA1 →|2+2A→B·A→D+2A→B·AA1 →+2A→D· AA1 →=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6, ∴|AC1 →|= 6. 故AC1 的长为 6. 2.在空间四边形OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC= π 3 ,则cos<O→A,B→C>的值为( ) A. 1 2 B. 2 2 C.- 1 2 D.0 答案 D 解析 因为O→A·B→C=O→A·(O→C-O→B)=O→A·O→CO→A·O→B =|O→A||O→C|cos∠AOC -|O→A||O→B|· cos∠AOB,且∠AOC=∠AOB= π 3 ,|O→B|=|O→C|,所以 O→A·B→C=0,所以O→A⊥B→C,所以cos<O→A,B→C>=0. 3.设A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足A→B·A→C= 0,A→C·A→D=0,A→B·A→D=0,则△BCD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 答案 B 解析 如 图,设 A→B =a,A→C =b, A→D=c, 则C→B·C→D =(a-b)·(cb)=a·c-b·c-a·b+b2=b2>0. 同理B→C·B→D>0,D→B·D→C>0. 故 ∠CBD,∠BCD,∠BDC 均 为锐角,即△BCD 为锐角三角形. 4.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,a=e1+e2+e3,b= e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=αa+ βb+λc,则α,β,λ的值分别为 . 答案 5 2 ,-1,- 1 2 解析 由题意可知,d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+ λ(e1-e2+e3)=(α+β+λ)e1+(α+β-λ)e2+(α-β+ λ)e3=e1+2e2+3e3, 所以 α+β+λ=1, α+β-λ=2, α-β+λ=3, 解得 α= 5 2 , β=-1, λ=- 1 2 . 5.如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,G 为△PDC 的重心,设A→B=i,A→D=j,A→P=k,试用基底 {i,j,k}表示向量P→G,B→G. 解 如图,延长PG 交CD 于点N,则N 为CD 的中点, 所以P→G= 2 3 P→N= 2 3 × 1 2 (P→C+P→D)= 1 3 (P→A+ A→B+A→D+A→D-A→P)= 1 3 A→B+ 2 3 A→D- 2 3 A→P= 1 3 i+ 2 3 j- 2 3 k, B→G=P→G-P→B=P→G-(A→B-A→P)= 1 3 i+ 2 3 j- 2 3 k-(i-k)=- 2 3 i+ 2 3 j+ 1 3 k. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个 基底,则p 是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 16
第一章 空间向量与立体几何 解析当非零向量a,b,c不共面时，{a,b,c}可以作为 C.OM=Oi+Oi+O元 空间的一个基底，否则不能作为空间的一个基底，当 D.Mi=2Mi-M花 {a,b,c}为室间的一个基底时，一定有a,b,c为非零向 答案ABD 量.故选B 解析对于选项A,由结论OM=xOA+yO+O元(x十 2.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点，且向量a= y十z=1)M,A,B,C四点共面知，A符合；对于选项B, OA+O店+O心，向量b=Oi+Oi-O心，则与a,b不能 D,易知M,M店，M心共面，且有公共起点M,所以M, 构成空间的一个基底的向量是( A,B,C四点共面，故B,D符合；对于选项C,M,A,B,C A.OA B.OB 四点不共面 c.0元 D.OA或OB 7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a一b十c,n=xa十 答案C b十2c,若m与n共线，则x= y= 解析0心=0-之0，且a,6不共线， 1 答案2-2 a,b,O心共面， 解析因为m与n共线，所以存在实数入，使m=n,即 ∴O心与a,b不能构成室间的一个基底. a-b十c=λxa十λyb十2λc, 3.已知{a,b,c}为空间的一个基底，且存在实数x,y,z使得 1 xa十yb十c=0,则x,y,z的值分别为( 1=λx, 2 A.0.0,1 B.0.0.0 于是有-1=λy,解得 x=2, C.1.0.1 D.0,1,0 1=2λ， y=-2. 答案B 8.已知a,b是异面直线，A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥ 解析若x,y,z中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则 b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是 一c,故a,b,c共面，这与{a,b,c}是空间的- a=-b- 答案60 解析由题意可知，Ci.AC=0,CD.DB=0. 个基底矛盾，故x=y=z=0. .AB=AC+CD+DB. 4.在空间四边形OABC中，Oi=a,O=b,O元=c,点M ∴Ci.AB=Ci·(AC+C市+Di)=|Ci1?=1 在OA上，且OM=2Mi,N为BC中点，以{a,b,c}为空 间的一个基底，则M示为( osC市，Ai)=Ci·A店1 1C1IAB面2 1 .(Ci,AB)=60 故异面直线a,b所成的角是60° c+b-导： 1 2 D.3a+ 2 1 3b-2c 9.如图，在正方体OABC-O'A'B'C 答案B 中，设Oi=a,0元=b,0O=c. (1)用a,b,c表示向量OB,AC: 解析由题意可知，M=O示-OM=号(O+O心)- (2)设G,H分别是侧面BB'C'C和 号a=-局a+b+c OAB'C'的中心，用a,b,c表示 GH. 5.已知正三棱柱ABC-A1BC1:的各棱长都为2，E,F分别 解(1)OB=Oi+BB=Oi+O元+0d=a+b+c. 为AB,AC1的中点，则EF的长为( AC"=AC+CC"=-OA+OC+00=-a+b+c A.2 B.3 C.5 D.7 (2)由题意可知，G丽=0i-0元=号(0d+ 答案C 解析由题意可知，EF=E十AA+A市，且EA1= 0丽)-2+0丽)-0-2元=2-b, |A1F1=1,1AA11=2,EA·AA1=0,AA1·A1F=0, 10.如图，在直三棱柱ABC-A'BC'中， B (E,AF)=120°，所以1E乎12=EF2=(EA+A4,+ AC=BC=AA',∠ACB=90°，D,E AF)2=|E12+1AA112+|A1F12+2(E·AA1+ 分别为AB,BB的中点. AA·A1F+E·A1F)=1+4十1-1=5，所以E1= (1)求证：CE⊥AD: 5.故EF的长为5. (2)求异面直线CE与AC'所成角的 6.(多选题)若向量M,M店，M心的起点M和终点A,B,C 余弦值。 互不重合，且其中任意三点不共线，则由下列四个式子能 (1)证明设C才=a,C克=b,CC=c,则{a,b,c}构成室 得出M,A,B,C四点共面的是( 间的一个基底 A0成i=成++ 根据题意，la|=|b|=|cl,且a·b=b·c=c· a=0. B.MA=MB+MC 17
第一章 空间向量与立体几何 解析 当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以作为 空间的一个基底,否则不能作为空间的一个基底.当 {a,b,c}为空间的一个基底时,一定有a,b,c为非零向 量.故选B. 2.已知点 O,A,B,C 为空间不共面的四点,且向量a= O→A+O→B+O→C,向量b=O→A+O→B-O→C,则与a,b 不能 构成空间的一个基底的向量是( ) A.O→A B.O→B C.O→C D.O→A 或O→B 答案 C 解析 ∵O→C= 1 2 a- 1 2 b,且a,b不共线, ∴a,b,O→C 共面, ∴O→C 与a,b不能构成空间的一个基底. 3.已知{a,b,c}为空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得 xa+yb+zc=0,则x,y,z的值分别为( ) A.0,0,1 B.0,0,0 C.1,0,1 D.0,1,0 答案 B 解析 若x,y,z 中至少有一个不为0,不妨设x≠0,则 a=- y x b- z x c,故a,b,c共面,这与{a,b,c}是空间的一 个基底矛盾,故x=y=z=0. 4.在空间四边形OABC 中,O→A=a,O→B=b,O→C=c,点 M 在OA 上,且O→M=2M→A,N 为BC 中点,以{a,b,c}为空 间的一个基底,则M→N 为( ) A. 1 2 a- 2 3 b+ 1 2 c B.- 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c C. 1 2 a+ 1 2 b- 2 3 c D. 2 3 a+ 2 3 b- 1 2 c 答案 B 解析 由题意可知,M→N =O→N -O→M = 1 2 (O→B+O→C)- 2 3 O→A=- 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c. 5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1 的各棱长都为2,E,F 分别 为AB,A1C1 的中点,则EF 的长为( ) A.2 B.3 C.5 D.7 答案 C 解析 由题意可知,E→F=E→A+AA1 →+A1 →F,且|E→A|= |A1 →F|=1,|AA1 →|=2,E→A·AA1 →=0,AA1 →·A1 →F=0, <E→A,A1 →F>=120°,所以|E→F|2=E→F2=(E→A+AA1 →+ A1 →F)2=|E→A|2+|AA1 →|2+|A1 →F|2+2(E→A·AA1 →+ AA1 →·A1 →F+E→A·A1 →F)=1+4+1-1=5,所以|E→F|= 5.故EF 的长为 5. 6.(多选题)若向量M→A,M→B,M→C 的起点M 和终点A,B,C 互不重合,且其中任意三点不共线,则由下列四个式子能 得出M,A,B,C 四点共面的是( ) A.O→M= 1 3 O→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C B.M→A=M→B+M→C C.O→M=O→A+O→B+O→C D.M→A=2M→B-M→C 答案 ABD 解析 对于选项 A,由结论O→M=xO→A+yO→B+zO→C(x+ y+z=1)⇔M,A,B,C 四点共面知,A符合;对于选项B, D,易知 M→A,M→B,M→C 共面,且有公共起点M,所以 M, A,B,C 四点共面,故B,D符合;对于选项C,M,A,B,C 四点不共面. 7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+ yb+2c,若 m 与 n 共 线,则 x = ,y = . 答案 2 -2 解析 因为m 与n 共线,所以存在实数λ,使m=λn,即 a-b+c=λxa+λyb+2λc, 于是有 1=λx, -1=λy, 1=2λ, 解得 λ= 1 2 , x=2, y=-2. 8.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥ b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是 . 答案 60° 解析 由题意可知,C→D·A→C=0,C→D·D→B=0. ∵A→B=A→C+C→D+D→B, ∴C→D·A→B=C→D·(A→C+C→D+D→B)=|C→D|2=1, ∴cos<C→D,A→B>= C→D·A→B |C→D||A→B| = 1 2 , ∴<C→D,A→B>=60°. 故异面直线a,b所成的角是60°. 9.如图,在正方体 OABC-O'A'B'C' 中,设O→A=a,O→C=b,OO→'=c. (1)用a,b,c表示向量OB→',AC→'; (2)设G,H 分别是侧面BB'C'C 和 O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示 G→H. 解 (1)OB→'=O→B+BB→'=O→A+O→C+OO→'=a+b+c. AC→'=A→C+CC→'=-O→A+O→C+OO→'=-a+b+c. (2)由 题 意 可 知,G→H =O→H -O→G = 1 2 (OO→'+ OB→')- 1 2 (O→C+OB→')= 1 2 OO→'- 1 2 O→C= 1 2 c- 1 2 b. 10.如图,在直三棱柱 ABC-A'B'C'中, AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E 分别为AB,BB'的中点. (1)求证:CE⊥A'D; (2)求异面直线CE 与AC'所成角的 余弦值. (1)证明 设C→A=a,C→B=b,CC→'=c,则{a,b,c}构成空 间的一个基底. 根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c· a=0. 17
数学 选择性必修第一册 配人教A版 :i=b+2c.a市=-c+2b-2a. B.垂直 C.平行 正防=+2=0 D.无法确定 :C庞⊥Ai 答案B 解析由题意可知，AC=A店+AD十AA,C正= ∴CE⊥A'D. (2)解d=-a+e.定=b+2c.Ad1=厄1al, AA,-号A店-2A市，1A1=1A1=1AA1,A店1 1=51al. 市店14，市⊥4，则AC=-号1店- ad.i=(-a+e)…(b+2c)=c2=号la, 2ò+P=0,故AG1成.故AC,与CE垂直 4.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC(PA,PB,PC 不在同一平面内)，在PA,PB,PC上分别取P=a, ∴cos(AC,Ci)= /10 …9ar 10 P=b,P5=c,点G在PQ上，且PG=2GQ,H为RS 的中点，以{a,b,c}为空间的一个基底，则Gi= 故异面直线CE与AC'所成角的余弦值为 √/10 10 答案-号a+6+宁 拓展·提高 解析丽=所-心=之（成+内）-子成 1.(多选题)下列说法不正确的是(） 号a+b+ 2 A.la-lbl=la十b|是a,b共线的充要条件 B.若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a十b,b十c,c十a}构 5.如图，在正方体ABCD-AB,CD1中，用AC,AB1,AD 成空间的另一个基底 作为基向量，则AC= C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若O币= 2OA-2OB-OC,则P,A,B,C四点共面 0 D.l(a·b)·cl=lallbllel 答案ACD 解析对于A,|a1一Ib|=|a十b1,两边平方，得 一la|b|=a·b,因此a与b的夹角为元，故是充分不必 要条件，故不正确：对于B,由基底的定义知正确：对于C, 2一2一1≠1，由向量共面的充要条件知，不正确：对于D, 答案AD+A正+AC) 由向量的数量积的性质知，不正确. 2.在四面体OABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的 解析2AC=2A41+2AD+2AB=(A4+AD)+ 一点，且OG=3GG1,若O店=xOA+yO店+O心，则(x (AA+AB)+(AD+AB)=AD,+AB+AC. y,z)为() 所以aC-2D+a正+a. A(层) B() 6.如图，已知正三棱柱ABC-A,B,C1的各条棱长度相等，M 是侧棱CC,的中点，则异面直线AB,和BM所成角的大 c(层》 n(层号) 小是 答案A B 解析知图，由已知得O心=0G。 图为G1是△ABC的重心，所 以0c=号i+号i+号元 所以花=O耐+成+}花，从而x=y 答案90° 解析设棱长为2，则AB1=BB,一-BA,B成= 1 z=4 武+那 3.在正方体ABCD-AB1C1D1中，E是上底面A1B1CD1 的中心，则直线AC:与CE的位置关系是() AB,·BM=(BB-B)·(EC+号BB)= A.相交但不垂直 0-2+2-0=0, 18
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 ∵C→E=b+ 1 2 c,A'→D=-c+ 1 2 b- 1 2 a, ∴C→E·A'→D=- 1 2 c2+ 1 2 b2=0. ∴C→E⊥A'→D. ∴CE⊥A'D. (2)解 AC→'=-a+c,C→E=b+ 1 2 c,|AC→'|= 2|a|, |C→E|= 5 2 |a|, ∴AC→'·C→E=(-a+c)· b+ 1 2 c = 1 2 c2= 1 2 |a|2, ∴cos<AC→',C→E>= 1 2 |a|2 2· 5 2 |a|2 = 10 10 . 故异面直线CE 与AC'所成角的余弦值为 10 10 . 拓展 提高 1.(多选题)下列说法不正确的是( ) A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件 B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构 成空间的另一个基底 C.对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若O→P= 2O→A-2O→B-O→C,则P,A,B,C 四点共面 D.|(a·b)·c|=|a||b||c| 答案 ACD 解析 对于 A,|a|-|b|=|a+b|,两 边 平 方,得 -|a||b|=a·b,因此a 与b的夹角为π,故是充分不必 要条件,故不正确;对于B,由基底的定义知正确;对于C, 2-2-1≠1,由向量共面的充要条件知,不正确;对于 D, 由向量的数量积的性质知,不正确. 2.在四面体OABC 中,G1 是△ABC 的重心,G 是OG1 上的 一点,且OG=3GG1,若O→G=xO→A+yO→B+zO→C,则(x, y,z)为( ) A. 1 4 , 1 4 , 1 4 B. 3 4 , 3 4 , 3 4 C. 1 3 , 1 3 , 1 3 D. 2 3 , 2 3 , 2 3 答案 A 解析 如图,由已知得O→G= 3 4 OG1 →. 因为G1 是△ABC 的重心,所 以OG1 →= 1 3 O→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C. 所以O→G= 1 4 O→A + 1 4 O→B+ 1 4 O→C,从而x=y= z= 1 4 . 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 是上底面A1B1C1D1 的中心,则直线AC1 与CE 的位置关系是( ) A.相交但不垂直 B.垂直 C.平行 D.无法确定 答案 B 解析 由 题 意 可 知,AC1 → =A→B +A→D +AA1 →,C→E = AA1 →- 1 2 A→B- 1 2 A→D,|A→B|=|A→D|=|AA1 →|,A→B⊥ A→D,A→B⊥AA1 →,A→D⊥AA1 →,则AC1 →·C→E=- 1 2 |A→B|2- 1 2 |A→D|2+|AA1 →|2=0,故AC1 →⊥C→E.故AC1 与CE 垂直. 4.从空间一点P 引出三条射线PA,PB,PC(PA,PB,PC 不在同一平面内),在 PA,PB,PC 上分别取P→Q=a, P→R=b,P→S=c,点G 在PQ 上,且PG=2GQ,H 为RS 的中 点,以 {a,b,c}为 空 间 的 一 个 基 底,则 G→H = . 答案 - 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c 解析 G→H =P→H -P→G = 1 2 (P→R +P→S)- 2 3 P→Q = - 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c. 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,用A→C,AB1 →,AD1 → 作为基向量,则AC1 →= . 答案 1 2 (AD1 →+AB1 →+A→C) 解析 2AC1 → =2AA1 → +2A→D +2A→B = (AA1 → +A→D)+ (AA1 →+A→B)+(A→D+A→B)=AD1 →+AB1 →+A→C, 所以AC1 →= 1 2 (AD1 →+AB1 →+A→C). 6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1 的各条棱长度相等,M 是侧棱CC1 的中点,则异面直线AB1 和BM 所成角的大 小是 . 答案 90° 解析 设 棱 长 为 2,则 A→B1 = BB1 → - B→A,B→M= B→C+ 1 2 BB1 →. ∵AB1 → ·B→M = (BB1 → -B→A)· B→C+ 1 2 BB1 → = 0-2+2-0=0, 18
第一章空间向量与立体几何 .AB1⊥BM AB1⊥BM.故AB1与BM所成角的大小为90° 币=号(a+b+e).a0=0-i=名0+e 7.如图，在三棱柱ABC-AB1C1 A C 5a), 中，M,N分别是A1B,B,C1上 的点，且BM=2A1M,CN= 动-功-i=君a+c-5b).ò=ò-元= 2B1N.设AB=a,AC=b, 日a+b-5c). AA=c. (1)试用a,b,c表示向量M示： 因为d.防=元(b+c-5a)·(a+c-5b)= (2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC= AA1=1,求MN的长. 元1ab-9la=高18x1x1Xas60-9）=0, 所以A0⊥B0,即AO⊥BO. 解(I)M瓜=M,+A,E,+B=子B+A店+ 同理，AO⊥CO,BO⊥CO. 号BnC=3c-a)+a+号6-a)=3a+b+3c. 所以AO,BO,CO两两垂直. (2),(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+ (②)解D成i=D+应=-了(a+6+c)+分c 2ac=1+1+1+0+2X1X1×2+2X1X1×号-5， 6(-2a-2b+c), i.la+b+cl-/5.-.lMNI-la+b+el-. 1=√/[后-2a-2+e可- 字MV的长为学 -信o+e-a-9 挑战·创新 因为DM.Aò=(-2a-2b+c)·合(b+c- 如图，正四面体V-ABC的高VD的 1 中点为O,VC的中点为M. 5a)= (1)求证：AO,B0,CO两两垂直： (2)求异面直线DM和AO所成角的 所以cos(DM,Aò)= 4 12 大小 2 2×2 (1)证明设=a,馆=b,元= c,正四面体的棱长为1，则a·b= 所以Di.0=子 b·c=a·c,lal=lb|=lcl=1, 故并面直线DM和A0所成角的大小为平 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 素养·目标定位 目标素养 知识概览 空间直角坐标系的有关概念及画法 L.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系， 感受空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标 空间直角 右手直角坐标系 系刻画点的位置 坐标系 空间点的坐标表示 2.掌握空间向量的坐标表示. 空间向量的坐标表示 19
第一章 空间向量与立体几何 ∴AB1 →⊥B→M. ∴AB1⊥BM.故AB1 与BM 所成角的大小为90°. 7.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M,N 分别是A1B,B1C1 上 的点,且 BM =2A1M,C1N = 2B1N.设 A→B =a,A→C =b, AA1 →=c. (1)试用a,b,c表示向量M→N; (2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC= AA1=1,求MN 的长. 解 (1)M→N =MA1 → +A1B1 → +B1 →N = 1 3 BA1 → +A→B+ 1 3 B1C1 →= 1 3 (c-a)+a+ 1 3 (b-a)= 1 3 a+ 1 3 b+ 1 3 c. (2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+ 2a·c=1+1+1+0+2×1×1× 1 2 +2×1×1× 1 2 =5, ∴|a+b+c|= 5,∴|M→N|= 1 3 |a+b+c|= 5 3 , 即MN 的长为 5 3 . 挑战 创新 如图,正四面体V-ABC 的高VD 的 中点为O,VC 的中点为M. (1)求证:AO,BO,CO 两两垂直; (2)求异面直线DM 和AO 所成角的 大小. (1)证明 设V→A=a,V→B=b,V→C= c,正四面体的棱长为1,则a·b= b·c=a·c,|a|=|b|=|c|=1, V→D= 1 3 (a+b+c),A→O=V→O-V→A= 1 6 (b+c- 5a), B→O=V→O-V→B= 1 6 (a+c-5b),C→O=V→O-V→C= 1 6 (a+b-5c). 因为A→O·B→O= 1 36 (b+c-5a)·(a+c-5b)= 1 36 (18a·b-9|a|2)= 1 36 (18×1×1×cos60°-9)=0, 所以A→O⊥B→O,即AO⊥BO. 同理,AO⊥CO,BO⊥CO. 所以AO,BO,CO 两两垂直. (2)解 D→M =D→V +V→M = - 1 3 (a+b+c)+ 1 2 c= 1 6 (-2a-2b+c), 则|D→M|= 1 6 (-2a-2b+c) 2 = 1 2 . |A→O|= 1 6 (b+c-5a) 2 = 2 2 . 因为D→M·A→O= 1 6 (-2a-2b+c)· 1 6 (b+c- 5a)= 1 4 , 所以cos<D→M,A→O>= 1 4 1 2 × 2 2 = 2 2 . 所以<D→M,A→O>= π 4 . 故异面直线DM 和AO 所成角的大小为 π 4 . 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系, 感受空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标 系刻画点的位置. 2.掌握空间向量的坐标表示. 19
数学 选择性必修 第一册 配人教A版 课前·基础认知 1.空间直角坐标系 间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点 OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数 O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单 组(x,y,z),使OA=xi十yj十k,在单位正交基底{i,j, 位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标 k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,),叫做点A 轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做 在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z),其中x 原点，，j,k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫 叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A 做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平 的竖坐标. 面，它们把空间分成了八个部分. 徽思考在给定的空间直角坐标系中，空间任意一点 画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy= 是否与有序实数组(x,y,z)存在唯一的对应关系？ 135°（或45°），∠30z=90° 提示是 2.右手直角坐标系 4.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作OA=a.由 向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向之轴的正方 空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 a=xi十yi十zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角 3.空间点的坐标表示 坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=(x,y,z), 在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量，对空 课堂·重难突破 空间点、向量的坐标表示 又AB=-BA, 典例剖析 .AB的坐标为(-1,1，-2) 规律总结」求空间点、向量的坐标的一般步骤： 1.如图，在直三棱柱ABC-A1BC (1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系： 中，CA=CB=1,∠BCA=90°，棱AA1= (2)运算：找出点在工轴、y轴、z轴上的射影的坐 2,M,N分别为A1B1,A1A的中点，试建 标：综合利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量： 立适当的坐标系，求： (3)定结果：根据射影坐标写出点的坐标：将所求向 (1)点B,C1,B1,M,N的坐标： 量用已知的基向量表示出来确定坐标 (2)向量B,BA1,A1B的坐标. 解，CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥ 学以致用 BC,且CA=CB=1,CC1=2, 1.已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为2，E,F分 以，，2CC为单位正交 别为棱BB:,DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系 基底，建立空间直角坐标系Cxy贮，如图 D 所示。 (1).点B在y轴上，且CB=1,所以 CB=0i+j+0k. 所以点B的坐标是(0,1,0). C 同理，点C1的坐标是(0,0,2) 点B1在x轴、y轴、x轴上的射影分别为C,B,C1,它 (1)写出各顶点的坐标： 们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2，所以点B,的坐标是(0， (2)写出向量E京，B1下，A1正的坐标. 1,2). 问理，点M的坐标是（分行2点N的室标为10.1 解(1)设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k. 因为正方体的棱长为2，所以DA=2i,DC=2j,DD,=2k 因为D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2). (2)BN-BA+AN-CA-CB+7CC-i-j+k. 又因为Di=DA+D心=2i+2j, B示的坐标为(1-1,1) 所以B(2,2,0) BAI=BA+AA=CA-CB+CCj=i-j+2k, 同理可得，A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2). BA1的坐标为(1，-1,2). (2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点， 20
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 课前·基础认知 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i,j,k}.以点 O 为原点,分别以i,j,k 的方向为正方向、以它们的长为单 位长度建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴 ,它们都叫做坐标 轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O 叫做 原点,i,j,k 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫 做坐标平面,分别称为 Oxy 平面,Oyz 平面,Ozx 平 面,它们把空间分成了八个部分. 画法:画空间直角坐标系 Oxyz 时,一般使 ∠xOy= 135° (或 45° ),∠yOz= 90° . 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴 的正方 向,食指指向 y 轴 的正方向,如果中指指向 z 轴 的正方 向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz 中,i,j,k 为坐标向量,对空 间任意一点A,对应一个向量O→A,且点 A 的位置由向量 O→A 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数 组(x,y,z),使O→A= xi+yj+zk .在单位正交基底{i,j, k}下与向量O→A 对应的 有序实数组(x,y,z),叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标,记作 A(x,y,z),其中 x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的竖坐标. 微思考 在给定的空间直角坐标系中,空间任意一点 是否与有序实数组(x,y,z)存在唯一的对应关系? 提示 是. 4.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作O→A=a.由 空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 a= xi+yj+zk .有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角 坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a= (x,y,z). 课堂·重难突破 一 空间点、向量的坐标表示 典例剖析 1.如 图,在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1= 2,M,N 分别为A1B1,A1A 的中点,试建 立适当的坐标系,求: (1)点B,C1,B1,M,N 的坐标; (2)向量B→N,BA1 →,A1 →B 的坐标. 解 ∵CC1 ⊥AC,CC1 ⊥BC,AC⊥ BC,且CA=CB=1,CC1=2, ∴以 C→A,C→B, 1 2 CC1 → 为 单 位 正 交 基底,建立空间直角坐标系Cxyz,如图 所示. (1)点B 在y 轴上,且CB=1,所以 C→B=0i+j+0k. 所以点B 的坐标是(0,1,0). 同理,点C1 的坐标是(0,0,2). 点B1 在x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为C,B,C1,它 们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2,所以点B1 的坐标是(0, 1,2). 同理,点M 的坐标是 1 2 , 1 2 ,2 ,点N 的坐标为(1,0,1). (2)∵B→N=B→A+A→N=C→A-C→B+ 1 2 CC1 →=i-j+k, ∴B→N 的坐标为(1,-1,1). 而BA1 →=B→A+AA1 →=C→A-C→B+CC1 →=i-j+2k, ∴BA1 → 的坐标为(1,-1,2). 又A1 →B=-BA1 →, ∴A1 →B 的坐标为(-1,1,-2). 求空间点、向量的坐标的一般步骤: (1)建系:根据图形特征建立空间直角坐标系; (2)运算:找出点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影的坐 标;综合利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量; (3)定结果:根据射影坐标写出点的坐标;将所求向 量用已知的基向量表示出来确定坐标. 学以致用 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,E,F 分 别为棱BB1,DC 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出各顶点的坐标; (2)写出向量E→F,B1 →F,A1 →E 的坐标. 解 (1)设x 轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k. 因为正方体的棱长为2,所以D→A=2i,D→C=2j,DD1 →=2k. 因为D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2). 又因为D→B=D→A+D→C=2i+2j, 所以B(2,2,0). 同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2). (2)因为E,F 分别为棱BB1,DC 的中点, 20