显然,函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就 是导函数f(x)在点x=x0处的函数值,即 f(o)=f(x)xx 例1求函数y=x2在任意点x处的导数 解在x处给自变量一个增量△x,相应的函数 增量为△y=f(x+△x)-f(x)=(x+△x)2-x2 2x△x+(△x 于是 2x+△x △ △y 则lim limn(2x+△x)=2x,即(x2)=2x
显然，函数y = f (x)在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x ，就 是导函数 f (x)在点 0 x = x 处的函数值，即 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = = . 例 1 求函数 2 y = x 在任意点 x 处的导数. 解 在x处给自变量一个增量Δx，相应的函数 增量为 2 2 Δ ( Δ ) ( ) ( Δ ) y f x x f x x x x = + − = + − 2 = + 2x x x Δ (Δ ) , 于是 Δ 2 Δ Δ y x x x = + , 则 Δ 0 Δ 0 Δ lim lim(2 Δ ) 2 x x Δ y x x x → → x = + = ,即 (x ) 2x 2 =
3导数的几何意义 导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数等于函 数所表示的曲线L在相应点(xy)处的切线斜率 曲线切线方程:曲线L上点M(x02y0)处的切线方程就是 y-y0=f(x0)(x-x0).特别地,若f(x0)=∞,则切线垂直于x 轴,切线方程就是x轴的垂线x=x0 例2求抛物线y=x2在点(1,1)处的切线方程和法线方程 解因为y=(x2)=2x,由导数的几何意义又知, 曲线y=x2,在点(1,1)处的切线斜率为y1=1=2x1x1=2 所以,所求的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1 13 法线方程为y-1=-(x-1)即y x+
曲线切线方程：曲线 L 上点 ( , ) 0 0 M x y 处的切线方程就是 ( )( ) 0 0 0 y − y = f x x − x .特别地，若 f (x0 ) = ，则切线垂直于 x 轴，切线方程就是 x 轴的垂线 0 x = x . 解 因为y (x ) 2x 2 = = ，由导数的几何意义又知， 曲线 2 y = x ,在点(1,1)处的切线斜率为y x=1 = 2x x=1 = 2. 所以，所求的切线方程为y −1 = 2(x −1) , 即 y = 2x −1. 法线方程为 ( 1) 2 1 y −1= − x − 即 2 3 2 1 y = − x + . 导数的几何意义：函数y = f (x) 在点 0 x 处的导数等于函 数所表示的曲线 L 在相应点( , ) 0 0 x y 处的切线斜率. 例 2 求抛物线 2 y = x 在点(1,1)处的切线方程和法线方程. 3.导数的几何意义
4变化率模型 对于函数y=f(x),△yf(x+△x)-f(x) △ △ 表示自变量x在以x0与x0+△x为端点的区间中每改变 △ 个单位时,函数y的平均变化量所以把称为函 △ 数y=f(x)在该区间中的平均变化率;把平均变化率 当△x→>0时的极限f(x)或=m称为函数在x处的 变化率.变化率反映了函数y随着自变量x在x处的 变化而变化的快慢程度
对于函数y = f (x)，比值Δ ( 0 0 Δ ) ( ) Δ Δ y f x x f x x x + − = , 表示自变量x在以 0 x 与x x 0 + Δ 为端点的区间中每改变 一个单位时,函数 y 的平均变化量.所以把Δ Δ y x 称为函 数y = f (x)在该区间中的平均变化率；把平均变化率 当Δ 0 x → 时的极限 ( ) 0 f x 或 0 d d x x x y = 称为函数在 0 x 处的 变化率.变化率反映了函数 y 随着自变量 x 在 0 x 处的 变化而变化的快慢程度. 4.变化率模型
几个常见变化率模型 问题 平均变化率 变化率模型 电流电荷 40-2+4)-@(o)i(lo)=lim 2(o AD-e(o) 模型 △t Q=O() 细杆质量 的线m=m(x)△mm+△x)=mxpx)=如m m(x0+△x)-m(x0) 密度 △x △x 边际 成本总成本AC=C(x+△x)-C(x)c(=1mn4C=m(x+ 模型|C=C(x) △ Ax0△x△x0 化学 反应浓度 △NN(t+△t)-N(t) N(t)=lim N(t+△t)-N(t) 速度N=N() △x→0 △t 关于变化率模型的例子很多,如比热容、角速度、生物 繁殖率等等,在这里就不再一一列举了
几个常见变化率模型 问题 平均变化率 变化率模型 电 流 模型 电荷 Q = Q(t) 0 0 Δ ( Δ ) ( ) Δ Δ Q Q t t Q t i t t + − = = 0 0 0 Δ 0 ( Δ ) ( ) ( ) limt Δ Q t t Q t i t → t + − = 细 杆 的 线 密度 质量 m = m(x) 0 0 Δ ( Δ ) ( ) Δ Δ m m x x m x x x + − = = 0 0 0 Δ 0 ( Δ ) ( ) ( ) limx Δ m x x m x x x → + − = 边 际 成 本 模型 总成本 C = C(x) Δ ( Δ ) ( ) Δ Δ C C x x C x x x + − = Δ 0 Δ 0 Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim lim x x Δ Δ C C x x C x C x → → x x + − = = 化 学 反 应 速度 浓度 N = N(t) Δ ( Δ ) ( ) Δ Δ N N t t N t t t + − = Δ 0 ( Δ ) ( ) ( ) limx Δ N t t N t N t → t + − = 关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物 繁殖率等等，在这里就不再一一列举了
三、可导与连续 △ 设函数y=f(x)在点x处可导,有lim=f(x)根 △x->0△x △ 据函数的极限与无穷小的关系,可得=f(x)+a(△x) 其中a(△x)是Ax→>0的无穷小,两端各乘以Ax,即得 △y=f(x)△x+0(△x)△x,由此可见lim△y=0 △x→>0 这就是说y=f(x)在点x处连续.也即,如果函数y=f(x) 在x处可导,那么在x处必连续.但反过来不一定成立, 即在x处连续的函数未必在x处可导 0 例如,函数y=x 显然在x=0处连续 x<0 但是在该点不可导
设函数 y = f (x)在点 x 处可导,有lim ( ) 0 f x x y x = → 根 据函数的极限与无穷小的关系,可得 f (x) ( x) x y = + . 其中 (x)是x → 0的无穷小，两端各乘以 x ,即得 y = f (x)x + α(x)x,由此可见 lim 0 0 = → y x . 这就是说y = f (x)在点 x 处连续.也即，如果函数y = f (x) 在 x 处可导，那么在 x 处必连续.但反过来不一定成立， 即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导. 例如，函数 − = = , 0 , 0, x x x x y x 显然在 x = 0 处连续， 但是在该点不可导. 三、可导与连续