因为y=f(0+△x)-f(x)=Ax, 所以在x=0点的右导数: f(0)=lin △x lm△x △x 而左导数是:f(0)=lim △y △x △x→>0△x△x→0-△x△x→0-△x 左右导数不相等,故函数在该点不可导.所以,函数连续 是可导的必要条件而不是充分条件 四、求导举例 求函数y=f(x)的导数y的步骤: (1)求增△y=f(x+△x)-f(x), (2)算比值: △yf(x+△x)-f(x) △x △x (3)取极限:y=lm △x→>0
因为y = f (0+x)− f (x) = x , 所以在x = 0点的右导数: (0) lim lim lim 1 0 0 0 = = = = + + → + → → + x x x x x y f x x x . 而左导数是: (0) lim lim lim 1 0 0 0 = − − = = = − − → − → → − x x x x x y f x x x . 左右导数不相等，故函数在该点不可导.所以，函数连续 是可导的必要条件而不是充分条件. 求函数y = f (x)的导数 y 的步骤： （1）求增y = f (x + x) − f (x) , （2）算比值： x f x x f x x y + − = ( ) ( ) , （3）取极限： x y y x = →0 lim . 四、求导举例
例7求函数y=C(C是常数)的导数 解(1)求增量:因为y=C,即不论x取什么值 y的值总等于C,所以△y=0; (2)算比值: △ 0 (3)取极限:y= lim ay=lim0=0 △x→0△x△x→0 即常数函数的导数等于零 例8求函数y=sinx的导数 解(1)求增量: △y=f(x+△x)-f(x)=sin(x+△x)-sinx, 由和差化积公式有: △y=2c0s (x+△x)+x(x+△x) △x、.△x 2 coS(x+sin 2
解 (1)求增量：因为 y = C，即不论 x取什么值， y的值总等于 C，所以 = y 0； (2)算比值： x y = 0； (3)取极限： lim lim 0 0 0 0 = = = x→ x x→ y y . 即常数函数的导数等于零. 解 （1）求增量： y = f ( x + x) − f ( x) = sin( x + x) − sin x， 由和差化积公式有： 2 ( ) sin 2 ( ) 2 cos x x x x x x y + + + − = . 2 )sin 2 2cos( x x x = + 例 7 求函数y = C （C 是常数）的导数. 例 8 求函数y = sin x的导数
(2)算比值: △ △x 2 cos(x+)sin sIn △ cos(x+ (3)取极限: d sIn lim Im cos(x+ dxAx->0△x△x→>0 sIn lim cos(x +-)lim cOSx △x->0 2 2 即(sinx)=cosx.用类似的方法,可求得余弦函数y=cosx 的导数为 ( COSx sInx
（2）算比值： 2 2 sin ) 2 cos( 2 )sin 2 2cos( x x x x x x x x x y = + + = . （3）取极限： 2 2 sin ) 2 lim lim cos( d d 0 0 x x x x x y x y x x = + = → → 0 0 sin 2 lim cos( ) lim cos 2 2 x x x x x x → → x = + = , 即(sin ) cos x x = .用类似的方法，可求得余弦函数 y=cosx 的导数为：(cos ) sin x x = −
例9求对数函数y=logx(a>0,a≠0,x>0)的导数 解(1)求增量 △y=log(x+△x)- log,x=100++△x △ g 1+ △ △x (2)算比值: og △x x d (3)取极限: lim lim-10g1+ dxAx→>0△x△x→>0x lc 即( log x) 特别地,当a=e时,得自然对数 XIn a 的导数(nx)
解（1）求增量： x x x y x x x a a a + = log ( + ) − log = log = + x x a log 1 , （2）算比值： x x a a x x x x x x x y = + + = log 1 1 log 1 , （3）取极限： x x a x x x x x x y x y → → = + = log 1 1 lim lim d d 0 0 x x a a ln 1 log e 1 = = , 即 x a x a ln 1 (log ) = .特别地，当a = e时，得自然对数 的导数 x x 1 (ln ) = . 例 9 求对数函数y = log x(a 0, a 0, x 0) a 的导数
例10求函数y=x”(n为正整数)的导数 解(1)求增量:由二项式定理有 n(n △y=(x+△x)”-x"=mx 2(△x)2+…+(△x)”, 2 (2)算比值: 1>2x1÷(n-1)y2△x+…+(4x), (3)取极限: d li Ay=lim nx n=1,n(n-1) dxAx->0△x△x->0 2/xn-2△x+…+(△x)2 n-1 =nx 3 (n为正整数) 般地,对y=x(H是实数),也有(x2)=x.这个公式 在后面将给出证明.例如: (-)=( x)冈网四
解 (1)求增量：由二项式定理有 n n y = (x + x) − x n n n x x x n n nx x ( ) ( ) 2! ( 1) 1 2 2 + + − = + − − , (2)算比值： 1 2 1 ( ) 2! ( 1) − − − + + − = + n n n x x x n n n x x y , (3)取极限： 1 2 1 0 0 d ( 1) lim lim ( ) d 2! n n n x x y y n n nx x x x x x − − − → → − = = + + + n 1 nx − = , 即 ( ) −1 = n n x nx .（n 为正整数） 一般地，对 y = x （是实数），也有( ) −1 = x x .这个公式 在后面将给出证明.例如： ( ) x x x 2 1 2 1 = = ， ( ) = − = − 2 1 1 1 x x x . 例 10 求函数 n y = x （n 为正整数）的导数