而比值 Ay f(x)-f(xo) f(=o+Ax)-f(xo) 便是割线M0M的斜率tanq,当Ax→>0时,M沿曲线 L趋于M0,从而我们得到切线的斜率 tan a= lim tan = lim Ay= lim +Ax)-f(xo) x→>0△△x→>0 由此可见,曲线y=f(x)在点M处的纵坐标y的增量 △y与横坐标x的增量Δx之比,当△x→>0时的极限即为 曲线在M点处的切线斜率
便是割线M M0 的斜率tan，当Δx → 0时, M 沿曲线 L 趋于M0，从而我们得到切线的斜率 ( 0 0 ) Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ Δ ( ) tan lim tan lim lim x x x Δ Δ y f x x f x x x → → → + − = = = . 由此可见，曲线y = f (x)在点M0处的纵坐标 y 的增量 Δy 与横坐标 x的增量Δx之比，当x → 0时的极限即为 曲线在M0点处的切线斜率. ( ) ( 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 Δ Δ , Δ Δ y f x f x f x x f x x x x x − + − = = − 而比值
二、导数的概念 1.导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,当自 变量x在x处有增量△x(△x≠0,x+△x仍在该邻域内)时, 相应地函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果△y与 △x之比当△x→0时,极限 lim lim f(x0+△x)-f(x0) △x→ △ △x->0 x 存在,那么这个极限值称为函数y=f(x)在点x的导数 并且说,函数y=f(x)在点x处可导,记作f(x0)
设函数y = f (x)在点 0 x 的某一邻域内有定义，当自 变量 x在 0 x 处有增量Δ (Δ 0, Δ 0 x x x x + 仍在该邻域内)时， 相应地函数有增量Δ ( Δ ) ( ) 0 0 y f x x f x = + − ，如果 Δy 与 Δ x 之比 Δ Δ y x 当Δ 0 x → 时，极限 1.导数的定义 0 0 Δ 0 Δ 0 Δ ( Δ ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x → → x x + − = 存在，那么这个极限值称为函数 y = f (x)在点 0 x 的导数. 并且说，函数 y = f (x)在点 0 x 处可导，记作 ( ) 0 f x ， 二、导数的概念
df(x d 也记为yx=xnd=d=x 即f(x)=lm2y=i f(x0+△x)-f(x0) m △x->0△x △x->0 △x 如果极限不存在,我们说函数y=f(x)在点 x处不可导 如果固定x,令xn+△x=x,则当△x→>0时, 有x→>x,故函数在x处的导数f(x0)也可表为 f(xo)=lim f(x)-f(x0) x→)x X-
也记为 0 y' x = x ， 0 d d ( ) x x x f x = 或 0 d d x x x y = ， 即 0 0 0 0 0 Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x f x → → x x + − = = . 如果极限不存在，我们说函数 y = f (x)在点 0 x 处不可导. 如果固定 0 x ，令x x 0 + Δ =x，则当Δ 0 x → 时， 有 0 x → x ，故函数在 0 x 处的导数 ( ) 0 f x 也可表为 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = →
2.左、右导数 极限t△y=m<(xn+△x)-f(xo △x-)0-△x△x→0 △ △ lim f(x0+△x)-f(x0) △x △x 分别叫做函数f(x)在点x处的左导数和右导数, 且分别记为f(x0)和f(x0) 定理函数y=f(x)在点x的左、右导数存 在且相等是f(x)在点x0处可导的充分必要条件
极限 0 0 Δ 0 Δ 0 Δ ( Δ ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x x x → → − − + − = ； 0 0 Δ 0 Δ 0 Δ ( Δ ) ( ) lim lim x x Δ Δ y f x x f x x x → → + + + − = . 分别叫做函数 f (x)在点 0 x 处的左导数和右导数， 且分别记为 ( ) 0 f x − 和 ( ) 0 f x + . 定理 函数y = f (x)在点 0 x 的左、右导数存 在且相等是 f (x)在点 0 x 处可导的充分必要条件. 2．左、右导数
如果函数y=f(x)在区间a,b)内每一点都可导, 称y=f(x)在区间(a,b)内可导 如果f(x)在(a,b)内可导,那么对应于(a,b)中的 每一个确定的x值,对应着一个确定的导数值f(x), 这样就确定了一个新的函数,此函数称为函数 y=f(x)的导函数 记作f∫(x),y dy df(x) 在不致发生混淆的情 dx dx 况下,导函数也简称为导数
如果函数y = f (x)在区间(a,b) 内每一点都可导， 称y = f (x)在区间(a,b)内可导. 如果 f (x)在(a,b)内可导，那么对应于(a,b) 中的 每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值 f (x)， 这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数 y = f (x)的导函数. 记作 f (x)，y, x y d d , x f x d d ( ) ，在不致发生混淆的情 况下，导函数也简称为导数