离散数学教案 C=复数集合 4.集合的幂集 一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。 定义3.1.5设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A) P(A)=(BIBCA} 由定义可知，OeP(A),AeP(A). 5.文氏图 文氏(Wenn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。 全集U用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积 来表示。 如果AcB,则表示A的圆面一般将完全落在表示B的圆面内，如图1中(a)。如 果A与B没有公共元素，那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开，如图3-1中(b)。 当A和B是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在A中但不在B中，有些元素在 B中却不在A中，有些元素同时在A和B中，有些元素则既不在A中也不在B中，因 此用图1中(c)表示任意两个集合A和B。 最后给出集合的形式定义结束本节。 定义3.1.6A为集合=（臼x)(x∈AvA=☑）。 这里等号“=”表示定义为的意义，是表示“定义为”还是表示“一般相等”的 意义，由上下文来区分 3.2集合运算及其性质 集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集U的子集， 即这些集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常见的集合运算。 1.并、交和差运算 定义3.2.1设A和B是任意两个集合， ①A和B的并是集合，记为AUB, AUB={x|x∈Avx∈B ②A和B的交是集合，记为AnB, AnB={xx∈AAXEB ③A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为A-B, 6
离散数学教案 6 C=复数集合。 4．集合的幂集 一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。 定义 3.1.5 设 A 为一集合，A 的幂集是一集合族，记为 P(A)， P(A)={B|BA} 由定义可知，P(A)，AP(A)。 5．文氏图 文氏(Venn) 图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。 全集 U 用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积 来表示。 如果 AB，则表示 A 的圆面一般将完全落在表示 B 的圆面内，如图 1 中(a)。如 果 A 与 B 没有公共元素，那么表示 A 的圆面将同表示 B 的圆面分开，如图 3-1 中(b)。 当 A 和 B 是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在 A 中但不在 B 中，有些元素在 B 中却不在 A 中，有些元素同时在 A 和 B 中，有些元素则既不在 A 中也不在 B 中，因 此用图 1 中(c)表示任意两个集合 A 和 B。 最后给出集合的形式定义结束本节。 定义 3.1.6 A 为集合=(x)(xAA=)。 这里等号“=”表示定义为的意义，是表示“定义为”还是表示“一般相等”的 意义，由上下文来区分。 3.2 集合运算及其性质 集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集 U 的子集， 即这些集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常见的集合运算。 1．并、交和差运算 定义 3.2.1 设 A 和 B 是任意两个集合， ① A 和 B 的并是集合，记为 A∪B， A∪B={x|xAxB} ② A 和 B 的交是集合，记为 A∩B， A∩B={x|xAxB} ③ A 和 B 的差，或 B 关于 A 的相对补是集合，记为 A-B
离散数学教案 A-B-{x|x∈MAxeB} 定义3.2.2若A和B是集合，且AnB=⑦，则称A和B是不相交的。 如果C是个集合族，且C中任意两个不同元素都不相交，则称C中集合是两个不 相交的，或称C是两两不相交的集合族。 定理3.2.1任给集合A,B和C,则： ①AUB=BUA ②AnB=BnA ③(AUB)UC=AU(BUC ④(AnB)nC=An(BnC) 该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。 定理3.2.2任给集合A、B和C,则 DAU(Bnc)=(AUB)n(AUC) 2An (BUC)=(AnB)U(AnC) 该定理表明，集合运算并对交、交对并都是可分配的。 定理3.2.3任给集合A,B,C和D,则 ①若ACB,则AUB=B,AnB=A ②若ACB和CcD,则AUCCBUD,AnCEBnD 推论3.2.3①AUU-U,②AnU=A 定理3.2.4任给集合A,B和C,则 DA-(BUC)=(A-B)n(A-C) A-(BnC)=(A-B)U(A-C) 定义3.2.3设A是含有元素为集合的集合，或者集合族。 ①A的并是集合，记为UA, UA={x|(GB)(B∈AAx∈B)}=UB ②A的交是集合，记为nA, nA={x|(B)(BeA→x∈B)}=nB 定义3.2.4集合A的补是集合，记为A', A'=U-A={xIxEUAXEA)=(xlxgA} 定理3.2.5任给集合A,则
离散数学教案 7 A-B={x|xAxB} 定义 3.2.2 若 A 和 B 是集合，且 A∩B=，则称 A 和 B 是不相交的。 如果 C 是个集合族，且 C 中任意两个不同元素都不相交，则称 C 中集合是两个不 相交的，或称 C 是两两不相交的集合族。 定理 3.2.1 任给集合 A，B 和 C，则： ① A∪B=B∪A ② A∩B=B∩A ③ (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ④ (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。 定理 3.2.2 任给集合 A、B 和 C，则 ① A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ② A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 该定理表明，集合运算并对交、交对并都是可分配的。 定理 3.2.3 任给集合 A，B，C 和 D，则 ① 若 AB，则 A∪B=B，A∩B=A ② 若 AB 和 CD，则 A∪CB∪D，A∩CB∩D 推论 3.2.3 ①A∪U=U，②A∩U=A 定理 3.2.4 任给集合 A，B 和 C，则 ① A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ② A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) 定义 3.2.3 设 A 是含有元素为集合的集合，或者集合族。 ① A 的并是集合，记为∪A， ∪A={x|(B)(BAxB)}= ∪B ② A 的交是集合，记为∩A， ∩A={x|(B)(BA→xB)}= ∩B 定义 3.2.4 集合 A 的补是集合，记为 A’， A’=U-A={x|xUxA}={x|xA} 定理 3.2.5 任给集合 A，则
离散数学教案 ①AUA'=U, ②AnA'=O. 定理3.2.6任给集合A和B,则 B=A'iff AUB=U且AnB=O 该定理表明了①若A的补是B,则B的补是A,即A和B互补。②补的唯一性。 推论3.2.5①0'=0，②☑'=U 定理3.2.7任给集合A,则A”=A。 该定理表明了，A的补的补是A。 定理3.2.8任给集合A和B,则 ①(AUB)'=A'nB', ②(AnB)'=A'UB'。 定义3.2.5任给集合A和B,A和B的对称差是集合，记为A⊕B, A©B=(A-B)U(B-A)={x|(x∈AAXEB)V(x∈BAXEA)} 定理3.2.9任给集合A和B,则 AOB=(AUB)n(A'UB')=(AUB)-(AnB) 推论3.2.9①A'⊕B'=A⊕B ②AEB=BEA ③A⊕A=O 2.集合代数与对偶原理 本小节将形式地讨论由集合、集合变元、集合运算和圆括号所构成的集合代数 以及集合代数中的对偶原理。 与命题逻辑相似，对于给定集合实行集合运算，可以生成新的集合。同用大写英 文字母表示确定集合一样，也用大写字母表示不确定的集合，前者称为集合常元，后 者称为集合变元。集合变元用以集合常元代替后，才表示确定的集合。下面将给出集 合的合式公式定义。 定义3.2.6可按下列规则生成集合合式公式： ①单个集合变元是集合合式公式。 ②若A是集合合式公式，则A'也是集合合式公式。 ③若A和B是集合合式公式，则(AUB),(AnB),(A-B)和(A⊕B)也都是集合合 8
离散数学教案 8 ① A∪A’=U， ② A∩A’=。 定理 3.2.6 任给集合 A 和 B，则 B=A’ iff A∪B=U 且 A∩B= 该定理表明了①若 A 的补是 B，则 B 的补是 A，即 A 和 B 互补。②补的唯一性。 推论 3.2.5 ①U’=，②’=U 定理 3.2.7 任给集合 A，则 A”=A。 该定理表明了，A 的补的补是 A。 定理 3.2.8 任给集合 A 和 B，则 ① (A∪B)’=A’∩B’， ② (A∩B)’=A’∪B’。 定义 3.2.5 任给集合 A 和 B，A 和 B 的对称差是集合，记为 AB， AB =(A-B)∪(B-A)={x|(xAxB)(xBxA)} 定理 3.2.9 任给集合 A 和 B，则 AB=(A∪B)∩(A’∪B’)=(A∪B) - (A∩B) 推论 3.2.9 ① A’B’=AB ② AB=BA ③ AA= 2．集合代数与对偶原理 本小节将形式地讨论由集合、集合变元、集合运算和 圆括号所构成的集合代数 以及集合代数中的对偶原理。 与命题逻辑相似，对于给定集合实行集合运算，可以生成新的集合。同用大写英 文字母表示确定集合一样，也用大写字母表示不确定的集合，前者称为集合常元，后 者称为集合变元。集合变元用以集合常元代替后，才表示确定的集合。下面将给出集 合的合式公式定义。 定义 3.2.6 可按下列规则生成集合合式公式： ① 单个集合变元是集合合式公式。 ② 若 A 是集合合式公式，则 A’也是集合合式公式。 ③ 若 A 和 B 是集合合式公式，则(A∪B)，(A∩B)，(A-B)和(AB)也都是集合合