§2.2离散型随机变量及其概率分布 例3大量试验条件下的小概率事件问题 一某人进行射击，设每次击中的命中率为0.02，独立射击400次，试求 至少击中两次的概率 一次射击击中目标是个小概率事件 解： 一将一次射击看成是一次试验，设射击次数为400，则X~b(400,0.02) X的分布律为PX=k=C00.020.98400-%,k=0,1,2,,400. 所求的概率为PX≥2}=1一PX=0}一P{X=1} =1-0.98400-400(0.02)0.98399 =0.9972 若400次中击中目标次数竟真的达 结果接近于1 不到两次，而由于这一事件的概率 大量独立试验条件下， X<2}=0.003是小概率事件，由 小概率发生几乎是肯定 实际推断原理，有理由怀疑命中率 的，如抽奖问题 达不到0.02，可能更低 22
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 例3 大量试验条件下的小概率事件问题 – 某人进行射击，设每次击中的命中率为0.02，独立射击400次，试求 至少击中两次的概率 ⚫ 解： – 将一次射击看成是一次试验，设射击次数为400，则X～b(400, 0.02) – X的分布律为P{X=k}＝ 0.02k0.98400－k ，k＝0，1，2，...，400. – 所求的概率为P{X2}=1－P{X＝0}－P{X＝1} =1－0.98400－400(0.02)0.98399 =0.9972 结果接近于1 22/ k C400 一次射击击中目标是个小概率事件 大量独立试验条件下， 小概率发生几乎是肯定 的，如抽奖问题 若400次中击中目标次数竟真的达 不到两次，而由于这一事件的概率 P{X<2}=0.003是小概率事件，由 实际推断原理，有理由怀疑命中率 达不到0.02，可能更低
§2.2离散型随机变量及其概率分布 例4维修工分配问题（用工优化） 设有80台同类型设备，各台工作独立，发生故障的概率都是0.01， 且一合设备的故障仅能由一人处理，考虑两种配备维修工人的方法 (1)由4人维护，每人20合； (2)由3人共同维护80台； 试比较发生故障时不能及时维修的概率大小？ 解：按方案(1)不考虑维修时间长短问题 记X为“第一人维护的20合中同一时刻发生故障的合数“， -则X~b(20,0.01) 用事件A表示：“第人维护的20合中发生故障不能及时维修”这一 事件 则80台中发生故障不能及时维修的概率为 P(A UA2UA3UA)P(A)=P(X22) 23/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 例4 维修工分配问题(用工优化) – 设有80台同类型设备，各台工作独立，发生故障的概率都是0.01， 且一台设备的故障仅能由一人处理，考虑两种配备维修工人的方法 (1)由4人维护，每人20台； (2)由3人共同维护80台； 试比较发生故障时不能及时维修的概率大小? 解：按方案(1) 不考虑维修时间长短问题 – 记X为 “第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数“， – 则X～b(20, 0.01) – 用事件Ai表示：“第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”这一 事件 – 则80台中发生故障不能及时维修的概率为 P(A1∪A2∪A3∪A4 ) P(A1 )＝P(X 2) 23/
§2.2离散型随机变量及其概率分布 -而X~b(20,0.01),故有 PX≥2)=1-P(X-=0)-PX=1)=1-0.9920-20(0.01)0.9919=0.0169 即有P(A1UA2UA3UA4)20.0169 ●按方案(2) -记Y为80台中同一时刻发生故障的台数，则Y~b(80,0.01) 一发生故障不能及时维修的概率 -P(A)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)-P(Y=3) =1-0.9980-C80(0.01)0.992C(0.01)20.9978-C3(0.01)30.997 =0.0087<<0.0169 一方案(2)不能及时维修的概率远远小于方案(1) 一因此方案(2)的用工方案更优，而且节省人力 24/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 – 而X～b(20, 0.01)，故有 P(X2)=1－P(X=0)－P(X=1)=1－0.9920－20(0.01)0.9919=0.0169 即有P(A1∪A2∪A3∪A4 )0.0169 ⚫ 按方案(2) – 记Y为80台中同一时刻发生故障的台数，则Y～b(80, 0.01) – 发生故障不能及时维修的概率 – P(A)=1－P(Y=0)－P(Y=1)－P(Y=2)－P(Y=3) =1－0.9980－ － － =0.0087<<0.0169 – 方案(2)不能及时维修的概率远远小于方案(1) – 因此方案(2)的用工方案更优，而且节省人力 24/ 1 79 C80 (0.01)0.99 2 2 78 C80 (0.01) 0.99 3 3 77 C80 (0.01) 0.99
§2.2离散型随机变量及其概率分布 (三)泊松分布 泊松分布是概率论中比较重要的一种分布，描述一系列 在给定时间区间内到达某区域的随机质点数的分布规律， 在排队论、路由优化等方面有广泛的应用.… 一如：到达某十字路口的汽车数、电话交换合接到的要求通话的呼唤 数、纺织机上出现的断点数、到达某区域的放射性粒子数、人类的 生育胎数、到达某铁路售票处要求售票的顾客数、某一秒种内路由 器等待转发的数据包的个数（队列长度） 主要描述那些具有无穷可列个取值的离散型随机变量 一这类问题的显著特点是可列个取值的总概率为1，服从泊松分 布的数学模型在第十章，在学习随机过程时会接触到，这里 直接给出泊松分布的定义形式 25/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ （三）泊松分布 – 泊松分布是概率论中比较重要的一种分布，描述一系列 在给定时间区间内到达某区域的随机质点数的分布规律， 在排队论、路由优化等方面有广泛的应用... – 如：到达某十字路口的汽车数、电话交换台接到的要求通话的呼唤 数、纺织机上出现的断点数、到达某区域的放射性粒子数、人类的 生育胎数、到达某铁路售票处要求售票的顾客数、某一秒种内路由 器等待转发的数据包的个数(队列长度) – 主要描述那些具有无穷可列个取值的离散型随机变量 – 这类问题的显著特点是可列个取值的总概率为1，服从泊松分 布的数学模型在第十章，在学习随机过程时会接触到，这里 直接给出泊松分布的定义形式 25/
§2.2离散型随机变量及其概率分布 ●泊松分布： - 设随机变量X的所有可能取值为0,1,2，…， 一 而取各值的概率为P{X=k)= e I ，k=0,1,2,… 一其中>0为常数（也叫泊松强度，具体含义在第四章介绍），则称X服 从参数为的泊松分布，记为X~π(2) 。泊松分布关于分布律的两个条件 一非负性是显然的 00 趣范性PX=;=了e =e2 k=0 k=0 I 0 考虑麦克劳林级数展开e'=1+x+ 24 31 -所以 2Px=刻e2-ere =0 261
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 泊松分布： – 设随机变量X的所有可能取值为0，1，2，...， – 而取各值的概率为 ，k＝0，1，2，... – 其中λ>0为常数(也叫泊松强度，具体含义在第四章介绍)，则称X服 从参数为λ的泊松分布，记为X～π(λ) ⚫ 泊松分布关于分布律的两个条件 – 非负性是显然的 – 规范性： = = – – 考虑麦克劳林级数展开 – 所以 26/ ! { } k e P X k k − = = = = k 0 P{X k} = − k 0 k k e ! = − k 0 k k e ! = = + + + + = 0 2 3 2 3 1 k k x k x x x e x ! ! ! 1 0 0 = = = = − = − = e e k P X k e k k k ! { }