§2.2离散型随机变量及其概率分布 泊松分布的概率最大值问题 一与二项分布的求解方法类似，先找极大值点，它应满足 如下不等式组 e Rk-le-i -1)PX== =P{X=k-1} (k-1)I -2)PX==e≥ Akile-i =P{X=k+1} k! (k+1)川 -由1)得k≤由2得≥-1 三种分布之间的关系： (1)0一1分布考察一次试验中 -联立1)和2)有2一1≤≤) 两个可能结果的概率 ● 当为整数时， (2)二项分布是把以上试验独 立重复进行n次，考察出现某 一k=和2一1时取得最大值 一个结果的次数的概率，n= 当为非整数， 1时即是结果0一1分布 (3)泊松分布考察一段时间内 一k=2时取得最大值 某一事件发生的次数的概率
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 泊松分布的概率最大值问题 – 与二项分布的求解方法类似，先找极大值点，它应满足 如下不等式组 – 1）P{X=k}＝ ≥ ＝P{X=k-1} – 2）P{X=k}＝ ≥ ＝P{X=k+1} – 由1）得k≤λ 由2得k≥λ-1 – 联立1）和2）有λ－1≤k≤λ ⚫ 当λ为整数时， – k＝λ和λ－1时取得最大值 ⚫ 当λ为非整数， – k＝[λ]时取得最大值 27/ k! e k − k! e k − ( 1)! 1− − − k e k ( 1)! 1 + + − k e k 三种分布之间的关系： (1) 0－1分布考察一次试验中 两个可能结果的概率 (2) 二项分布是把以上试验独 立重复进行n次，考察出现某 一个结果的次数的概率，n＝ 1时即是结果0－1分布 (3) 泊松分布考察一段时间内 某一事件发生的次数的概率
§2.2离散型随机变量及其概率分布 ●泊松定理（针对稀有事件） 一（用泊松分布来逼近二项分布的定理） 设>0是一个常数，n是任意正整数，设吧m=2,则对于任 意固定的非负整数k,有 k pi(1-p)=te n lim 当n210,p≤0.1， p≤5时：二项分布≈ ●证由pn=2/n,有 泊松分布。 当试验次数很大时， 稀有事件A发生的次 a-e'a) 数可以近似用泊松分 布来描述，而2=p 为n次中A发生的平 =121-211 均次数 对任意固定的k,当趋近于无穷大时，上式第二项极限为1，第三 项是自然对数极限为，最后一项极限为1，所以定理成立。 一 吧m=2是常数，当很大时p必定很小，所以当n很大，pn很小时， 可用泊松分布来近似二项分布。 28/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 泊松定理(针对稀有事件) – (用泊松分布来逼近二项分布的定理) ⚫ 设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设npn ＝λ，则对于任 意固定的非负整数k，有 ⚫ 证 由pn ＝λ/n，有 ＝ ＝ – 对任意固定的k，当n趋近于无穷大时，上式第二项极限为1，第三 项是自然对数极限为e --λ，最后一项极限为1，所以定理成立。 – npn ＝λ是常数，当n很大时pn必定很小，所以当n很大，pn很小时， 可用泊松分布来近似二项分布。 28/ ! lim ( ) k e p p k n k n k n k n n − − → − = 1 n k n k pn p k n − − (1 ) k n k k n n n n n k − − − − + 1 1 1 ! ( )( ) n k k n n n k k n − − − − − − 1 1 1 1 1 [1 (1 ) ( )] ! 当n≥10, p≤0.1, np≤5时：二项分布≈ 泊松分布。 当试验次数n很大时， 稀有事件A发生的次 数可以近似用泊松分 布来描述，而=np 为n次中A发生的平 均次数
§2.2离散型随机变量及其概率分布 ●历史上Poi$$on分布是作为二项分布的一种近似， 其前提是二项分布是稀有事件 而二项分布的真正极限分布是正态分布（见中心极 限定理) ●于1837年由法国数学家S.D.Poisson（1781~ 1840年)引入。 ●近些年来，人们发现该分布在物理学及社会生活中 对服务的各种要求等方面有愈来愈多的应用 29/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 历史上Poisson分布是作为二项分布的一种近似， 其前提是二项分布是稀有事件 ⚫ 而二项分布的真正极限分布是正态分布(见中心极 限定理) ⚫ 于1837年由法国数学家S.D.Poisson（1781 ～ 1840年）引入。 ⚫ 近些年来，人们发现该分布在物理学及社会生活中 对服务的各种要求等方面有愈来愈多的应用 29/
§2.2离散型随机变量及其概率分布 (四)超几何分布，抽样检查，无放回抽样 一产品抽样检查中，假定在N件产品中有D件不合格品，即不合格率 p=DN。随机抽件做检查，发现k件不合格品的概率为超几何分布 P(X=k)=CkpCn-kND/C"N,(k=0,1,...min(n,D)) ~ 通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无 放回抽样。 一数学上不难证明，N趋近无穷时 PX=k)=C,Cr-kND/Cv近似为b(np)(二项分布) ·因此，在实际应用时，当N210时，可用二项分布近似描述不合格 品个数，当实验次数足够多的时候，不放回抽样可近似为放回抽样， 而如果放回抽样则刚好满足二项分布，p=废品率DN 30/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 • (四) 超几何分布，抽样检查，无放回抽样 – 产品抽样检查中，假定在N件产品中有D件不合格品，即不合格率 p=D/N。随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为超几何分布 – 通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无 放回抽样。 – 数学上不难证明，N趋近无穷时 – P(X=k)=Ck DCn-k N-D/Cn N近似为b(n,p) (二项分布) – 因此，在实际应用时，当N≥10n时，可用二项分布近似描述不合格 品个数 ，当实验次数足够多的时候，不放回抽样可近似为放回抽样， 而如果放回抽样则刚好满足二项分布，p=废品率D/N 30/ P(X=k)=Ck DCn-k N-D/Cn N,(k=0,1,… min{n, D})
§2.2离散型随机变量及其概率分布 假设电话交换合每小时接到的呼叫次数X服从参数入=3的泊 松分布，求 一(1)每小时恰有4次呼叫的概率 Matlab实验 一(2)一小时内呼叫不超过5次的概率 一(3)画出分布律图像 2 34 (1) P(X=4)= e= 4 (2) Px=2X-利-含 在Matlab中输入以下命令： (1)p1=poisspdf(4,3) (2)p2=poisscdf(5,3) (3)x=0:1:20;y=poisspdf(x,3);plot(x,y) 31/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数=3的泊 松分布，求 – (1) 每小时恰有4次呼叫的概率 – (2) 一小时内呼叫不超过5次的概率 – (3) 画出分布律图像 31/ 3 4 4 4! 3 4! (1) ( 4) − − P X = = e = e = − = = = = 5 0 3 5 0 ! 3 (2) ( 5) ( ) k k k e k P X P X k 在Matlab中输入以下命令： (1)p1= poisspdf(4,3) (2)p2= poisscdf(5,3) (3)x=0:1:20;y=poisspdf(x,3);plot(x,y) Matlab实验