§2.2离散型随机变量及其概率分布 ●首先看一下事件A在某指定k次试验中发生，比如在第1， i2,…,k次试验中A发生，而其余n一k次试验中不发生的 概率。由于这次试验是相互独立的，则相应概率为 -pp.…p(1-p)(1一p)小(1-p)=p1-p)n-k ↑↑t -i2…ik ●这样的指定方式共有C种两两互不相容的方式（两两不同 的方式) 因此n次试验中事件A发生k次的概率为Cp(1一p)”-,令 q=1-p有 P{X=k)=Ck pkq"-k,k=0,1,...,n 17/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 首先看一下事件A在某指定k次试验中发生，比如在第i1， i2，...，ik次试验中A发生，而其余n－k次试验中不发生的 概率。由于这n次试验是相互独立的，则相应概率为 – p•p•...•p•(1－p)•(1－p)•...•(1－p)＝p k (1－p) n－k – i1 i2 ... ik ⚫ 这样的指定方式共有 种两两互不相容的方式（两两不同 的方式） ⚫ 因此n次试验中事件A发生k次的概率为 p k (1－p) n－k，令 q＝1－p有 – P{X=k}＝ p kq n－k ，k＝0，1，...，n 17/ k Cn k Cn k Cn
§2.2离散型随机变量及其概率分布 ●分布律的两个条件的验证： -PX==Cpq-20,k=0,1,2,,n -而∑P{X=k;=∑Cpq=(p+q)”=1 k=0 k=0 一即非负性和归一性均满足 ·所以P{X==Ckpq"-k,k=0,1,…,n即为所求 分布 一由于pq-k恰好是(p叶q)"的二项展开式中出现p的那一项， 故称随机变量X服从参数为，p的二项分布，记为 Xb(n,p),n=1时化为(0-1)分布 18/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 分布律的两个条件的验证： – P{X=k}＝ p kq n－k0，k＝0，1，2，...，n – 而 – 即非负性和归一性均满足 • 所以P{X=k}＝ p kq n－k ，k＝0，1，...，n即为所求 分布 – 由于p kq n－k恰好是(p+q) n的二项展开式中出现p k的那一项， 故称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为 X～b(n，p)，n＝1时化为(0-1)分布 18/ k Cn = − = = = = + = n k k k n k n n n k P X k C p q p q 0 0 { } ( ) 1 k Cn
§2.2离散型随机变量及其概率分布 ●已知Y~b(20,0.2)求Y分布率的值，并划出图形 ●在Matlab中输入以下命令： Matlab实验 -binopdf(10,20,0.2) 0.2 -x=0:1:20; -y=binopdf(x,20,0.2) 0.15 -plot&,y,‘r.） 0.1 0.05 结果： ans= 0.0020 5 10 15 20 y=0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 19/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 已知Y~b(20, 0.2)求Y分布率的值，并划出图形 ⚫ 在Matlab中输入以下命令： – binopdf(10,20,0.2) – x=0:1:20; – y=binopdf(x,20,0.2) – plot(x,y, ‘r.’) 19/ 结果： ans = 0.0020 y =0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0 1 5 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Matlab实验
§2.2离散型随机变量及其概率分布 ●二项分布中的概室最大项： 先求分布律中的极大值点，它应该满足如下不等式组 1)P(X=k)=Ckpkg"-kCkpk-1g"-k+1=P(X=k-1 2)P{X=k=Cpq"-之C+p+1q”-k-1=PX=k+1 -由1)得k≤(n+1)p由2)得k≥(n+1)p-1 -联立1)和2)有(+1)p-1≤k≤(+1)p 一 当(n+1)p为整数时，k=(+1)p和(+1)p-1时取得最大值 -当(n+1)p为非整数，k=[(+1)p时取得最大值 ● 二项分布的一般图示： ↑PX=k 123456789 20/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 ⚫ 二项分布中的概率最大项： 先求分布律中的极大值点，它应该满足如下不等式组 1）P{X=k}＝ p kq n－k p k－1q n－k＋1＝P{X=k-1} 2）P{X=k}＝ p kq n－k p k＋1q n－k－1＝P{X=k+1} – 由1)得k≤(n+1)p 由2)得k≥(n+1)p-1 – 联立1)和2) 有(n+1)p-1≤k≤(n+1)p – 当(n+1)p为整数时，k＝(n+1)p和(n+1)p-1时取得最大值 – 当(n+1)p为非整数，k＝[(n+1)p]时取得最大值 ⚫ 二项分布的一般图示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k 20/ P{X=k} k Cn k Cn k−1 Cn k+1 Cn
§2.2离散型随机变量及其概率分布 例2：近似二项分布 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在随机抽取20只，问20只元 件中恰有k只为一级品的概率是多少？ 解： 本题是不放回抽样问题，由于元件总数很大，而抽查元件数量远远 小于元件总数，可以近似当作放回抽样来处理。 -A:抽取一只元件是一级品P(4)=0.2 如果看作放回抽样，每次检查元件是相互独立的，则检查20只元件 相当于做20重伯努利试验，以X记20只元件中一级品的只数，那么 随机变量X服从二项分布，即X~b(20,0.2)即有 -P{X=k}=C200.20.820-k,k=0,1,2,…,20. 21/
§2.2 离散型随机变量及其概率分布 例2：近似二项分布 – 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在随机抽取20只，问20只元 件中恰有k只为一级品的概率是多少？ 解： – 本题是不放回抽样问题，由于元件总数很大，而抽查元件数量远远 小于元件总数，可以近似当作放回抽样来处理。 – A：抽取一只元件是一级品 P(A)＝0.2 – 如果看作放回抽样，每次检查元件是相互独立的，则检查20只元件 相当于做20重伯努利试验，以X记20只元件中一级品的只数，那么 随机变量X服从二项分布，即X～b(20, 0.2)即有 – P{X=k}＝ 0.2k0.820－k ，k＝0，1，2，...，20. 21/ k C20