机械控制工程基础s13324013s2s3由劳斯表的第一列看出：系数符号不全为正值，从+1→-2-→+3，符号改变两次，说明闭环系统有两个正实部的根，即在s的右半平面有两个极点，所以控制系统不稳定。6.2.3劳斯判据的特殊情况在应用劳斯判据判别系统稳定时，有时会遇到以下两种特殊情况。①劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不全为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷，劳斯表的计算将无法进行。这时可以用一个很小的正数来代替第一列等于零的元素，然后再计算表的其他各元素。【例6.4】设某系统的特征方程为D(s)=s*+2s3+s?+2s+1=0，试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：根据特征方程的各项系数，列出劳斯表111s220s30=61s22-25s/1当ε→0时，（2-2/e)<0，劳斯表中第一列各元素符号不全为正，因此系统不稳定。第一列各元素符号改变两次，说明系统有两个具有正实部的根。②劳斯表中某一行的元素全部为零，这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。【例6.5】已知系统的特征方程为D(s)= s°+2s+8s*+12s3+20s2+16s+16=0试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：根据特征方程的各项系数，列出劳斯表56118220165212160s2120216s00o由于3行的元素全为零，由其上一行构成辅助多项式为A(s)=2s* +12s2 +16A(s)对s求导，得一新方程150
150 4 3 2 1 0 1 3 3 2 4 0 1 3 2 3 s s s s s − 由劳斯表的第一列看出：系数符号不全为正值，从+1→-2→+3，符号改变两次，说明闭 环系统有两个正实部的根，即在 s 的右半平面有两个极点，所以控制系统不稳定。 在应用劳斯判据判别系统稳定时，有时会遇到以下两种特殊情况。 ① 劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不全为零，则在计算下一行第一 个元素时，该元素必将趋于无穷，劳斯表的计算将无法进行。这时可以用一个很小的正数 ε 来代替第一列等于零的元素，然后再计算表的其他各元素。 【例 6.4】 设某系统的特征方程为 4 3 2 D s s s s s ( ) 2 2 1 0 = + + + + = ，试用劳斯判据判别系 统的稳定性。 解 根据特征方程的各项系数，列出劳斯表 4 3 2 1 0 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 1 s s s s s − 当 ε→0 时，(2-2/ε)<0，劳斯表中第一列各元素符号不全为正，因此系统不稳定。第一列 各元素符号改变两次，说明系统有两个具有正实部的根。 ② 劳斯表中某一行的元素全部为零，这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项 式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。 【例 6.5】 已知系统的特征方程为 6 5 4 3 2 D s s s s s s s ( ) 2 8 12 20 16 16 0 = + + + + + + = 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：根据特征方程的各项系数，列出劳斯表 6 5 4 3 1 8 20 16 2 12 16 0 2 12 16 0 0 0 0 s s s s 由于 s 3 行的元素全为零，由其上一行构成辅助多项式为 4 2 A s s s ( ) 2 12 16 = + + As( ) 对 s 求导，得一新方程
第6章系统稳定性分析dA(s)=85 +24sds用上式各项系数作为3行的各项元素，并根据此行再计算劳斯表中～s°行各项元素，得到劳斯表8s|120165212160$212160s30-→830→240$26160s808/30s°16表中第一列各元素符号都为正，说明系统没有右根，但是因为3行的各项系数全为零说明虚轴上有共轭虚根，其根可解辅助方程2s* +12s2 +16=0得St2 =±V2j, S3,4 =±2j由此可见，系统处于临界稳定状态。6.3Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据也是根据系统稳定的充分必要条件导出的一种稳定判别方法。它是利用系统开环Nyquist图，来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据。应用Nyquist稳定判据不必求解闭环系统的特征根就可以判别系统的稳定性，同时还可以得知系统的稳定储备一一相对稳定性及指出改善系统稳定性的途径。因此，在控制工程中，得到了广泛的应用。6.3.1米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理是证明Nyquist稳定判据的一个引理，它研究系统特征方程的频率特性，根据系统相角的变化，判断系统的稳定性。设系统的特征方程为(6.8)D(s)=a,s" +a,-s"-+...+a,s+ao=0(6.9)D(s)=a,(s-s,)(s-s,)..-(s-s,)=0式中，S1，S2，…，Sn为系统的特征根。假设已知根s在[]平面上的位置，则可以从坐标原点引出S和s的向量，S和s间的连线即向量（s-S），如图6.1所示。在式（6.9）中，令s-jの，得到特征方程的频率特性151
151 d ( ) 3 8 24 d A s s s s = + 用上式各项系数作为 s 3 行的各项元素，并根据此行再计算劳斯表中 s 2～s 0 行各项元素，得 到劳斯表 6 5 4 3 2 1 0 1 8 20 16 2 12 16 0 2 12 16 0 0 8 0 24 0 6 16 0 8/ 3 0 16 0 s s s s s s s → → 表中第一列各元素符号都为正，说明系统没有右根，但是因为 s 3 行的各项系数全为零， 说明虚轴上有共轭虚根，其根可解辅助方程 4 2 2 12 16 0 s s + + = 得 1,2 s j = 2 ， 3,4 s j = 2 由此可见，系统处于临界稳定状态。 6.3 Nyquist 稳定判据 Nyquist 稳定判据也是根据系统稳定的充分必要条件导出的一种稳定判别方法。它是利用 系统开环 Nyquist 图，来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据。 应用 Nyquist 稳定判据不必求解闭环系统的特征根就可以判别系统的稳定性，同时还可以 得知系统的稳定储备——相对稳定性及指出改善系统稳定性的途径。因此，在控制工程中，得 到了广泛的应用。 米哈伊洛夫定理是证明 Nyquist 稳定判据的一个引理，它研究系统特征方程的频率特性， 根据系统相角的变化，判断系统的稳定性。 设系统的特征方程为 1 1 1 0 ( ) 0 n n D s a s a s a s a n n − = + + + + = − （6.8） 1 2 ( ) ( )( ) ( ) 0 D s a s s s s s s = − − − = n n （6.9） 式中，s1，s2，.，sn 为系统的特征根。假设已知根 si 在[s]平面上的位置，则可以从坐标原点 引出 si 和 s 的向量，si 和 s 间的连线即向量（s-si），如图 6.1 所示。 在式（6.9）中，令 s=jω，得到特征方程的频率特性
机械控制工程基础.Re图6.1[s]平面上向量的表示(6.10)D(jo)=a(jo-s,jo-s,)...(jo-s.)在图6.2中从各s点引到j的向量即表示（j一si）。式（6.10）是一个复数，它的模和相角分别为ID(jo)=a,ljo-s,ljo-sljo-s,(6.11)/D(jo)=Z(jo-s,)+Z(jo-s2)+...+Z(jo-s.)当の变化时，jo沿着虚轴变化，向量D(j)的矢端就沿着虚轴滑动，ZD(j@)也相应变化。当の由-8变到+8时，如果向量(js)的矢端（根si）位于[s]平面的左半边，那么(j-s)逆时针旋转+元角度：如果向量(i@-sr)的端（根sk）位于[s]平面的右半边，那么Z(i@-ss)顺时针旋转一元角度，如图6.3所示。0ReS4oRe.--.---s5S图6.2向量(j-s)的表示图6.3向量(jo-s)的相角变化个根在左平面，则当0现假定n阶特征方程D(jo)有p个根在[s]平面的右半平面，（n-p）由一0o变到+oo时，向量D(jの)的相角变化为(6.12)△ZD(j0)=(n-2p)元152
152 图 6.1 [s]平面上向量的表示 1 2 (j ) (j )(j ) (j ) D a s s s = − − − n n （6.10） 在图 6.2 中从各 si 点引到 jω 的向量即表示（jω－si）。式（6.10）是一个复数，它的模和相角分 别为 1 2 | ( ) | | j || j | | j | D j a s s s = − − − n n 1 2 (j ) (j ) (j ) (j ) = − + − + + − D s s s n （6.11） 当 ω 变化时，jω 沿着虚轴变化，向量 D(jω)的矢端就沿着虚轴滑动，∠D(jω)也相应变化。 当 ω 由-∞变到+∞时，如果向量(jω-si)的矢端（根 si）位于[s]平面的左半边，那么∠(jω-si)逆 时针旋转+π 角度；如果向量(jω-sk)的矢端（根 sk）位于[s]平面的右半边，那么∠(jω-sk)顺时针 旋转－π 角度，如图 6.3 所示。 图 6.2 向量(jω-si)的表示 图 6.3 向量(jω-si)的相角变化 现假定 n 阶特征方程 D(jω)有 p 个根在[s]平面的右半平面，（n-p） 个根在左平面，则当 ω 由－∞变到+∞时，向量 D(jω)的相角变化为 D n p (j ) ( 2 ) − + = − ∞ （6.12） ≤ ≤ (s−si) si s +j O Re +j j s1 s4 O s3 s5 s2 Re Re O +j si sk
第6章系统稳定性分析这就是米哈伊洛夫定理在式（6.8）中，令5-io，得到特征方程D(jo)=a(jo)"+a.-(jo)"-l+...+a(jo)+a,=0将实部和虚部分开，得D(jo)=U()+ jV(@)(6.13)式中U(o)=a -a,o’ +a,o*V(o)=ao-ao+ao由于U(0)=U(-0))V(0)=-V(-0)故(6.14)D(-jo)=U(o)-jV(o)由式（6.13）和式（6.14）可知，向量D(j@)在[s)平面上是关于实轴对称的，所以米哈伊洛夫定理的公式（6.12）还可以写成AD(jo)=(n-2p)(6.15)050+e如果系统是稳定的，它的特征根应全部位于[s]平面的左半平面，即p=0，式（6.15）变为AZD(j0)=n"(6.16)20404+06.3.2Nyquist稳定判据设反馈控制系统如图6.4所示，开环传递函数为M(s)G,(s)=G(s)H(s) =Dk(s)而其闭环传递函数G(s)G(s)G(s)Dx (s)G(s)=1+Gk1+M@"D(s)+M.(s)D:(s)令Dk(s)+M(s)_ LD,(s)F(s)=1+G, =(6.17)D(s)Dk(s)153
153 这就是米哈伊洛夫定理。 在式（6.8）中，令 s=jω，得到特征方程 1 1 1 0 (j ) (j ) (j ) (j ) 0 n n D a a a a n n − = + + + + = − 将实部和虚部分开，得 D U V (j ) ( ) j ( ) = + （6.13） 式中 2 4 0 2 4 3 5 1 3 5 ( ) ( ) U a a a V a a a = − + − = − + − 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) U U V V = − = − − 故 D U V ( j ) ( ) j ( ) − = − （6.14） 由式（6.13）和式（6.14）可知，向量 D(jω)在[s]平面上是关于实轴对称的，所以米哈伊 洛夫定理的公式（6.12）还可以写成 0 (j ) ( 2 ) 2 D n p + = − （6.15） 如果系统是稳定的，它的特征根应全部位于[s]平面的左半平面，即 p=0，式（6.15）变为 0 (j ) 2 D n + = （6.16） 设反馈控制系统如图 6.4 所示，开环传递函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K K M s G s G s H s D s = = 而其闭环传递函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) K B K K K K K G s G s G s D s G s G D s M s M s D s = = = + + + 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) K K B K K K D s M s D s F s G D s D s + = + = = （6.17） ≤ ≤ ≤ ≤