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一、泰勒级数二、函数展开成幂级数函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数,则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数

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设函数fx)在点x的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则fx) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是fx)的泰勒公式中的余项R(x)当n->0时的极限为零,即

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一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算

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定理2(收敛半径的求法) 如果imn+p,则幂级数anxn的收敛半径R为:

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定理1阿贝尔定理) 如果幂级数Σaxn当x=x(x≠0)时收敛,则适合不等式 kxl的一切x使幂级数Σanx绝对收敛. 反之,如果幂级数Σanxn当x=x,时发散,则适合不等式 x>lxl的一切x使幂级数axn发散

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一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

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定理7莱布尼茨定理) 如果交错级数∑(-1)nun满足条件:则级数收敛,且其和s≤u,其余项r的绝对值run 简要证明设级数的前n项部分和为S2可写成

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简要证明由极限的定义可知,对ε=,存在自然数N 当n>N时,有不等式 1-1

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简要证明仅就uvn(n=1,2,…)的情形证明设级数v收敛,其和为,则级数un的部分和 S=u1+u2++unv1+v2+…+vno(n=1,2,), 即部分和数列{sn}有界.因此级数un收敛反之,若级数un发散,则级数∑v,必发散.这是因为如果级数∑v收敛,由已证结论,级数un也收敛,矛盾

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一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质

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