令定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数∑ax当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式 xKkx的一切x使幂级数∑ax"绝对收敛 反之,如果幂级数∑ar当x=x0时发散,则适合不等式 x}x的一切x使幂级数∑anx发散 简要证明先证第一部分 设∑any在点x收敛,则有arx0-0(n>∞ 于是存在一正数M,使nx。M(m=0,1,2,… 因为(anx|=1an2.x |=1小x≤Mx, 而当xx时,等比级数∑MP收敛 所以级数∑ax收敛,也就是级数∑ax绝对收敛 上贝返回
上页 返回 下页 如果幂级数∑an x n当x=x0 (x00)时收敛, 则适合不等式 |x|<|x0 |的一切x使幂级数∑an x n绝对收敛. 反之, 如果幂级数∑an x n当x=x0时发散, 则适合不等式 |x|>|x0 |的一切x使幂级数∑an x n发散. 简要证明 设∑an x n在点x0收敛, 所以级数∑|an x n |收敛, 也就是级数∑an x n绝对收敛. 则有an x0 n→0(n→), 于是存在一正数M , 使|an x0 n |M (n=0, 1, 2, ). 因为 n n n n n n n n n n x x M x x a x x x |a x | |a x | | | | | | | 0 0 0 0 0 = = , 而当| | | | 0 x x 时, 等比级数 n n x x M | | 0 0 = 收敛, 先证第一部分. 因为 n n n n n n n n n n x x M x x a x x x |a x | |a x | | | | | | | 0 0 0 0 0 因为 = = , n n n n n n n n n n x x M x x a x x x |a x | |a x | | | | | | | 0 0 0 0 0 因为 = = , n n n n n n n n n n x x M x x a x x x |a x | |a x | | | | | | | 0 0 0 0 0 = = , 下页 ❖定理1(阿贝尔定理)
令定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数∑ax当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式 xKkx的一切x使幂级数∑ax"绝对收敛 反之,如果幂级数∑ar当x=x0时发散,则适合不等式 x}x的一切x使幂级数∑anx发散 简要证明再证第二部分 可用反证法证明.倘若幂级数当x=x时发散而有一点x适 合1使幂级数收敛,则根据本定理的第一部分,幂级数当 x=x时应收敛,这与所设矛盾.定理得证 上页 下页
上页 返回 下页 如果幂级数∑an x n当x=x0 (x00)时收敛, 则适合不等式 |x|<|x0 |的一切x使幂级数∑an x n绝对收敛. 反之, 如果幂级数∑an x n当x=x0时发散, 则适合不等式 |x|>|x0 |的一切x使幂级数∑an x n发散. 简要证明 再证第二部分. 可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适 合|x1 |>|x0 |使幂级数收敛, 则根据本定理的第一部分,幂级数当 x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 返回 ❖定理1(阿贝尔定理)