S11.3幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 首页 页 返回 结束
§11.3 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、函数项级数的概念 今函数项级数 ∑un(x)=1(x)+a2x)3(x)+…+x)+…,x∈ 收敛点与发散点 使函数项级数收敛的点x称为函数项级数的收敛点 使函数项级数发散的点x称为函数项级数的发散点 收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域 提示对于每一个确定的值x∈l,函数项级数成为常数项级数 l1(x0)+2(x0)+13x0)+…+ln(x0)+ 这个常数项级数或者收敛或者发散 首页 上页 返回 页结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数项级数的概念 提示: 由定义在区间I上的函数列{un (x)}所构成的表达式 u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x)+ 称为定义在区间 I 上的(函数项)级数 记为 =1 ( ) n n u x . ❖函数项级数 =1 ( ) n n u x =u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x)+ xI. ❖收敛点与发散点 提示:对于每一个确定的值x0I函数项级数成为常数项级数 u1 (x0 )+u2 (x0 )+u3 (x0 )+ +un (x0 )+ 这个常数项级数或者收敛或者发散. 使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点; 使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点. 收敛点的全体称为收敛域发散点的全体称为发散域. 下页
今函数项级数的和函数 在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称 为函数项级数∑n(x)的和函数,并写成(x)∑u(x) 和函数的定义域就是级数的收敛域 今函数项级数的部分和 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作S(x),即 Sn(x)=41(x)+2(x)+43x)+…+l(x) 在收敛域上有s(x)→>s(x)(n>∞) 注 ∑4(x)是∑ln(x)的简便记法,以下不再重述 首页 上页 返回 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖函数项级数的和函数 ❖函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域. 在收敛域上 函数项级数∑un (x)的和是x的函数s(x) 它称 为函数项级数∑un (x)的和函数 并写成s(x)=∑un (x). 函数项级数∑un (x)的前n项的部分和记作sn (x)即 sn (x)=u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x). 在收敛域上有sn (x)→s(x)(n→). 注: ∑un (x)是 =1 ( ) n n u x 的简便记法 以下不再重述. 下页
今函数项级数的和函数 在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称 为函数项级数∑n(x)的和函数,并写成(x)∑u(x) 和函数的定义域就是级数的收敛域 今函数项级数的部分和 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作S(x),即 Sn(x)=41(x)+2(x)+43x)+…+l(x) 在收敛域上有s(x)→>s(x)(n>∞) 今函数项级数的余项 函数项级数∑un(x)的余项记为;(x),它是和函数s(x)与部 分和s(x)的差:rn(x)=s(x)-s(x) 在收敛域上有rn(x)>0(n>∞) 自 上页 返回 下页 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖函数项级数的余项 函数项级数∑un (x)的余项记为rn (x) 它是和函数s(x)与部 分和sn (x)的差: rn (x)=s(x)−sn (x). 在收敛域上有rn (x)→0(n→). 首页 ❖函数项级数的和函数 ❖函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域. 在收敛域上 函数项级数∑un (x)的和是x的函数s(x) 它称 为函数项级数∑un (x)的和函数 并写成s(x)=∑un (x). 函数项级数∑un (x)的前n项的部分和记作sn (x)即 sn (x)=u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x). 在收敛域上有sn (x)→s(x)(n→)
二、幂级数及其收敛性 今幂级数 在函数项级数中,形如 astata,x=+ +a,x+ 的级数称为幂级数,其中常数a(=1,2,…)叫做幂级数的系数 幂级数举例 1+x+x2+x3+·+xn+ 1+x+x2+…+xn+ 说明:幂级数的一般形式是 a+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+a1(x-x0)+ 这种形式经变换=x-x可化为上述定义形式 首页上页返回二 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、幂级数及其收敛性 在函数项级数中 形如 a0+a1 x+a2 x 2+ +an x n+ 的级数称为幂级数 其中常数ai (i=1,2, )叫做幂级数的系数. ❖幂级数 1+x+x 2+x 3+ +x n + ! 1 2! 1 1 2 + + + + + n x n x x . 幂级数举例: 说明: 幂级数的一般形式是 a0+a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 ) 2+ +an (x−x0 ) n+ . 这种形式经变换t=x−x0可化为上述定义形式. 下页