§114函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数fx)是否能在某个区间内“展开成幂级 数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某 区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数(x).如果 能找到这样的幂级数,则称函数f(x)在该区间内能展 开成幂级数 自
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 §11.4 函数展开成幂级数 函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级 数” , 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某 区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果 能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展 开成幂级数. 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、泰勒级数 复习 根据泰勒中值定理,如果函数(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数,则在该邻域内 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+D01(x-x)2+… f((x) (x-xon+r,(x) 其中R2(x)= (n+1) (x-x0)1(介于x与x之间) 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数, 这个幂级数就称为(x)的泰勒级数 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 ❖复习 根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数, 则在该邻域内 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数. ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 − + = + − + x x f x f x f x f x x x ( ) ( ) ! ( ) 0 0 ( ) x x R x n f x n n n + − + , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x (介于 x 与 0 x 之间). 下页
一、泰勒级数 ◆泰勒级数 如果函数fx)在点x0的某邻域内具有各阶导数,则幂级数 f(x)+f(x)(x-4"(x) x-x)2+ x-x)3+∴ 3! 称为函数f(x)的泰勒级数 ☆麦克劳林级数 在泰勒级数中取x=0,得 f(0)+f(0)x+ f()(O x2+∴+ rn+ 2 此级数称为fx)的麦克劳林级数 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 ❖泰勒级数 如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数 称为函数f(x)的泰勒级数. ❖麦克劳林级数 在泰勒级数中取x0=0,得 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − + − + + − + x x f x x x f x f x f x x x , + + + + + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , 下页
一、泰勒级数 ◆泰勒级数 (x)+()(-5)+2(x=x)+x x-x)3+ 必麦克劳林级数 0+)0x-"(x2+…×<(m+ 显然,当x=x时,fx)的泰勒级数收敛于f(x0) 需回答的问题是:除了x=x0外,八x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛,它是否一定收敛于fx) 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0 ). 需回答的问题是: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? + + + + + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , . ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − + − + + − + x x f x x x f x f x f x x x , . 下页 ❖泰勒级数 ❖麦克劳林级数
一、泰勒级数 ◆泰勒级数 (x)+r(x)-=)+(x)(x-x)+/(x)(x-x)y+ 必麦克劳林级数 0+)0x-"(x2+…×<(m+ 今定理 设函数x)在点x的某一邻域U(x)内具有各阶导数,则fx) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是fx)的泰勒 公式中的余项R(x)当n>0时的极限为零,即 imR(x)=0(x∈U(x0)> n→>0 页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0 )内具有各阶导数, 则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn (x)当n→0时的极限为零, 即 ❖定理 lim ( ) 0 ( ( )) 0 R x x U x n n = → . >>> 定理证明 下页 + + + + + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , . ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − + − + + − + x x f x x x f x f x f x x x , . ❖泰勒级数 ❖麦克劳林级数