定理15.1若级数￥Lagl + a ( a, I + b, ).2n=1收敛，则级数（4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛证对任何实数x，由于I a, cosnx +b, sinnx |f| a, I +Ibn l,根据优级数判别法，就能得到本定理的结论为进一步研究三角级数(4)的收敛性，先讨论三角函数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所后贡巡回前页
前页 后页 返回 定理 15.1 若级数 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
有函数具有共同的周期2元，其次，在三角函数系(5)中，任何两个不相同的函数的乘积在[-p,pl止上的积分等于零,即元(6)0, cos nxdx =0, sin xdx =0,元U0'n),cos mxcos nxdx =0 (m 1 r2元0(7)sin mx sin nxdx =0 (m ' n), yicos mxsin nxdx =0.0元b而(5)中任何一个函数的平方在 [-元, 元] 上的积分都后贡巡回前页
前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 上的积分都
不等于零，即uO, cos" nxdx = 0' sin?xdx=元(8)y10, 1'dx =2 元b7若两个函数] 与y 在[a,b] 上可积,且gi (x)y (x)dx =0则称j 与 在[a,b] 上是正交的, 或在[a,b]上具有正文性. 由此三角函数系(4)在 [- 元,元] 上具有正交性,或者说(5)是正交函数系后贡巡回前页
前页 后页 返回 不等于零, 即 若两个函数 与 在 上可积, 且 则称 与 在 上是正交的, 或在 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系
二、以2p为周期的函数的傅里叶级数现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f 与级数(4)的系数o,a,,b,之向的关系。若在整个数轴上定理15.2?f(x)="g+a (a, cos nx+b, sinnx)(9)-2n=-1且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：17f(x)cosnxdx , n = 0,1,2,L ,(10a)a.=1T元1b.=(10b)f(x)sinnxdx , n =1,2,Ln元后贡巡回前页
前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 之间的关系. 定理15.2 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数
证由定理条件,函数f 在[-p,p]上 连续且可积.对(9）式逐项积分得o,f(x)dx￥ao"dx + a (a. O, cos nxdx + b, O, sin nxdx).Q2n=1由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零所以(x)dx = "g 2 元 = a, ,2后贡邀回前页
前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以