例 6 例1：无限循环群亿，+) (亿，+〉是循环群，恰有2个生成元：1和一1 :n为Z之生成元台Z=(n)台(3k∈Z)nk= 1台(3k∈Z)(k·n=1)台n∈{1，-1 “.1和一1均是其生成元
6 例
例 。例2：有限循环群 模6剩余加群(Z6,⊕6)是循环群，恰有2个生成 元：1和5 50=0,51=5,52=4, 53=3,54=2,55=1
7 例
例 8 例3：非循环群 Klein四元群(V,*)不是循环群，因为对任何 x∈V,(x）={e,x}: 米 e a b e e a b c a a e b b b C e a c b a e
8 例
无限循环群的生成元 9 8命题：若a是无限循环群的生成元，则a-1也 是该无限循环群的生成元 >设群G=(a）={aka∈G,k∈Z,ak= (a-1)-k,令p=-k,则G={(a-1)Plp∈Z ,故G=(a-1〉
9 无限循环群的生成元
无限循环群的生成元（续） 10 命题：无限循环群有且只有2个生成元 ●：设群G=(a）={ak|a∈G,k∈Z,若b亦为G的 生成元，则：(3m,t∈Z)(am=b∧bt=a),故 a=bt=(am)t=amt,由消去律，amt-1=e a是无限阶元∴.mt-1=0→(m=t=1)V (m=t=-1),故有b=a或者b=a-1
10 无限循环群的生成元（续）