人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 值,d都有一个对应值,即d是n的函数. 问题2某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量 如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计 划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? 这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 件,再经过一年后 的产量是 件,即两年后的产量为 y=20(1+x)2, y=20x2+40x+20 ③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的 每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数 函数①,②,③有什么共同点? 在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的,一般地,形如 ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠( 函数,叫做二次函数( quadratic function).其中,x是自变量,a,b,c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 现在我们学习过的函数有:一次函数y=kx+bk≠0),其中包括正比例 函数y=kx(k≠0,反比例函数、y(0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).可 以发现,这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系 练习 1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径之间的关系式 2.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队 数n之间的关系式 第二十六章二次函数3 1/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 26.1.2二次函数y=ax2的图象 次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,二次函数 的图象是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图象? 我们先来画最简单的二次函数y=x2的图象 在y=x2中自变量x可以是任意实数,列表表示 结合图象讨论性 几组对应值(填表) 质是数形结合地研究 函数的重要方油,我 们将从最简单的二次 数开始逐步深入地 讨论一般二次函数的 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)困象和性质 (图26.1-3),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到 y=x2的图象(图26.1-4) 还记得如何用 描点法画一个数 的图象吗? 图26.1-3 图26.14 可以看出,二次函数y=x2的图象是一条曲 线,它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中 所经过的路线,只是这条曲线开口向上这条曲 线叫做抛物线y=x2.实际上,二次函数的图象都 是抛物线,它们的开口或者向上或者向下.一般 地,二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线 12/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 还可以看出,y轴是抛物线y=x2的对称轴 由于点(m, 抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做 m2)和它关于y轴 抛物线y=x的顶点,它是抛物线y=x2的最低 的对称点(-m m2)都在抛物线 点.实际上,每条抛物线都有对称轴,抛物线与 y=x2上,所以抛物 对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线 线y=x2关于y轴 的最低点或最高点 例1在同一直角坐标系中,画出函数y=x2, y=2x的图象 解:分别填表,再画出它们的图象(图26.1-5) 图26.1-5 函数y=5x2,y=2x2的图象与函数y=x(图26.1-5中的虚线图形) 的图象相比,有什么共同点和不同点? 椰究 画出函数y=-x2,y=-2x2 2x2的图象,并考虑这些抛 物线有什么共同点和不同点。 第二十六章二次函数5 13/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 你画出的图象与图26.1-6相同吗? 对比抛物线y x2和y=-x2,它们 关于x轴对称吗? 般地,抛物线y=ax2 图26.1 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,当a>0时, 抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越 小;当a<0时,抛物线的开口向,顶点是抛物线的最点,a越大, 抛物线的开口越 26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象 例2在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1,y=x2-1的图象 解:先列表 y=x2+1 然后描点画图,得y=x2+1,y=x2-1的图象 (图26.1-7) 图26.1-7 14/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 (1)抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系? 可以发现,把抛物线y=x2向上平移1个单位,就得到抛物线y=x2+1;把 抛物线y=x2向下平移1个单位,就得到抛物线y=x2-1. 把抛物线y=2x2向上平移5个单位,会得到哪条抛物线?向下平移 3.4个单位呢? 练习 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象 y=3x,y=1x+2.y=x-2 观幕三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点你能说出 抛物线y=5x2+是的开口方向、对称轴及顶点吗?它与抛物线y=5x2有什么美系? 究 画出二次函数y=-3(x+1)2,y=-5(x-1)2的图象,并考虑它 们的开口方向、对称轴和顶点 先列表 y=-号(x+1)2 y=-(x-1)2 第二十六章二次函数」7 15/137
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