《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第四章 特征值、特征向量及二次型（典型例题详解）

证明（反证法）假设α+β是矩阵A的特征向量，则存在数入使得A(α+)=2(α+β)而Aα=α，Aβ=β因此A(α+β)=Aα+Aβ=^α+^βα+β=(α)也即()+(-)=0又因为αβ为属于不同特征值的特征向量，所以α,β线性无关，因此有0，0进而有M=M=M这与条件2矛盾，故向量α+β不可能是矩阵A的特征向量例4.10设入是矩阵A的特征值，x是A的对应于入的特征向量1是A-"的特征值，x是A-的对应于（1）证明：当A可逆时，一的特征向量：M元[ALA是A的特征值，x是A的对应于（2）证明：当A可逆时，的特征向量：元元(3)设f(x)=α+ax+αx+.+a,x"，证明f(a)是f(A)的特征值，x是f(A)的对应于f(2)的特征向量.证明（1）因为A+0，所以元+0又Ax = AxA-Ax = A-1x两边同乘以A"可得即X=^A-'x1A-x =所以?

证明 （反证法）假设    是矩阵 A 的特征向量，则存在数 3 使得 3 A( ) ( )         而 A   1 ， A    2 因此 1 2 A A A ( )             1 2 3          ( ) 也即 1 3 2 3 ( ) ( ) 0           又因为  , 为属于不同特征值的特征向量，所以  , 线性无关，因此有 1 3    0， 2 3    0 进而有    1 2 3   这与条件   1 2  矛盾，故向量    不可能是矩阵 A 的特征向量. 例 4.10 设  是矩阵 A 的特征值， x 是 A 的对应于  的特征向量 （1）证明：当 A 可逆时， 1  是 1 A  的特征值， x 是 1 A  的对应于 1  的特征向量； （2）证明：当 A 可逆时， A  是 * A 的特征值， x 是 * A 的对应于 A  的特征向量； （3）设 2 0 1 2 ( ) n n f x a a x a x a x      ，证明 f ( )  是 f A( ) 的特征值， x 是 f A( ) 的对应于 f ( )  的特征向量. 证明 （1）因为 A  0 ，所以   0， 又 Ax x   两边同乘以 1 A  可得 1 1   A Ax A x  即 1   x A x  所以 1 1   A x x 

因此是A-"的特征值，x是A-的对应于的特征向量1元A"=LA（2）由于AA =|AA-I可得4x=|44'x=↓x=4则元2A是的特征值，x是A的属于因此的特征向量，入元(3) 由于f(A) (a EaA,aa"a)=aox+a,Ax+a,Ax+...+a,A"x=ax+aax+a,ax++a,a"x=(a+aa+a,a?++a,a")x=f(a)x因此结论成立.例4.11设方阵A满足A=A，证明A的特征值只能是0或1证明设入为A的任一特征值，x是与入所对应的特征向量，则Ax=Ax因此Ax =A(Ax)= A(ax)= (Ax)= ^(2x)=xA'x= Ax = Ax即x=x, (2-2)x=0由于特征向量x0，所以（22-)=0，即=0或=1，结论得证.例4.12设n阶方阵A满足A=3A，证明：（1）A的特征值只能是0或3；（2）A-4E，A+E，2A+3E均可逆证明（1）设入为A的任一特征值，x是与入所对应的特征向量，则A'x= A(Ax)= A(x) = (Ax) = (x) = 1xAx=3Ax=32x

因此 1  是 1 A  的特征值， x 是 1 A  的对应于 1  的特征向量. （2）由于 1 * 1 A A  A 可得 * 1 A A A  则 * 1 1       A A x A A x x x 因此 A  是 * A 的特征值， x 是 * A 的属于 A  的特征向量. （3）由于 2 0 1 2 ( ) ( )      n n f A x a E a A a A a A x 2      0 1 2 n n a x a Ax a A x a A x 2      0 1 2    n n a x a x a x a x 2 0 1 2       ( ) ( )     n n a a a a x f x 因此结论成立. 例 4.11 设方阵 A 满足 2 A A  ，证明 A 的特征值只能是 0 或 1. 证明 设  为 A 的任一特征值， x 是与  所对应的特征向量， 则 Ax x   因此 2 2 A x A Ax A x Ax x x      ( ) ( ) ( ) ( )      2 A x Ax x    即 2   x x  ，( )    2 x 0 由于特征向量 x  0 ，所以 2 ( ) 0    ，即   0 或  1 ，结论得证． 例 4.12 设 n 阶方阵 A 满足 2 A A  3 ，证明： （1） A 的特征值只能是 0 或 3 ； （2） A E 4 ， A E ，2 3 A E  均可逆. 证明 （1）设  为 A 的任一特征值， x 是与  所对应的特征向量， 则 2 2 A x A Ax A x Ax x x      ( ) ( ) ( ) ( )      2 A x Ax x   3 3

得x=3x，(2-3)x=0由于特征向量x0，所以(2-3)=0，即=0或=33（2）由（1）可知4,-1,-2均不是A的特征值，2因此[A-4E|+0A+E|=|A-(-1)E+0[24+3E=2(4+号)=2|--)E*0-2所以A-4E，A+E，2A+3E均可逆(-122)例4.13设A=2 -1 -2(2 -2 -1（1）求A的特征值；（2）求2A+E的特征值：（3）求E－A-的特征值解（1）令A-E=02-1-元22222-元[1-元即2-2-2-1- 元-20-1-元-3- 元420-2-1-入0-2-1-2-2-1-28] (+3)(=(1-元 )[( 32^>从而可得A的特征值为=-5，==1.（2）由于A的特征值为=-5，==1，因此2A+E的特征值分别为μ =2 +1= -9, =2 +1=3=μ3.（3）由于A的特征值为=-5，==1，所以A-"的特征值为

得 2   x x  3 ，( 3 )     2 x 0 由于特征向量 x  0 ，所以 2 ( 3 ) 0     ，即   0 或   3. （2）由（1）可知 3 4, 1, 2   均不是 A 的特征值， 因此 A E   4 0 A E A E      ( 1) 0 3 3 2 3 2( ) 2 ( ) 0 2 2 n A E A E A E        ， 所以 A E 4 ， A E ，2 3 A E  均可逆. 例 4.13 设 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A                 ， （1）求 A 的特征值； （2）求 2A E 的特征值； （3）求 1 E A  的特征值. 解 （1）令 A E    0， 即 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 0 3 4 2 2 1 0 2 1 0 2 1                                  2             (1 )[( 3 )( 1 ) 8] ( 5)( 1) 0      从而可得 A 的特征值为 1  5 ， 2 3    1. （2）由于 A 的特征值为 1  5 ， 2 3    1， 因此 2A E 的特征值分别为 1 1       2 1 9， 2 2 3        2 1 3 . （3）由于 A 的特征值为 1  5 ， 2 3    1， 所以 1 A  的特征值为