第八章不定积分s1不定积分概念与基本积分公式[教学目的】掌握原函数,不定积分的概念和性质，【教学要求】熟练掌握原函数的概念和基本积分公式。【教学重点］基本积分公式；不定积分的几何意义【教学难点】不定积分的几何意义【教学方法】“系统讲授”结合“问题教学”[教学程序]一原函数与不定积分1原函数定义1设函数f(x)与F(x)在区间I上有定义。若F(x)=f(x)，XEI，则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数11如：于“是亡在R上的一个原荫数；一cos2x+1，sin2x，-cos2x等都有是sin2x在cos2x,2R上的原函数一一若函数f（x）存在原函数，则其原函数不是唯一的问题1f(x)在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？问题2若函数f(x)的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）.2原函数存在定理定理8.1若f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数F(x).证明：在第九章中进行.说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件3原函数之间关系定理8.2设F(x)是f(x)在在区间I上的一个原函数，则（1）设F(x)+C是f(x)在在区间I上的原函数，其中C为任意常量（若f(x)存在原函数，则其个数必为无穷多个）（2）f（x）在I上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）.证明：由定义即可得.4不定积分定义2函数f(x)在区间I上的原函数的全体称为f(x)在1上的不定积分，记作：[ f(x)dx其中[--积分号；f(x)--被积函数；f(x)dx--被积表达式；x--积分变量.99
99 第八章 不定积分 §1 不定积分概念与基本积分公式 [教学目的] 掌握原函数,不定积分的概念和性质． [教学要求] 熟练掌握原函数的概念和基本积分公式． [教学重点] 基本积分公式；不定积分的几何意义. [教学难点] 不定积分的几何意义 [教学方法] “系统讲授”结合“问题教学”． [教学程序] 一 原函数与不定积分 1 原函数 定义 1 设函数 f (x) 与 F(x)在区间 I 上有定义．若 F(x) f (x) ， x I ，则称 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数． 如： 3 3 1 x 是 2 x 在 R 上的一个原函数； cos 2x 2 1 ， cos 2 1 2 1 x ， x 2 sin ， x 2 cos 等都有是sin 2x 在 R 上的原函数——若函数 f (x) 存在原函数，则其原函数不是唯一的． 问题 1 f (x) 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ 问题 2 若函数 f (x) 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）． 2 原函数存在定理 定理 8．1 若 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在 I 上存在原函数 F(x)． 证明：在第九章中进行． 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函 数不一定仍是初等函数）．（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件． 3 原函数之间关系 定理 8．2 设 F(x)是 f (x) 在在区间 I 上的一个原函数，则 （1）设 F(x) C 是 f (x) 在在区间 I 上的原函数，其中 C 为任意常量（若 f (x) 存在原函数，则其个数 必为无穷多个）． （2） f (x) 在 I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）． 证明：由定义即可得． 4 不定积分 定义 2 函数 f (x) 在区间 I 上的原函数的全体称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作： f (x)dx 其中 积分号； f (x) 被积函数； f (x)dx 被积表达式； x 积分变量．
注1「f(x)dx是一个整体记号；不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分是一个函数族(F(x)+C)，其中C是任意常数，于是，记为：「f(x)dx=F(x)+C.此时称C为积分常数，它可取任意实数．故有不定积分简单性质[Jf(x)dx)=(x)——先积后导正好还原；或dj f(x)dx = f(x)dx .[f(x)dx=(x)+C一一先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）.或 Jdf(x)= f(x)+C.[x'd=号+C, [sin2xdk--如：cos2x+C32几何意义：若F(x)是f(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f(x)的一条积分曲线。于是，f(x)的不定积分在几何上表示f(x）的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图。结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行，注：在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件F(x）=y。（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点（xo，yo）的那条积分曲线。如：见P179.二、基本积分公式1基本积分表由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：1. Jodk=C; 2. J1dx=Jdx=x+C; 3. J dx="a+1+C, (α*-Ix>0):4. J-dx=Inx+C, (x#0); 5. Je'dx =e' +C;6. Ja'd=a+C, (a>0.a1); 7 cosaxd=sinax+C, (a0):InaQ3. Jsinaxdx=-=cos ax+C,(a+0);9. Jsecxdx=tanx+C;a10. Jcsc xdx = -cot x+C; 11. Jsecx·tan xdx= secx+C;100
100 注 1 f (x)dx 是一个整体记号； 不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若 F(x)是 f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的不定积分是一个 函数族F(x) C，其中C 是任意常数，于是，记为： f (x)dx = F(x) C ． 此时称C 为积分常数，它可取任意实数．故有 不定积分简单性质 [ f (x)dx] f (x)——先积后导正好还原； 或 d f (x)dx f (x)dx ． f (x)dx f (x) C ——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）． 或 df (x) f (x) C ． 如： C x x dx 3 3 2 ， xdx x C cos 2 2 1 sin 2 ． 几何意义： 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则称 y F(x) 的图象为 f (x) 的一条积分曲线．于是， f (x) 的不定积 分在几何上表示 f (x) 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图． 结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行． 注： 在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件 0 0 F(x ) y （称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积 分曲线族中通过点( , ) 0 0 x y 的那条积分曲线．如：见 P179. 二 基本积分公式 1 基本积分表 由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因此， 我们只能先按照微分法的已知结果去试探．首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式： 1. 0dx C ；2. 1dx dx x C ；3. C x x dx 1 1 ，( 1, x 0) ； 4. dx x C x ln 1 ，(x 0) ；5. e dx e C x x ； 6. C a a a dx x x ln ， (a 0, a 1) ；7. ax C a axdx sin 1 cos ，(a 0) ； 8. ax C a axdx cos 1 sin ，(a 0) ；9. sec xdx tan x C 2 ； 10. csc xdx cot x C 2 ；11. sec x tan xdx sec x C ；
dx[cscx-cot xdx=-cscx+C; 13.2rcsinx+C=-arccosx+C,arctanx+C=-arc cotx+C,+x.注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结为这些基本不定积分另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分。2线性运算法则定理8.3若函数f(x)与g(x)在区间1上都存在原函数，ki,kz为两个任意常数，则k,f(x)+kzg(x)也存在原函数，且[k,f(x)+kzg(x)]dx=ki[f(x)dx+k,[g(x)dx（积分的线性)证明：由定义即得[k,J.(x)dx=2kJf(x)dx.注：线性法则的一般形式为：例1p(x)=aox"+a,x"-+...+an-ix+an,则[ p(x)dx=+x*+.+x*+a,x+C.n+12nx32[(x? -1+-例 2)dxx+2arctanx+C.x2 +1x2+1Sdx[cosx+sin'd= (csc + sc* x)dx例3cosxsin"xcos"xsin?x=-cotx+tanx+C11..1例 4J cos 3x · sin xdx = [(sin 4x -sin 2x)dx =-cos2x)+Ccos4x+242(cos4x-cos2x)+C.8例 5[(10* -10-*) dx =[(102* +10-2× - 2)dx = [(103)* +(10-)* -2]dx(102× -10-2)-22+C2ln10作业P1815(1)-(10)101
101 12. csc x cot xdx csc x C ；13. 1 2 arcsin arccos 1 x C x C x dx ； 14. 2 1 arctan cot 1 x C arc x C x dx ． 注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结为这些基本不 定积分．另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分． 2 线性运算法则 定 理 8.3 若 函 数 f (x) 与 g(x) 在 区 间 I 上 都 存 在 原 函 数 ， 1 2 k , k 为 两 个 任 意 常 数 ， 则 ( ) ( ) 1 2 k f x k g x 也存在原函数，且 [k f (x) k g(x)]dx k f (x)dx k g(x)dx 1 2 1 2 （积分的线性）． 证明：由定义即得． 注：线性法则的一般形式为： n i n i ki f i x dx ki f i x dx 1 1 ( ) ( ) ． 例 1 n n n n p x a x a x a x a 1 1 0 1 ( ) , 则 x a x C a x n a x n a p x dx n n n n 0 1 1 1 2 1 2 ( ) ． 例 2 x x C x dx x dx x x x 2arctan 3 ) 1 2 ( 1 1 1 3 2 2 2 4 ． 例 3 dx x x dx x x x x x x dx (csc sec ) cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 cot x tan x C ． 例 4 x xdx x x dx x x C cos 2 ) 2 1 cos 4 4 1 ( 2 1 (sin 4 sin 2 ) 2 1 cos3 sin (cos 4x cos 2x) C 8 1 ． 例 5 dx dx dx x x x x x x (10 10 ) (10 10 2) [(10 ) (10 ) 2] 2 2 2 2 2 C x x (10 10 ) 22 2ln10 1 2 2 ． 作业 P181 5（1）-（10）
s2换元积分法与分部积分法[教学目的】掌握第一、二换元积分法与分部积分法.【教学要求】熟练掌握换元积分法和分部积分法，正弦代换，正切代换，正割代换，根式代换的技巧【教学重点］换元积分法和分部积分法【教学难点]代换的选择技巧【教学方法]】系统讲授法.[教学程序]换元积分法定理8.4（换元积分法）设g(u)在[α,β]上有定义，u=(x)在[a,b]上可导，且α≤p(x)≤β,xe[a,b],记f(x)=g(o(x))p(x), xe[a,b] .(1)（第一换元积分法）若g(u)在[α,β)上存在原函数G(x)，则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x)且有 F(x)=G(p(x)+C，即[f(x)dx =[g(p(x)p'(x)dx = [g(u)du=G(u) +C= G(p(x)+C也可写为：[ g(p(x)p(x)dx=J g(p(x)dp(x)= (令 p(x)= u) =J g(u)du= G(u) +C=（代回u=p(x)) G(p(x)+C.（2）（第二换元积分法）又若p（x)0，xe[a,b]，则上述命题（1）可逆，即当f(x)在[a,b]存在原函数F(x)时，g(u)在[α,β上也存在原函数G(u)，且G(u)=F(p-"(u))+C，即Jg(u)du (令u= p(x) =g(p(x)p(x)dx=[ f(x)dx= F(x)+C (代回x=p-'(u)F(β-'(u))+C.证明：由不定积分的定义及求导法则即得，注：在第一换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量；在第二换元积分法中是用某一函数来代替其积分变量。（一）第一换元积分法（凑微法）例 1 求sinxcos xdx.dx例2求(a>0)a?+xdu若令u=三（第一换元法），可将积分化为：【分析】1+u?a102
102 §2 换元积分法与分部积分法 [教学目的] 掌握第一、二换元积分法与分部积分法． [教学要求] 熟练掌握换元积分法和分部积分法，正弦代换，正切代换，正割代换，根式代换的技巧. [教学重点] 换元积分法和分部积分法． [教学难点] 代换的选择技巧 [教学方法] 系统讲授法． [教学程序] 一 换元积分法 定理 8．4 （换元积分法） 设 g(u) 在[, ]上有定义，u (x) 在[a,b]上可导，且 (x) ， x [a,b] ，记 f (x) g((x))(x)， x [a,b] ． （1）（第一换元积分法）若 g(u) 在[, ]上存在原函数G(x) ，则 f (x) 在[a,b]上也存在原函数 F(x)， 且有 F(x) G((x)) C ，即 f (x)dx g((x))(x)dx g(u)du G(u) C G((x)) C ． 也可写为： g((x)) (x)dx g((x))d(x) （令(x) u) g(u)du G(u) C =（代回u (x) ）G((x)) C ． （2）（第二换元积分法） 又若(x) 0， x [a,b] ，则上述命题（1）可逆，即当 f (x) 在[a,b]存在 原函数 F(x)时， g(u) 在[, ]上也存在原函数G(u) ，且G(u) F u C ( ( )) 1 ，即 g(u)du （令u (x)) g((x))(x)dx f (x)dx F(x) C （代回 ( )) 1 x u F u C ( ( )) 1 ． 证明：由不定积分的定义及求导法则即得． 注：在第一换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量；在第二换元积 分法中是用某一函数来代替其积分变量． （一）第一换元积分法（湊微法） 例 1 求 sin x cos xdx 3 ． 例 2 求 2 2 a x dx (a 0) ． 【分析】 若令 a x u （第一换元法），可将积分化为： 2 1 u du ；
dx例3求Vo4duT【分析】若令u=（第一换元法），可将积分化为：同时也可令x=asinu，或adx例4求-a?1111【分析】因故可分别令u=x-a，u=x+a（第一换元法），可x2-a22ax-ax+adu将积分化为：u例5求[sec xdxdsinxJ1+sinx解：（方法一) Jsecxd=J.cosxdx=TcosxJ1-sinx2"1-sinxd(secx+tanx)[seexdx=J sex(seex+tandx（方法二）sec x+tan xsec x+tan x=lnsecx+tanx+C.使用第一换元积分法的关键：在于把被积表达式f(x)dx凑成g(p(x)p(x)dx=g(p(x))dp(x)形式，从而作变换u=p(x)，化积分为：「g(u)du：但要注意的是最后要换回原积分变量（二）第二换元积分法第二换元积分法的目的同第一换元法一样，也是被积函数化为容易求得原函数的形式，但最终同样不要忘记变量还原.du例6求Vu+Vu【分析】为了去掉被积函数中的根号，取根次数2和3的最小公倍数6，并令u=x°，则可化简积分例7求Na?-x dx (a>0)【分析】为了去掉被积函数中的根号，可令x=asint，也可令x=acostdx例8求(a>0).x2-a【分析】为了去掉被积函数中的根号，可令x=asect，也可令x=acsctdx例9求(a>0).(x2 +α2)【分析】为了化简被积函数，可令x=atant，或x=acott。<，于是，有解：令x=atant，2103
103 例 3 求 2 2 a x dx ． 【分析】 若令 a x u （第一换元法），可将积分化为： 2 1 u du ；同时也可令 x asinu ，或 例 4 求 2 2 x a dx ． 【分析】 因 ) 1 1 ( 2 1 1 2 2 x a a x a x a ，故可分别令u x a，u x a （第一换元法），可 将积分化为： u du ． 例 5 求 sec xdx ． 解：（方法一） C x x x d x dx x x xdx 1 sin 1 sin ln 2 1 1 sin sin cos cos sec 2 2 ． （方法二） sec xdx x x d x x dx x x x x x sec tan (sec tan ) sec tan sec (sec tan ) = ln sec x tan x C ． 使用第一换元积分法的关键：在于把被积表达式 f (x)dx 凑成 g((x))(x)dx g((x))d(x) 形式， 从而作变换u (x) ，化积分为： g(u)du ．但要注意的是最后要换回原积分变量． （二）第二换元积分法 第二换元积分法的目的同第一换元法一样，也是被积函数化为容易求得原函数的形式，但最终同样不要忘记 变量还原． 例 6 求 3 u u du ． 【分析】 为了去掉被积函数中的根号，取根次数 2 和 3 的最小公倍数 6，并令 6 u x ，则可化简积分． 例 7 求 a x dx 2 2 (a 0) ． 【分析】 为了去掉被积函数中的根号，可令 x asint ，也可令 x a cost ． 例 8 求 ( 0) 2 2 a x a dx ． 【分析】 为了去掉被积函数中的根号，可令 x a sec t ，也可令 x a csc t ． 例 9 求 2 2 2 (x a ) dx (a 0) ． 【分析】 为了化简被积函数，可令 x a tan t ，或 x a cot t ． 解：令 x a tan t ， 2 t ，于是，有