《数学分析二》课程教学大纲(Mathematical Analysis II)一、课程概况课程名称：数学分析二课程代码：07100030课程性质：专业必修课【核心课】课程学分：6学分预修课程：《数学分析一》开课学期：第2学期课程学时：90学时（理论总学时/实践总学时：75/15）课程周学时：6学时（理论学时/实践学时：5/1）考核方式：闭卷笔试、平时考核相结合课程负责人：张丽娜二、课程自标本课程是数学与应用数学专业的专业必修课，授课对象为数学与系统科学学院数学与应用数学专业一年级本科生。学习本课程所需要的基础知识包括高中阶段的有关函数的基础知识以及《数学分析一》的相关知识。本课程对后续课程《数学分析三》、《常微分方程》、《实变函数论》、《概率统计》、《泛函分析》、《拓扑学》等的学习起到重要的基础性作用。学生只有学好了《数学分析二》的基础理论知识，才能更好地学习后续的若干课程。通过学习使学生正确理解和掌握数学分析的基本思想、方法和理论，能熟练地进行基本运算（如求不定积分、定积分、反积分和级数等），使学生具备一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，并获得运用数学分析方法分析和解决实际问题的初步能力，提高数学修养与技巧，为以后学习后续课程或从事中学数学教学打下必要的基础。课程采用课堂讲授、课堂讨论、课外学习等教学方法，学生通过对本课程的学习，在掌握知识，具备的意识及能力方面达到毕业要求指标点确定的标准要求。课程目标1：了解积分、级数的发展历史，理解《数学分析二》中的基本概
《数学分析二》课程教学大纲 （Mathematical Analysis II） 一、课程概况 课程名称：数学分析二 课程代码：07100030 课程性质：专业必修课 【核心课】 课程学分：6 学分 预修课程：《数学分析一》 开课学期：第 2 学期 课程学时：90 学时（理论总学时/实践总学时：75/15） 课程周学时：6 学时（理论学时/实践学时：5/1） 考核方式：闭卷笔试、平时考核相结合 课程负责人：张丽娜 二、课程目标 本课程是数学与应用数学专业的专业必修课，授课对象为数学与系统科学学 院数学与应用数学专业一年级本科生。学习本课程所需要的基础知识包括高中阶 段的有关函数的基础知识以及《数学分析一》的相关知识。本课程对后续课程《数 学分析三》、《常微分方程》、《实变函数论》、《概率统计》、《泛函分析》、《拓扑学》 等的学习起到重要的基础性作用。学生只有学好了《数学分析二》的基础理论知 识，才能更好地学习后续的若干课程。通过学习使学生正确理解和掌握数学分析 的基本思想、方法和理论，能熟练地进行基本运算（如求不定积分、定积分、反 积分和级数等），使学生具备一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，并获得运用 数学分析方法分析和解决实际问题的初步能力，提高数学修养与技巧，为以后学 习后续课程或从事中学数学教学打下必要的基础。课程采用课堂讲授、课堂讨论、 课外学习等教学方法，学生通过对本课程的学习，在掌握知识，具备的意识及能 力方面达到毕业要求指标点确定的标准要求。 课程目标 1：了解积分、级数的发展历史，理解《数学分析二》中的基本概
念，基础理论知识。课程目标2：深刻理解数学分析中积分的思想，系统地掌握不定积分、定积反常积分的基本的定义、基本理论和方法；熟练掌握换元积分公式、分部积分公式以及有理函数和可化为有理函数的积分方法；掌握定积分的可积条件、可积函数类以及无穷限和无界函数的反常积分，收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等基本概念，以及利用定义证明收敛性的方法。并能熟练地掌握平面图形面积、立体体积、弧长、旋转曲面的面积计算。掌握级数的收敛和发散、正项级数敛散性判别法以及交错级数的莱布尼茨判别法；熟练掌握函数列在一点、在区域上逐点、在区域上一致收敛等概念以及它们之间的区别与联系：同时掌握两类特殊的函数项级数（幂级数和傅里叶级数）敛散性的判别。掌握数学分析的基本知识和严谨的逻辑推理方法，熟悉数学分析中处理问题的方法，能理解具体和抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。具有良好的逻辑推理能力、抽象思维能力以及严谨的数学语言表达能力。具有运用所学知识提出问题、分析问题，解决实际问题的初步能力。课程目标3：能运用数学分析的观点理解中学数学的所涉及的定积分及不规则几何图形求面积、几何体求体积等概念，指导中学数学教学，深入理解中学数学的思想和方法。课程目标4：通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知的欲望，培养学生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。课程目标5：通过课后分组作业，使学生掌握团队协作的相关知识与技能，具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神；能够与同伴、教师进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力。三、课程自标与毕业要求的关系1.课程目标与毕业要求的对应关系毕业毕业要求分解指标点课程目标要求学科3-1系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，掌握数1课程目标2素养学学科知识体系的基本思想和方法，具有良好的数学抽象、逻辑推
念，基础理论知识。 课程目标 2：深刻理解数学分析中积分的思想，系统地掌握不定积分、定积 反常积分的基本的定义、基本理论和方法；熟练掌握换元积分公式、分部积分公 式以及有理函数和可化为有理函数的积分方法；掌握定积分的可积条件、可积函 数类以及无穷限和无界函数的反常积分，收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等基 本概念，以及利用定义证明收敛性的方法。并能熟练地掌握平面图形面积、立体 体积、弧长、旋转曲面的面积计算。掌握级数的收敛和发散、正项级数敛散性判 别法以及交错级数的莱布尼茨判别法；熟练掌握函数列在一点、在区域上逐点、 在区域上一致收敛等概念以及它们之间的区别与联系；同时掌握两类特殊的函数 项级数（幂级数和傅里叶级数）敛散性的判别。掌握数学分析的基本知识和严谨 的逻辑推理方法，熟悉数学分析中处理问题的方法，能理解具体和抽象、特殊与 一般、有限与无限的辩证关系。具有良好的逻辑推理能力、抽象思维能力以及严 谨的数学语言表达能力。具有运用所学知识提出问题、分析问题，解决实际问题 的初步能力。 课程目标 3：能运用数学分析的观点理解中学数学的所涉及的定积分及不规 则几何图形求面积、几何体求体积等概念，指导中学数学教学，深入理解中学数 学的思想和方法。 课程目标 4：通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生 探索与求知的欲望，培养学生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。 课程目标 5：通过课后分组作业，使学生掌握团队协作的相关知识与技能， 具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神；能够与同伴、教师进行有 效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力。 三、课程目标与毕业要求的关系 1.课程目标与毕业要求的对应关系 毕业 要求 毕业要求分解指标点 课程目标 学科 素养 3-1 系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，掌握数 学学科知识体系的基本思想和方法，具有良好的数学抽象、逻辑推 课程目标 2
理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。3-2熟悉中学数学学科的教学内容和方法，理解中学数学与高等数课程目标3学的内涵链接。3-6具有比较深厚的人文底蕴和崇尚真理的科学精神，了解数学的课程目标1历史概况和发展的基本规律。7-2初步掌握反思的方法与技能和教育科学研究的常用方法，能够学会对数学基础教育实践问题进行合情推理、数学建模、推论推广等研课程目标4反思究，基于质疑、求证、判断培养批判性思维。8-1理解专业学习共同体的特点和价值，了解学习共同体在数学教育教学过程中的重要作用：掌握团队协作的相关知识与技能，具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神。沟通课程目标5合作8-2掌握沟通合作技能，与同事合作交流，分享经验和资源，实现共同发展；能够与中小学生、家长进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力及符合社会发展的适用能力。2.课程目标与毕业要求的矩阵关系图学科素养学会反思沟通合作课程目标7-23-13-23-68-18-2课程目标1M课程目标2HH课程目标3课程目标4M课程目标5MM（注：H代表课程分目标与毕业要求分指标点为高支撑，M代表中支撑，L代表低支撑。）四、课程教学内容与课程目标的对应关系章节课程目标1课程目标2课程目标4课程目标5课程目标3MHM第八章第1-3节HM第九章第1-3节MLLHLM第九章第4-5节HMM第十章第1-5节HML第十一章第1-3节
理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。 3-2 熟悉中学数学学科的教学内容和方法，理解中学数学与高等数 学的内涵链接。 课程目标 3 3-6 具有比较深厚的人文底蕴和崇尚真理的科学精神，了解数学的 历史概况和发展的基本规律。 课程目标 1 学会 反思 7-2 初步掌握反思的方法与技能和教育科学研究的常用方法，能够 对数学基础教育实践问题进行合情推理、数学建模、推论推广等研 究，基于质疑、求证、判断培养批判性思维。 课程目标 4 沟通 合作 8-1 理解专业学习共同体的特点和价值，了解学习共同体在数学教 育教学过程中的重要作用；掌握团队协作的相关知识与技能，具有 团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神。 课程目标 5 8-2 掌握沟通合作技能，与同事合作交流，分享经验和资源，实现 共同发展；能够与中小学生、家长进行有效的沟通交流，具有良好 的集体协作和组织协调能力及符合社会发展的适用能力。 2.课程目标与毕业要求的矩阵关系图 （注：H 代表课程分目标与毕业要求分指标点为高支撑，M 代表中支撑，L 代表低支撑。） 四、课程教学内容与课程目标的对应关系 章节 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 课程目标 4 课程目标 5 第八章第 1-3 节 M H M 第九章第 1-3 节 H M M L 第九章第 4-5 节 L H L M 第十章第 1-5 节 H M M 第十一章第 1-3 节 M H L 课程目标 学科素养 学会反思 沟通合作 3-1 3-2 3-6 7-2 8-1 8-2 课程目标 1 M 课程目标 2 H 课程目标 3 H 课程目标 4 M 课程目标 5 M M
HMLH第十二章第1-3节LM第十三章第1节HLH第十三章第2节HL第十四章第1-2节HMML第十五第1-2节L第十五第3节（注：H代表教学内容与课程目标为高支撑，M代表中支撑，L代表低支撑。）五、教学方式（一）课堂讲授通过学习不定积分的求解方法，掌握数学分析中的又一重要的积分计算方法，为后续求解定积分和反常积分的方法打下基础。掌握定积分的概念及其性质、可积条件：通过定积分学习，能够较好地利用定积分的分割、近似求和、取极限的变量数学思想求解定积分在几何及物理方面的应用；掌握反常积分的概念及其无穷积分和瑕积分的性质与收敛准则；熟练掌握数项级数的收敛和发散等概念，掌握正项级数和一般项级数敛散性判别方法，并能以对比的方法学会函数项级数的概念；掌握函数项级数和函数列一致收敛的判别准则，并能很好的理解幂级数的收敛，学会函数的幂级数展开；熟练掌握函数的傅里叶级数的方法，了解收敛定理的证明。（重点支持课程目标2，对应毕业要求指标点3-2）（二）课堂讨论对本课程中的重要内容，布置课外学习任务，通过查阅文献，了解相应的知识和处理问题的方法，并在课堂中交流讨论，一般进行3次左右。（重点支持课程目标5，对应毕业要求8-1，8-2。）（三）课后作业布置课后习题作业，以巩固课堂学习内容，全部批改并对反馈的问题进行讲评或让学生对作业进行思路讲解、讨论。布置课后自主学习作业，对已学习的内容梳理总结、反思，理解数学分析与中学数学的内涵联系。（重点支持课程目标2、3、4、5，毕业要求3-2，7-2，8-1，8-2。）六、教学内容及学时分配
第十二章第 1-3 节 M H L H 第十三章第 1 节 L M 第十三章第 2 节 H L H 第十四章第 1-2 节 H L 第十五第 1-2 节 L H M M 第十五第 3 节 L （注：H 代表教学内容与课程目标为高支撑，M 代表中支撑，L 代表低支撑。） 五、教学方式 （一）课堂讲授 通过学习不定积分的求解方法，掌握数学分析中的又一重要的积分计算方 法，为后续求解定积分和反常积分的方法打下基础。掌握定积分的概念及其性质、 可积条件；通过定积分学习，能够较好地利用定积分的分割、近似求和、取极限 的变量数学思想求解定积分在几何及物理方面的应用；掌握反常积分的概念及其 无穷积分和瑕积分的性质与收敛准则；熟练掌握数项级数的收敛和发散等概念， 掌握正项级数和一般项级数敛散性判别方法，并能以对比的方法学会函数项级数 的概念；掌握函数项级数和函数列一致收敛的判别准则，并能很好的理解幂级数 的收敛，学会函数的幂级数展开；熟练掌握函数的傅里叶级数的方法，了解收敛 定理的证明。（重点支持课程目标 2，对应毕业要求指标点 3-2） （二）课堂讨论 对本课程中的重要内容，布置课外学习任务，通过查阅文献，了解相应的知 识和处理问题的方法，并在课堂中交流讨论，一般进行 3 次左右。（重点支持课 程目标 5，对应毕业要求 8-1，8-2。） （三）课后作业 布置课后习题作业，以巩固课堂学习内容，全部批改并对反馈的问题进行讲 评或让学生对作业进行思路讲解、讨论。布置课后自主学习作业，对已学习的内 容梳理总结、反思，理解数学分析与中学数学的内涵联系。（重点支持课程目标 2、3、4、5，毕业要求 3-2，7-2，8-1，8-2。） 六、教学内容及学时分配
（一）教学内容与学时分配各章教学内容与学时分配表章次内容总课时理论课时实践课时2108第八章不定积分2第九章1412定积分651第十章定积分的应用871第十一章反常积分21210第十二章数项级数13 3第十三章16函数列与函数项级数幂级数12102第十四章12102第十五章傅立叶级数（二）教学内容纲要第八章不定积分（10学时）1.教学目的与要求通过学习，使学生熟练掌握原函数，不定积分等基本概念、性质及基本积分公式表。熟练掌握换元积分公式、分部积分公式以及有理函数和可化为有理函数的积分。2.主要教学内容(8学时)(1）第一节不定积分概念及基本积分公式(2学时)教学重点：掌握基本积分公式；不定积分的几何意义教学难点：理解不定积分的几何意义(2）第二节换元积分法与分部积分法(3学时)教学重点：掌握换元积分法和分部积分法教学难点：灵活运用代换的选择技巧(3）第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分(3学时)
（一）教学内容与学时分配 各章教学内容与学时分配表 章 次 内 容 总课时 理论课时 实践课时 第八章 不定积分 10 8 2 第九章 定积分 14 12 2 第十章 定积分的应用 6 5 1 第十一章 反常积分 8 7 1 第十二章 数项级数 12 10 2 第十三章 函数列与函数项级数 16 13 3 第十四章 幂级数 12 10 2 第十五章 傅立叶级数 12 10 2 （二）教学内容纲要 第八章 不定积分（10 学时） 1.教学目的与要求 通过学习，使学生熟练掌握原函数，不定积分等基本概念、性质及基本积分 公式表。熟练掌握换元积分公式、分部积分公式以及有理函数和可化为有理函数 的积分。 2.主要教学内容(8 学时) (1) 第一节 不定积分概念及基本积分公式 (2 学时) 教学重点：掌握基本积分公式；不定积分的几何意义. 教学难点：理解不定积分的几何意义 (2) 第二节 换元积分法与分部积分法 (3 学时) 教学重点：掌握换元积分法和分部积分法． 教学难点：灵活运用代换的选择技巧. (3) 第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分 (3 学时)