复变函数例7求以下函数的零点及级数：(1) f(z) = z3 - 1, (2) f(z) = sin z.(1)由于 f'(1)= 3z2解=3±0，7=1知 =1是f()的一级零点·(2)由于 f'(0)= coS zz=0 =1 ± 0,知 =0是f(z)的一级零点课堂练习求 f(z)=z(z2+1)2的零点及级数.答案z=0是五级零点，z三±i是二级零点U
21 (1)由于 1 2 (1) 3 � � � z f z 知 z � 1 是 f (z) 的一级零点 . 课堂练习 z � 0是五级零点, z � �i 是二级零点. 知 z � 0是 f (z) 的一级零点. 解 (2)由于 0 (0) cos � � � z f z 答案 例7 求以下函数的零点及级数: ( ) 1, 3 (1) f z � z � (2) f (z) � sin z. � 3 � 0, � 1 � 0, 5 2 2 求 f (z) � z (z � 1) 的零点及级数
复变函数3.零点与极点的关系定理如果是f(z)的m级极点，那末z就是的m级零点.反过来也成立f(z)证如果 z是f(z)的 m 级极点,则有(g(zo) ± 0)f(z) =(z - zo) g(z)m当时Zo(z - zo)" h(z)Z-)二f(z)g(z)函数h(zo)在zo解析且h(zo)± 0.U
22 3.零点与极点的关系 定理 如果 0 z 是 f (z) 的 m 级极点, 那末 0 z 就是 ( ) 1 f z 的 m 级零点. 反过来也成立. 证 如果 0 z 是 f (z) 的 m 级极点, 则有 ( ) ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m � � ( ( ) 0) 0 g z � 当 时 , 0 z � z ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 g z z z f z m � � ( ) ( ) 0 z z h z m � � ( ) 0 h z ( ) 0. 0 函数 在z 0 解析且h z �
复变函数1由于 lim0.只要令0三f(zo)f(z)z→Z0那末就是的 m级零点.f(z)反之如果是的m级零点f(z)解析且（z）≠ 0那末= (z - zo)"β(z),f(z)1y(z) =当 z时,f(z)=y(z),(z - zo)m yp(z)所以 zo 是 f(z)的 m 级极点。U
23 由于 0, ( ) 1 lim 0 � z� z f z 只要令 0, ( ) 1 0 � f z 那末 0 z ( ) 1 f z 就是 的 m 级零点. 反之如果 0 z ( ) 1 f z 是 的 m 级零点, 那末 ( ) ( ), ( ) 1 0 z z z f z m � � � 当 时, 0 z � z ( ), ( ) 1 ( ) 0 z z z f z m � � � ( ) 1 ( ) z z � � � 解析且 ( ) 0 0 � z � 所以 0 z 是 f (z) 的 m 级极点
复变函数说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法例8函数 sin有些什么奇点,如果是极点,指出它的级。解函数的奇点是使 sin z=O 的点,这些奇点是z=k元（k = 0,±1,±2.…).是孤立奇点。因为 (sin z)= cos z =k元 = (-1)* 0,z=k元所以 z=k元是sinz的一级零点，即的一级极点sinU
24 说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法. 例8 函数 sin z 1 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级. 解 函数的奇点是使 sin z � 0 的点, 这些奇点是 z � k� (k � 0 ,� 1,� 2�).是孤立奇点. � � � � � � z k z k 因为 (sin z) cos z 所以 z � k�是 sin z的一级零点� � (�1) � 0, k sin z 1 即 的一级极点
复变函数2例9 问=0是的二级极点吗?7Z解20解析且p(0)≠07.n!7n=0Z... =-p(z),+二3!2!7.Z所以=0不是二级极点，而是一级极点sinh2思考 Z=0是的几级极点?MN注意：不能以函数的表面形式作出结论1
25 ( ), 1 2! 3! 1 1 z z z z � � � � � � � 解 � � � � � � � � � � � � �0 2 2 1 ! 1 1 n z n n z z z e 解析且� (0) � 0 所以 z � 0不是二级极点, 而是一级极点. z � 0是 3 sinh z z 思考 的几级极点? 例9 问 z � 0是 2 1 z e z � 的二级极点吗? 注意: 不能以函数的表面形式作出结论