复变函数综上所述：lim f(z)孤立奇点洛朗级数特点Z→z0存在且为可去奇点无负幂项有限值含有限个负幂项m级极点关于()的最高幂8为（zzo)-m不存在本性奇点含无穷多个负幂项且不为 801
16 综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 洛朗级数特点 lim ( ) 0 f z z� z � 存在且为 有限值 不存在 且不为� 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 1 0 ( ) � z � z m z z � ( � ) 0 关于 的最高幂 为
复变函数二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 f(z)=(一z)(z)， 其中 ()在 z解析且β(zo）≠0，m为某一正整数，那末z称为f(z)的m级零点例65=0是函数 f(z)= z(-1)3的一级零点，z=1是函数 f(z)=z(z-1)"的三级零点·注意：不恒等于零的解析函数的零点是孤立的U
17 1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z)如果 能表示成 ( ) ( ) ( ), 0 f z z z z m � � � � (z) 0 其中 在 z ( ) 0, 0 解析且� z � m为某一正整数, 那末 0 z 称为 f (z) 的 m 级零点. 例6 是函数 的一级零点� 3 z � 0 f (z) � z(z � 1) 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的. 1 ( ) ( 1) . 3 z � 是函数 f z � z z � 的三级零点
复变函数2.零点的判定如果 f(z)在zo解析,那末z为 f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(zo) = 0, (n = 0,1,2,... m - 1); (m)(zo) ± 0.证 (必要性)如果zo为 f(z)的 m级零点由定义：:f(z) =(z - zo)"p(z)设 (z)在z,的泰勒展开式为:p(z) = Co + Ci(z - zo) + c2(z - zo) + :U
18 2.零点的判定 零点的充要条件是 证 (必要性) 由定义: ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m � � � 设 0 � (z)在z 的泰勒展开式为: ( ) ( ) ( ) , 2 � z � c 0 � c 1 z � z 0 � c 2 z � z 0 � � 0 如果 f (z) 在z 解析, 那末 z 0为 f (z)的 m 级 如果 z 0 为 f (z)的 m 级零点 ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z � n � m � n � ( ) 0. 0 ( ) f z � m
复变函数其中 ℃o=β(z) 0,从而f()在z的泰勒展开式为f(z) = Co(z - zo)" + C(z - zo)m+ C2(z - zo)+2+展开式的前m项系数都为零.由泰勒级数的系数公式知: (n)(zo)= 0,(n = 0,1,2,.: m -1);f(m)(z0)并且Co ± 0.-m!充分性证明略U
19 从而 f (z)在z 0的泰勒展开式为 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) � � � � � m m f z c z z c z z � � � � � 2 2 0 ( ) m c z z 其中 ( ) 0 , 0 0 c � � z � 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z � n � m � n � 并且 0. ! ( ) 0 0 ( ) � c � m f z m 充分性证明略
复变函数例如z=0与z=1均为f(z)=z(z一1)"的零点。又f(z) = (z -1)3 + 3z(z -1)f(z) = 6(z - 1)2 + 6z(z - 1)f(z) = 12(z - 1) + 6(z - 1) + 6z: f(0)=(-1)3 ±0z=0为一级零点f1)=6±0: f(1) = 0 f"(1) = 0：z=1为三级零点山
20 例如 z � 0与z � 1均为f (z) � z(z � 1) 3 的零点。 f '''(z) � 12(z � 1) � 6(z � 1) � 6z 3 2 又f '(z) � (z � 1) � 3z(z � 1) � f '(1) � 0 "( ) 6( 1) 6 ( 1) 2 f z � z � � z z � 0为一级零点 '(0) ( 1) 0 3 � � � � � z � f � z � 1为三级零点 f ''(1) � 0 f '''(1) � 6 � 0