复变函数2.极点1）定义如果洛朗级数中只有有限多个z一z.的负幂项，其中关于（z-zo）-的最高幂为(z-zo）-m即f(z)=C-m(z- zo)" + +C-2(z - zo)-2 + C-1(z - zo)-(m ≥1, c-m ± 0)+ C + c,(z - z) +.::1或写成f(z)g(z)mZ-7）A那末孤立奇点 z称为函数f(z)的m级极点U
11 2. 极点 1 1 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � f z � c z � z � � c z � z � c z � z m m � ( � 1, � 0) �m � � ( � ) � � m c 0 1 0 c c z z ( ) , ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m � � 1 0 ( ) � z � z ( ) , 0 m z z � 其中关于 的最高幂为 � 即 级极点. 0 那末孤立奇点 z 称为函数 f (z) 的 m 或写成 1) 定义 0 如果洛朗级数中只有有限多个 z � z 的 负幂项
复变函数f(z) =(z-z)mg(z)说明：(1)g(z) = C-m + C-m+1(z - zo)+ C-m+2(z - Zo)2 + .特点：1.在z- zol<内是解析函数2. g(zo) ± 0(2)如果zo 为函数 f(z)的极点·则lim f(z) = 00.2→203z + 2有理分式函数 f(z)=例5z(z + 2)z= 0是二级极点,z=-2是一级极点U
12 说明: g(z) � c �m � c �m �1 (z � z 0 ) � c �m� 2 (z � z 0 ) 2 � � 1. 在 z � z 0 � �内是解析函数 2. ( ) 0 0 g z � 特点: (1) (2) 如果 z 0 为函数 f (z) 的极点 , 则 lim ( ) . 0 � � � f z z z 例5 有理分式函数 , ( 2) 3 2 ( ) 2 � � � z z z f z z � 0是二级极点, z � �2 是一级极点. ( ) , ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m � �
复变函数2)极点的判定方法(1)由定义判别f(z)的洛朗展开式中含有z一z.的负幂项为有限项(2)由定义的等价形式判别g(z)在点zo的某去心邻域内f()二-(z - zo)其中 g(z)在z的邻域内解析,且 g(z)± 0.(3)利用极限 lim f(z)= 80 判断。Z→Z0山
13 2)极点的判定方法 f (z)的洛朗展开式中含有z � z 0 的负幂项为有限项. 在点 z 0的某去心邻域内 m z z g z f z ( ) ( ) ( ) 0 � � 其中 g(z) 在 z 0的邻域内解析, 且 ( ) 0. 0 g z � (1) 由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别 (3) 利用极限 � � � lim ( ) 0 f z z z 判断
复变函数课堂练习求的奇点，如果是极点，指出它的级数327+177.1答案由于32(z + 1)(z - 1)27.7+11所以：z=-1是函数的一级极点Z=1是函数的二级极点U
14 课堂练习 求 1 1 3 2 z � z � z � 的奇点, 如果是极点, 指出它的级数. 答案 � � � � 1 1 3 2 z z z 由于 所以 : z � �1是函数的一级极点 , z � 1是函数的二级极点 . , ( 1)( 1) 1 2 z � z �
复变函数3.本性奇点如果洛朗级数中含有无穷多个z一 z的负幂项那末孤立奇点 z。称为 f）的本性奇点例如，e=l+z2含有无穷多个z的负幂项(0<z<8)同时 lim e不存在。所以三 0为本性奇点，2-0特点:在本性奇点的邻域内 lim f(z)不存在且不Z→20为8:U
15 3. 本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个 0 z � z 那末孤立奇点 0 z 称为 f (z) 的本性奇点. 的负幂项, 例如� , ! 1 2! 1 1 1 2 1 � � � � � � � � z � � �n z n e z z 含有无穷多个z的负幂项 (0 � z � �) 特点: 在本性奇点的邻域内 lim ( ) 0 f z z� z 不存在且不 为 � . 所以 z � 0 为本性奇点� 同时 z z e 1 0 lim � 不存在