《线性代数》第四章（4.3）向量组的秩

例9设齐次线性方程组 x1+2x2+x3-2x4=0 2x1+3x2-x4=0 x1-x2-5x3+7x=0 的全体解向量构成的『组为S,求S的秩 解:把系数矩阵4化成行最简形: 2 2 2)+2,(10-34 A=230-1 1-2 01 r3-r1 1-1-5 0-3-69 0000 x,=3x,-4. 得 x,=-2x,+3x 上页

, . 5 7 0 2 3 0 2 2 0 9 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 的全体解向量构成的向量组为 求 的 秩 例 设齐次线性方程组 S S x x x x x x x x x x x      − − + = + − = + + − =           − −           − − − − −           − − − − = − +  − − − 0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 3 4 ~ 0 3 6 9 0 1 2 3 1 2 1 2 ~ 1 1 5 7 2 3 0 1 1 2 1 2 : : 3 2 1 2 2 2 1 3 1 3 2 ( 1) 2 r r r r r r r r r A 解 把系数矩阵A化成行最简形    = − + = − 2 3 4 1 3 4 2 3 3 4 x x x x x x 得

32 3 令自由未知数k=c1|+c20 0 把上式记作x=c1+c22知 s={=c5+c252,c2∈} R(S)=2 上页

  ( ) 2 , , , 1 0 3 4 0 1 2 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 2  = = = +  = +               − +               − = R S S x c c c c R x c c x c c   把上式记作   知 令自由未知数

中若向量组4:a,…,an构成矩阵A=(a1,a1,…an) 则前面的定理可叙述为 定理2向量组B1,B2,…,B,能由向量组ax1,a2,…,an 中线性表示对充要条件是 R(a1,a2,…,Cn)=R(a1,a2,…,an,B1,B2,…,B1) 工工工 上页

( , , , ) ( , , , , ) 2 , , , 2 : , , , ( , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m m l l m m m R R A A                      ， ， ， 线性表示对充要条件是 定 理 向量组 ， ， ， 能由向量组 则前面的定理 可叙述为 若向量组 构成矩阵        = =

、向量组秩的重要结论 庄定理2设向量组能由向量组线性表示,则向 量组B的秩不大于向量组A的秩 工工工 上页

. 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A 定理２ B A 三、向量组秩的重要结论

例2设矩阵 2-1-112 214 4-62 24 36-979 求矩阵4的列向量组的一个最大无关组,并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 上页

            − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不