且x(1),y(t)在[a,β]上连续,a=x(a),b=x(B),x(t)>0(对于 x(t)<0或y'(t)≠0的情况类似讨论) ()|ax y(o)lx(tt 计算中,主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法: 1)具体计算时常利用图形的几何特征 2)从参数方程x=x(1),y=y(t)定义域的分析确定 例2求摆线x=a(t-snt),y=a(1-cost),a>0的一拱与x 轴所围的平面图形的面积 由图看出,t=0对应原点(0,0),t=2n对应一拱的终点 (2ax,0)所以其面积为 A=∫a1-coso)a(-smn)b=∫a(1-cos)2th
且 x(t) , y(t)在 [ , ]上连续，a = x() , b = x( ) ， x(t) 0 （对于 x(t) 0或 y(t) 0 的情况类似讨论）。 S y t dx y t x t dt = = | ( ) | | ( )| ( ) 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 . 2）从 参数方程 x = x(t) , y = y(t) 定义域的分析确定 例 2 求摆线 x = a(t −sin t) , y = a(1− cost) , a 0 的一拱与 x 轴所围的平面图形的面积 由图看出, t = 0 对应原点 (0 , 0 ) , t = 2 对应一拱的终点 (2a , 0) 所以其面积为 = − − = − 2 0 2 2 2 0 A a(1 cost)[a(t sin t)] dt a (1 cost) dt
int('a2*(1-cos(t)2’,0,2*pi) ans=3米pi*a2 例2求由曲线x=t-t3,y=1-t+所围图形的面积.(cd3) 由图看出,积分的上下限应为t从-1到1,其面积为 A=[x()y()dt=「(1-t2)43)dr=r+A 极坐标下平面图形的面积: F三F 若曲线是极坐标方程 △ r=r(),≤b≤B ∑S≈∑ 2(0)A S=r(0)de
i r = r =i i i i r = r + r A o D int('a^2*(1-cos(t))^2',0,2*pi) ans = 3*pi*a^2 例2 求由曲线 3 4 x = t − t , y =1− t 所围图形的面积. (cd3) 由图看出, 积分的上下限应为 t 从 –1 到 1, 其面积为: − − = = − − 1 1 3 3 1 1 A x(t) y (t)dt t(1 t )( 4t )dt 极坐标下平面图形的面积 : 若曲线是极坐标方程 r = r( ) , = = = = S r d S S r n i n i i ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1
和参数方程一样,极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确 定。确定上下限方法通常也是 02(6) 1)利用图象;2)分析r=r()定义域 r=01() r=06) 9-6
r =( ) o A D ( ) 2 r = ( ) 1 r = A o D D 和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确 定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析 r = r( ) 定义域 A D o ( ) 2 r = ( ) 1 r =
() 02(6) r=(6) [z2(6)-r2()d DJ (b)d0 例3求双扭线r2=a2cos2 围成的平面图形的面积 解先看一下双纽线的图象, t=0:pi/50:2*pi;
[r ( ) r ( )]d 2 1 2 1 2 1 2 2 − A D o ( ) 2 r = ( ) 1 r = 2 0 2 ( ) 2 1 r d D A r = ( ) o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 例 3 求双扭线 cos 2 2 2 r = a 围成的平面图形的面积 解 先看一下双纽线的图象， t=0:pi/50:2*pi;