20.3等腰三角形等腰三角形20.3.1我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形（isoscelestriangle).下面，我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质探究如图20.3-1：把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？图20.3-1上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即AABC中AB一AC，所以△ABC是等腰三角形探究把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折，你的猜想仍然成立吗？第二十章轴对称19
!"#$%&'( ２０．３ 等腰三角形 ２０．３．１ 等腰三角形 我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形 （ｉｓｏｓｃｅｌｅｓｔｒｉａｎｇｌｅ）．下面， 我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质． 如图２０．３１，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的△犃犅犆有什么特点？ B A D C 图２０．３１ 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△犃犅犆中犃犅＝犃犆，所以 △犃犅犆是等腰三角形． 把剪出的等腰三角形犃犅犆沿折痕对折，找出其中重合的线段和角． 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的 猜想． 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一 折．你的猜想仍然成立吗？ ９１
我们可以发现等腰三角形的性质：性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质如图20.3-2，△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD:(AB=AC,BD=CD,AD=AD,::△BAD△CAD (SSS).:. ZB=ZC.D图20.3-2这样，我们就证明了性质1.由△BAD兰△CAD，还可得出／BAD=ZCAD，ZBDA=ZCDA，从而ADIBC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角/A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边。这也就证明了性质2从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴例1如图20.3-3，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数解：：AB=AC,BD=BC=AD,..ZABC=ZC=ZBDC,LA=/ABD（等边对等角）.1设/A=，则/BDC-/A+LABD=2T,B从而图20.3-3LABC=/C=/BDC-2x.于是在△ABC中，有20第二十章轴对称
!"#$%&'( 我们可以发现等腰三角形的性质： 性质１ 等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）； 性质２ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成 “三线合一”）． 由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质． 如图２０．３２，△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，作底边犅犆的中线犃犇． A B D C 图２０．３２ ∵ 犃犅＝犃犆， 犅犇＝犆犇， 犃犇＝犃犇， 烅 烄 烆 ∴ △犅犃犇≌△犆犃犇 （ＳＳＳ）． ∴ ∠犅＝∠犆． 这样，我们就证明了性质１． 由△犅犃犇≌△犆犃犇，还可得出∠犅犃犇＝∠犆犃犇，∠犅犇犃＝∠犆犇犃，从 而犃犇⊥犅犆．这也就证明了等腰三角形犃犅犆底边上的中线犃犇 平分顶角∠犃 并垂直于底边犅犆． 用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于 底边，底边上的高平分顶角并且平分底边．这也就证明了性质２． 从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可 以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角平分线、底边上的 高）所在直线就是它的对称轴． 例１ 如图２０．３３，在△犃犅犆 中，犃犅＝犃犆，点犇 在犃犆 上，且犅犇＝ 犅犆＝犃犇．求△犃犅犆各角的度数． A D B C 图２０．３３ 解：∵ 犃犅＝犃犆，犅犇＝犅犆＝犃犇， ∴ ∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆， ∠犃＝∠犃犅犇 （等边对等角）． 设∠犃＝狓，则 ∠犅犇犆＝∠犃＋∠犃犅犇＝２狓， 从而 ∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆＝２狓． 于是在△犃犅犆中，有 ０２
/A+/ABC+/C=r+2r+2r=180°解得1=36°所以，在△ABC中，A=36°，ZABC=/C=72°练习1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数，036°1200(2)(1)（第1题）2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，/BAC=90），AD是底边BC上的高.标出/B，ZC，/BAD，/DAC的度数，并写出图中所有相等的线段B.DD（第2题）（第3题）3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，/BAD=26°求/B和C的度数思考我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？如图20.3-4，在△ABC中，/B=/C.作△ABC的角平分线AD.在△BAD和△CAD中，Z1=22,/B=/C,CDAD=AD,图20.3-4:.△BAD△CAD (AAS)...AB=AC.第二十章轴对称21
!"#$%&'( ∠犃＋∠犃犅犆＋∠犆＝狓＋２狓＋２狓＝１８０°． 解得狓＝３６°． 所以，在△犃犅犆中，∠犃＝３６°，∠犃犅犆＝∠犆＝７２°． 36° 120° （１） （２） （第１题） B A D C （第２题） A B D C （第３题） １．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数． ２．如图，△犃犅犆是等腰直角三角形 （犃犅＝犃犆，∠犅犃犆＝９０°），犃犇是底边犅犆上的 高．标出∠犅，∠犆，∠犅犃犇，∠犇犃犆的度数，并写出图中所有相等的线段． ３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犇＝犇犆，∠犅犃犇＝２６°．求∠犅和∠犆的度数． 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等． 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ A B D C 1 2 图２０．３４ 如图２０．３４，在△犃犅犆中，∠犅＝∠犆． 作△犃犅犆的角平分线犃犇． 在△犅犃犇 和△犆犃犇 中， ∠１＝∠２， ∠犅＝∠犆， 犃犇＝犃犇， 烅 烄 烆 ∴ △犅犃犇≌△犆犃犇 （ＡＡＳ）． ∴ 犃犅＝犃犆． １２
由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形已知：ZCAE是△ABC的外角，Z1=Z2，AD//BC（图20.3-5).求证：AB=AC.分析：要证明AB=AC，可先证明ZB一C.因为/1=Z2，所以可以设法找出/B，/C与/1，/2的关系证明：：AD//BC.:. Z1=/B ()：Z2=ZC (而已知/1=/2，所以ZB=ZC.图20.3-5.. AB=AC (1例3已知等腰三角形底边长为α，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.M图20.3-6作法：（1）作线段AB=a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.（3）在MN上取一点C，使DC=h（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形22第二十章轴对称
!"#$%&'( 由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成 “等角对等边”）． 例２ 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个 三角形是等腰三角形． 已知：∠犆犃犈是△犃犅犆的外角，∠１＝∠２，犃犇∥犅犆 （图２０．３５）． A B C D 1 2 E 图２０．３５ 求证：犃犅＝犃犆． 分析：要证明 犃犅＝犃犆，可先证明∠犅＝ ∠犆．因为∠１＝∠２，所以可以设法找出∠犅， ∠犆与∠１，∠２的关系． 证明：∵ 犃犇∥犅犆， ∴ ∠１＝∠犅 （ ）， ∠２＝∠犆 （ ）． 而已知∠１＝∠２，所以 ∠犅＝∠犆． ∴ 犃犅＝犃犆 （ ）． 例３ 已知等腰三角形底边长为犪，底边上的高的长为犺，求作这个等腰 三角形． a h A C D B N M 图２０．３６ 作法：（１）作线段犃犅＝犪． （２）作线段犃犅的垂直平分线犕犖，与犃犅相交于点犇． （３）在犕犖 上取一点犆，使犇犆＝犺． （４）连接犃犆，犅犆，则△犃犅犆就是所求作的等腰三角形． ２２
练习1.如图，/A=36°，/DBC=36°，/C=72°分别计算/1，/2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.A（第1题）（第2题）2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？3.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4.如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=（第4题）OB. 求证OC=OD.20.3.2等边三角形我们知道，等边三角形（equilateraltriangle）是三边都相等的特殊的等腰三角形思考把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个请你自己证明这些角都等于60°结论.三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形第二十章轴对称23
书 !"#$%&'( 2 1 D A B C （第１题） （第２题） D A B C O （第４题） １．如图，∠犃＝３６°，∠犇犅犆＝３６°，∠犆＝７２°．分别计算∠１，∠２的度数，并说 明图中有哪些等腰三角形． ２．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分 是一个等腰三角形吗？为什么？ ３．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一 半，那么这个三角形是直角三角形． ４．如图，犃犆和犅犇 相交于点犗，且犃犅∥犇犆，犗犃＝ 犗犅．求证犗犆＝犗犇． ２０．３．２ 等边三角形 我们知道，等边三角形 （ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌｔｒｉａｎｇｌｅ）是三边都相等的特殊的等腰 三角形． 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形 的三个内角满足什么条件才是等边三角形？ 请你自己证明这些 结论． 由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个 角都等于６０°． 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形． ３２